Navnet sølvnummer eller andel af sølv er blevet foreslået til forskellige generaliseringer af det gyldne forhold ; det mest almindelige er det, der gør antallet af sølv til det andet metalliske nummer .
Antallet af penge, noteret eller er lig med (suite A014176 i OEIS ); dette er den eneste positive løsning på ligningen .
Det kan også skrives som den rent periodiske fortsatte fraktion [ 2 ]:
eller som en uendelig indlejret radikal .
Ligesom det gyldne forhold er relateret til enhver generaliseret Fibonacci-sekvens, er sølvtallet relateret til enhver generaliseret Pell-sekvens , der bekræfter ; det generelle udtryk for en sådan sekvens er faktisk skrevet, hvor er den anden løsning af .
For eksempel for den Pell-sekvens , der er defineret korrekt , er den generelle betegnelse skrevet:
, formel svarende til Binets formel for Fibonacci-sekvensen.
Pell-Lucas-sekvensen af første termer bekræfter .
Desuden er antallet af penge grænsen for de på hinanden følgende rapporter for enhver fortsættelse af verifikation af uendelig grænse .
Omvendt bekræfter antallet af penge efter hinanden .
Antallet af sølv er et Pisot-Vijayaraghavan-nummer , det har en sjælden egenskab af Diophantine-tilnærmelse : sekvensen af brøkdele af dets kræfter har en tendens til 0.
Et rektangel, hvis forhold mellem længde og bredde er lig med antallet af sølv, kaldes undertiden et "sølvrektangel", analogt med det gyldne rektangel .
Men dette udtryk er tvetydigt: "sølvrektangel" kan også betegne et rektangel med proportion √ 2 , også kendt som A4-rektangel, i forhold til A4-papirstørrelse .
Sølvrektangler af begge typer har den egenskab, at ved at fjerne to maksimale firkanter fra dem får vi et lignende rektangel . Ved faktisk at fjerne den størst mulige firkant fra et rektangel af sølv af en af de to typer får vi et rektangel af sølv af den anden type, så ved at starte forfra finder vi et rektangel af sølv af samme type som original, men reduceret med en faktor på 1 + √ 2 .
Irrationaliteten af antallet af penge, og derfor af √ 2 , udledes af en uendelig nedstigning fremhævet af den modsatte konstruktion.
Vi konstruerer et rektangel med base p + q og højde q , med p = q √2. Forholdet ( p + q ) / q er lig med antallet af sølv 1 + √2 .
Målet er at fylde rektanglet med kvadrater så store som muligt. Den længste mulige side for de første firkanter er q , fordi højden er lig med q . Da p + q er større end 2 q og strengt mindre end 3 q , kan vi konstruere to firkanter med side q , i rødt i figuren. Det resterende område (i blåt i figuren) er et rektangel med siderne q og p - q . Nu har vi formlen:
Det indikerer, at det oprindelige rektangel og det blå er ens, idet forholdet mellem de to er forholdet ( p + q ) / q . Det er derefter muligt at udfylde det resterende område med nøjagtigt to firkanter med maksimal størrelse som før, og det resterende område er stadig et rektangel svarende til det oprindelige. Endelig får vi to firkanter af side q , derefter to firkanter for side ( p + q ) / q gange mindre end de første, derefter to firkanter for side ( p + q ) / q gange mindre end de foregående, og fortsættelsen gør stopper aldrig.
Hvis der var en sådan enhed, at basislængden og højdelængden var heltal, ville siderne på de forskellige firkanter altid være heltal, hvilket sikrer, at fortsættelsen ender med at stoppe, fordi firkanter af sider hele ikke kan blive uendeligt små. Andelen af penge ( p + q ) / q er derfor ikke rationel.
Den gyldne er den positiv løsning af ligningen , karakteristisk ligning af tilbagefald Fibonacci , blev det foreslået, at antallet af penge er den positive løsning af ligningen , karakteristisk ligning af tilbagefald: .
Men denne gentagelse som er blevet udpeget ved et ordspil, Tribonacci gentagelse , er den tilhørende konstant nu kaldes Tribonacci konstant , svarende til ca. .
På samme måde, vi også finde den første antal Pisot-Vijayaraghavan , unik positiv løsning af ligningen , karakteristisk ligning for fornyet Padovan :, men det er blevet degraderet til rang af plast nummer , eller konstant af Padovan.
Det omvendte af det gyldne tal er lig med , det er blevet foreslået, at antallet af sølv, der er noteret, er lig med .
Det er den positive rod i ligningen , der er forbundet med gentagelsen .
Ved hjælp af det gyldne forhold og dette andet sølvtal er det ret nemt at udtrykke den trigonometriske tabel for vinkler fra 1 ° til 45 °, fra grad til grad.Faktisk er disse multipla af 3 (kategori I) og / eller 5 (kategori II), multipla af 2 (kategori III) og første (kategori IV). Den første (kategori IV) er de yderligere 45 ° i kategori III. Kategori III beregnes let ud fra kategori I og II, som selv stammer fra og fra .
Spørgsmålet er, om vi kan gøre det bedre med andre tal, enten i klassen x 2 = q - px eller i klassen x 3 = q - p x.
[ref. nødvendig]Den Lissajous kurve og (kubisk) er nært beslægtet med dette problem, som det er quintic og .
Dette navn gives undertiden til en trekant (se gylden trekant ). Dens dimensioner er knyttet til det gyldne tal og ikke til sølvnummeret, så det er bedre at bruge navnet gylden gnomon .
(da) Ron Knott, " The Silver Means "
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">