Pseudoløsning

I matematik , mere præcist i lineær algebra , er en pseudoløsning af et system ( S ) af lineære ligninger et system, hvor løsningen af normale ligninger : opnås ved at multiplicere det første system med den transponerede matrix . Det ukendte er vektoren , dataene er matrixen og vektoren . $Axe = b$ ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! AAx = {} ^ {\ operatorname {t}} \! Ab}$ ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! A}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle A \ i M_ {n, p} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

Mens systemet ( S ) muligvis ikke har en løsning, generelt fordi det er overbestemt, dvs. med mere uafhængige ligninger end ukendte ( n > p ), tillader systemet med tilknyttede normale ligninger altid mindst en løsning; dette svarer oftest til anvendelsen af en mindste kvadraters metode .

Overbestemte og pseudoløsningssystemer af ligninger

I praksis griber overbestemte systemer naturligt ind i eksperimentelle processer.

For at tage et eksempel, hvis man ønsker at bestemme konstanterne og en enzymatisk reaktion i henhold til Michaelis-Menten-modellen , vil man udføre n målinger af reaktionshastigheden v som en funktion af koncentrationen c , idet man ved, at de er forbundet med ligningen hvor . ${\ displaystyle V_ {M}}$ $K_ {M}$ $y = økse + b$ ${\ displaystyle x = 1 / c, \, y = 1 / v, \, a = K_ {M} / V_ {M}, \ b = 1 / V_ {M}}$

Målingerne genererer et system med n ligninger med 2 ukendte a og b , men det opnåede system har generelt ingen løsning på grund af målingernes unøjagtighed, der gør det uforeneligt . $(x_i, y_i)$

Vi ved dog, at dette system skal have en løsning, og intet giver tilladelse til at favorisere visse ligninger frem for andre til at løse det.

Ideen er derefter at bestemme a og b for at minimere forskellen med den forventede løsning, dvs. at gøre udtrykket

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} -ax_ {i} -b) ^ {2}}

minimal. (Det ville være nul, hvis der ikke var måleunøjagtigheder).

Det er selve princippet om en opløsning i form af mindste kvadrater, som det udtrykkeligt fremgår, og som påkalder begrebet ortogonal projektion .

Karakterisering af en pseudoløsning

For at den lineære ligning Ax = b har løsninger, er det nødvendigt, at vektoren b hører til billedet af A (som vi her identificerer med det lineære kort over , som det repræsenterer). Hvis dette ikke er tilfældet, forsøger vi at minimere afstanden mellem b og Ax ved at finde den ortogonale projektion af b på , hvor vektoren Ax er uændret i denne projektion. $\ mathbb {R} ^ {p}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (A)}$

En vektor x af et pseudo-opløsning af ( S ), hvis og kun hvis vektoren Ax er den retvinklede projektion af vektoren b på billedet A . $\ mathbb {R} ^ {p}$

Ved karakterisering af det ortogonale projekt kan man bekræfte, at:

En vektor x af er en pseudo-opløsning af ( S ) hvis og kun hvis vektoren Ax minimerer afstanden til vektoren b : $\ mathbb {R} ^ {p}$

{\ displaystyle \ | b-Ax \ | _ {2} = \ min \ {\ | b-Ay \ | _ {2} \ mid y \ in \ mathbb {R} ^ {p} \}}

og vi finder en forestilling om mindste kvadrater, givet definitionen af standarden.

Eksistensen af pseudoløsninger

Da den ortogonale projektion af b on er et element i billedet, indrømmer det fortilfælde af A , så systemet altid indrømmer pseudoløsninger. ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (A)}$
Når systemet tillader mindst én løsning, er dets eget ortogonale projekt, og pseudoløsningerne til ( S ) er nøjagtigt løsningerne på ( S ). ${\ displaystyle b \ in \ mathrm {Im} (A)}$
Der er en unik pseudoløsning, når matrixen er inverterbar , det vil sige når dens rang er lig med p . Bemærk, at dette sted er også, at af A . ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! AA}$

Praktisk bestemmelse af pseudoløsninger

Matrixen er symmetrisk positiv og endda positiv bestemt, når den er inverterbar; guld ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! AA}$

”De nemmeste problemer med at løse lineære systemer at håndtere numerisk er dem, hvis matricer er symmetriske, positive. "

Men i praksis, at systemet ( S ) er ofte dårligt konditioneret , og systemet med normale ligninger er endnu mere, da dens konditionering (for euklidiske norm) er kvadratet af konditioneringen af den oprindelige ordning. Følgelig bestemmes pseudo-opløsningerne ved f.eks. En QR-nedbrydning .

I tilfælde af et underbestemt system og en matrix med maksimal rang kan faktorisering QR bruges, men hvis matricen ikke er inverterbar, bruger man en nedbrydning i entalværdier

Referencer

Bibliografi

A. Quarteroni, R. Sacco og F. Saleri, Numeriske metoder til videnskabelig computing, Matlab-programmer , Springer,2000( læs online )
Jean-Pierre Nougier, Numeriske beregningsmetoder , vol. 1: ligningssystemer , Paris, Hermès,2001

Bemærkninger

Dette eksempel behandles mere detaljeret i F. Deluzet, A. Huard, A. Liné, J. Morchain, P. Poncet, G. Quinio og P. Villedieu, “ Sujets de TP, INSA ” , 2005/2006 , s. . 7.
En demonstration er tilgængelig på Wikiversity ( se nedenfor ).
Philippe G. Ciarlet, Introduktion til matrix numerisk analyse og optimering , Dunod, Paris, 1998, s. 26.
Nougier 2001 , s. 164.
Quarteroni, Sacco og Saleri 2000 , s. 107.

Se også