Bernoulli polynom
I matematik , Bernoulli polynomier vises i studiet af mange specielle funktioner og især Riemann zeta-funktion ; analoge polynomer, der svarer til en tilgrænsende generatorfunktion, er kendt som Euler-polynomer .
Definition
Bernoulli polynomer er den unikke sekvens af polynomer som:
(Bikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle \ left (B_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
- B0=1{\ displaystyle B_ {0} = 1}
- ∀ikke∈IKKE,Bikke+1′=(ikke+1)Bikke{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B '_ {n + 1} = (n + 1) B_ {n}}
- ∀ikke∈IKKE∗,∫01Bikke(x)dx=0{\ displaystyle \ forall n \ i \ mathbb {N} ^ {*}, \ int _ {0} ^ {1} B_ {n} (x) dx = 0}
Generering af funktioner
Den Generatorfunktionen for Bernoulli polynomier er
textet-1=∑ikke=0∞Bikke(x)tikkeikke!{\ displaystyle {\ frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}.
Generatorfunktionen for Euler-polynomer er
2extet+1=∑ikke=0∞Eikke(x)tikkeikke!{\ displaystyle {\ frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}.
Euler og Bernoulli numre
De Bernoulli tal er givet ved .
Bikke=Bikke(0){\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)}
De Euler tal er givet ved .
Eikke=2ikkeEikke(1/2){\ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} (1/2)}
Eksplicit udtryk for små ordrer
Egenskaber ved Bernoulli polynomer
Forskelle
Bernoulli- og Euler-polynomerne adlyder f.eks. Mange forhold i den ombrale regning, der anvendes af Édouard Lucas .
Bikke(x+1)-Bikke(x)=ikkexikke-1{\ displaystyle B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1} \,}
Eikke(x+1)+Eikke(x)=2xikke{\ displaystyle E_ {n} (x + 1) + E_ {n} (x) = 2x ^ {n} \,}
Derivater
Bikke′(x)=ikkeBikke-1(x){\ displaystyle B_ {n} '(x) = nB_ {n-1} (x) \,}
Eikke′(x)=ikkeEikke-1(x){\ displaystyle E_ {n} '(x) = nE_ {n-1} (x) \,}
Oversættelser
Bikke(x+y)=∑k=0ikke(ikkek)Bk(x)yikke-k{\ displaystyle B_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ vælg k} B_ {k} (x) y ^ {nk}}
Eikke(x+y)=∑k=0ikke(ikkek)Ek(x)yikke-k{\ displaystyle E_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ vælg k} E_ {k} (x) y ^ {nk}}
Symmetrier
Bikke(1-x)=(-1)ikkeBikke(x){\ displaystyle B_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} B_ {n} (x)}
Eikke(1-x)=(-1)ikkeEikke(x){\ displaystyle E_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} E_ {n} (x)}
(-1)ikkeBikke(-x)=Bikke(x)+ikkexikke-1{\ displaystyle (-1) ^ {n} B_ {n} (- x) = B_ {n} (x) + nx ^ {n-1}}
(-1)ikkeEikke(-x)=-Eikke(x)+2xikke{\ displaystyle (-1) ^ {n} E_ {n} (- x) = - E_ {n} (x) + 2x ^ {n}}
Andre egenskaber
∀ikke∈IKKE,Bikke(x)=2ikke-1(Bikke(x2)+Bikke(x+12)){\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B_ {n} (x) = 2 ^ {n-1} \ left (B_ {n} \ left ({\ frac {x} {2}} \ højre) + B_ {n} \ venstre ({\ frac {x + 1} {2}} \ højre) \ højre)}
∀s∈IKKE,∀ikke∈IKKE,∑k=0ikkeks=Bs+1(ikke+1)-Bs+1(0)s+1{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N}, \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {B_ {p +1} (n + 1) -B_ {p + 1} (0)} {p + 1}}}
Denne sidste lighed, udledt af Faulhabers formel , kommer fra lighed: eller mere simpelt fra den teleskopiske sum∫xx+1Bikke(t)dt=xikke{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {x + 1} B_ {n} (t) \, \ mathrm {d} t = x ^ {n}}
∑k=0ikke(Bm(k+1)-Bm(k))=Bm(ikke+1)-Bm(0){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left (B_ {m} (k + 1) -B_ {m} (k) \ right) = B_ {m} (n + 1) -B_ {m} (0)}
.
Særlige værdier
Tallene er Bernoulli-tal .
Bikke=Bikke(0){\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)}
∀ikke>1,Bikke(0)=Bikke(1){\ displaystyle \ forall n> 1, \ quad B_ {n} (0) = B_ {n} (1)}Bernoulli-tal med en anden ulige rang end 1 er nul:
∀s∈IKKE∗B2s+1(0)=B2s+1(1)=0{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad B_ {2p + 1} (0) = B_ {2p + 1} (1) = 0}
∀s∈IKKEB2s+1(12)=0{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad B_ {2p + 1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = 0}
∀s∈IKKEB2s(12)=(122s-1-1)B2s{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad B_ {2p} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = \ left ({\ frac {1} {2 ^ {2p -1}}} - 1 \ højre) B_ {2p}}
Fourier-serien
Den Fourier række Bernoulli polynomier er også en Dirichlet serie , givet ved ekspansion:
Bikke(x)=-ikke!(2πjeg)ikke∑k∈Zk≠0e2πjegkxkikke=-ikke!∑k=1∞e2πjegkx+(-1)ikkee-2πjegkx(2πjegk)ikke=-2ikke!∑k=1∞cos(2kπx-ikkeπ2)(2kπ)ikke{\ displaystyle B_ {n} (x) = - {\ frac {n!} {(2 \ pi \ mathrm {i}) ^ {n}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z} \ ovenpå k \ neq 0} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} kx}} {k ^ {n}}} = - n! \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} kx} + (- 1) ^ {n} \ mathrm {e} ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} kx} } {(2 \ pi \ mathrm {i} k) ^ {n}}} = - 2 \, n! \ Sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ left (2k \ pi x - {\ frac {n \ pi} {2}} \ højre)} {(2k \ pi) ^ {n}}}},
gælder kun for 0 ≤ x ≤ 1 når n ≥ 2 og for 0 < x <1 når n = 1.
Dette er et specielt tilfælde af Hurwitz-formlen .
Noter og referencer
(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den
engelske Wikipedia- artikel med titlen
" Bernoulli polynomials " ( se forfatterlisten ) .
-
(i) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama og Masanobu Kaneko, Bernoulli numre og Zeta funktioner , Springer ,2014( læs online ) , s. 61.
Se også
Bibliografi
Relaterede artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">