q - Pochhammer-symbol
I kombinatorik er q- symbolet for Pochhammer et symbol, der gør det let at bemærke visse produkter. Det er det grundlæggende element i q -analoger . Det er q -analogen af Pochhammer- symbolet defineret af Leo Pochhammer .
Definition og notationer
Den q -symbolet Pochhammer er:
(på;q)ikke=∏k=0ikke-1(1-påqk)=(1-på)(1-påq)(1-påq2)⋯(1-påqikke-1){\ displaystyle (a; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1- aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {n-1})}![(a; q) _ {n} = \ prod _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1 -aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {{n-1}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46d2065b6578f314f0353ee519c16683dd948b4)
med
(på;q)0=1{\ displaystyle (a; q) _ {0} = 1}![(a; q) _ {0} = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c38b5142c32083116677f59bb8bffab863a531)
.
Vi kan udvide notationen til uendelige produkter:
(på;q)∞=∏k=0∞(1-påqk).{\ displaystyle (a; q) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-aq ^ {k}).}![(a; q) _ {\ infty} = \ prod _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} (1-aq ^ {k}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c60a175e4b6f002bfc94d4b00fcf190cc282915)
Vi bemærker undertiden , når det er klart, at variablen er q .
(på)ikke=(på;q)ikke{\ displaystyle (a) _ {n} = (a; q) _ {n}}![(a) _ {n} = (a; q) _ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d59d9290e4283e9c98c640f61d631455d25452)
Partitionsgenererende funktioner
Et stort antal genererende serier, der repræsenterer partitioner, kan udtrykkes kompakt med disse symboler. For eksempel kan antallet af p ( n ) for partitioner af heltal n skrives:
∑ikke=0∞s(ikke)qikke=∏ikke=1∞11-qikke=1(q;q)∞{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p (n) q ^ {n} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-q ^ {n}}} = {\ frac {1} {(q; q) _ {\ infty}}}}![{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p (n) q ^ {n} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-q ^ {n}}} = {\ frac {1} {(q; q) _ {\ infty}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab7e13e6e2e99d08a3e8f63fa20a8bd70ff1019)
.
Bemærk, at vi her finder det omvendte af Euler-funktionen .
Identiteter
En af de enkleste identiteter er q- binærsætningen (udtrykt her med den kompakte notation):
∑ikke∈IKKE(på)ikke(q)ikkezikke=(påz)∞(z)∞{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {(a) _ {n}} {(q) _ {n}}} z ^ {n} = {\ frac {(az ) _ {\ infty}} {(z) _ {\ infty}}}}![{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {(a) _ {n}} {(q) _ {n}}} z ^ {n} = {\ frac {(az ) _ {\ infty}} {(z) _ {\ infty}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a551c09cfdc7c73f3b18339f02b1cc325f872f9)
,
hvis særlige tilfælde er Eulers to identiteter:
(z)∞=∑ikke∈IKKEqikke(ikke-1)/2(q)ikke(-z)ikkeog1(z)∞=∑ikke∈IKKEzikke(q)ikke{\ displaystyle (z) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {q ^ {n (n-1) / 2}} {(q) _ {n} }} (- z) ^ {n} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {1} {(z) _ {\ infty}}} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N }} {\ frac {z ^ {n}} {(q) _ {n}}}}![{\ displaystyle (z) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {q ^ {n (n-1) / 2}} {(q) _ {n} }} (- z) ^ {n} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {1} {(z) _ {\ infty}}} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N }} {\ frac {z ^ {n}} {(q) _ {n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb286a0769f63c7fc5a76a351c7b24831f5b6500)
.
Det kan udledes sætninger, såsom den for de femkantede numre : eller det færdige tredobbelte produkt af Jacobi .
(q;q)∞=∑k∈Z(-1)kqk(3k-1)/2{\ displaystyle (q; q) _ {\ infty} = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} (- 1) ^ {k} q ^ {k (3k-1) / 2}}![{\ displaystyle (q; q) _ {\ infty} = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} (- 1) ^ {k} q ^ {k (3k-1) / 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f94ba4b89c31c3c78e5d74fddcf97a710fa7b9)
Beregninger på q -serier gør det også muligt at finde lighed mellem kombinatoriske objekter uden at udtrykke nogen sammenhæng, dette er f.eks. Tilfældet med Rogers-Ramanujan-identiteter .
Noter og referencer
-
(i) Eric W. Weisstein , " Q-Series " på MathWorld
-
(i) George Gasper , " Undervisningsnoter for en indledende minicourse er q-serien " på arxiv.org (Cornell University Library) ,1995( arXiv math.CA/9509223 , adgang til 26. september 2016 ) ,s. 3
-
Se beviset for " q- binomial sætning og Eulers identiteter" i lektionen "Introduktion til talteori" på Wikiversity .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">