I matematik er en aksial refleksion eller symmetri af det euklidiske plan en ortogonal symmetri med hensyn til en linje (vektorlinie, hvis det er et euklidisk vektorplan). Det udgør derefter en ortogonal aksial symmetri .
Mere generelt er en refleksion i ethvert euklidisk rum en ortogonal symmetri i forhold til et hyperplan , det vil sige til et underrum af codimension 1. I dimension 3 er det derfor en symmetri, der er vinkelret på et plan. Oprindelsen af udtrykket er godt forstået i forbindelse med spejle, der reflekterer et billede. Figurbillede og startfigur er isometrisk.
Refleksioner er, som alle symmetrier, involutionære transformationer .
En refleksion er en anti-forskydning (eller negativ isometri ).
I et euklidisk vektorplan henvist til en ortonormal basis,
Vektorrefleksionerne i et euklidisk rum kan udtrykkes ved hjælp af en vektor, der er normal for refleksionshyperplanet:
Disse er vektorisometrier med determinant -1. De holder det skalære produkt, men de omdanner ethvert ortonormalt grundlag til et ortonormalt grundlag med modsat orientering . Det erkendes i overvejelserne ekspression af den retvinklede projektion på linjen genereret af k : ; refleksion er derfor også en selvtilført endomorfisme .
Ifølge Cartan-Dieudonne-sætningen genererer refleksionerne den ortogonale gruppe . Mere præcist, i dimension n , er enhver vektorisometri produkt af højst n refleksioner.
På ortonormalt grundlag har refleksionerne for repræsentative matricer Householder-matricerne, som f.eks. Griber ind i QR-nedbrydningsalgoritmen .