R0-matrix

I matematik er en -matrix en reel firkantmatrix , der giver bestemte egenskaber til lineære komplementaritetsproblemer . Disse egenskaber, som er vanskelige at udtrykke med få ord, er beskrevet i definitionen nedenfor. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Definitioner

De ækvivalente egenskaber, der kan tjene som definition for -matricer, kræver tilbagekaldelse af nogle forestillinger. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

For en vektor betyder notationen , at alle komponenterne i vektoren er positive. Givet en kvadratisk reel matrix og en vektor , en lineær komplementaritet problem består i at finde en vektor , således at , og , som er skrevet i en forkortet måde som følger: $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

${\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$
En funktion defineret med reelle værdier siges at være tvangsmæssig, hvis den har sine sæt afgrænsede underniveauer , hvilket svarer til at sige, at den har tendens til uendelig, hvis . $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ to \ infty}$

Vi kan nu give definitionen af en -matrix. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

${\ mathbf {R_ {0}}}$ -matrix - Vi siger, at en reel firkantet matrix er en -matrix, hvis en af følgende ækvivalente egenskaber har: ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$

den eneste løsning på problemet er nul-løsningen, ${\ mbox {CL}} (M, 0)$
uanset hvad , funktionen er tvangsmæssig, $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}$
funktionen er tvangsmæssig. ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$

Vi betegner sæt -matricer af enhver ordre. Vi kalder -matricity egenskaben for en matrix at høre til ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}.}$

Forbindelsen mellem problemet og funktionen kommer fra det faktum, at det er en løsning på hvis, og kun hvis, (operatøren handler komponent for komponent). ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$ $x$ ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle \ min (x, Mx) = 0}$ $\ min$

Ejendom

Forbindelse med medejerskab

En egenværdi eller Pareto egenværdi af en symmetrisk reel matrix er en kritisk værdi af optimeringsproblemet ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

${\ displaystyle \ min _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ oven \ | x \ | = 1} \ oven på x \ geqslant 0} \; x ^ {\! \ top} Mx,}$

dvs. værdien af kriteriet ved et stationært punkt af dette problem, hvilket svarer til at sige, at det lineære komplementaritetsproblem nedenfor har en ikke-nul- løsning : ${\ displaystyle \ mu = x ^ {\! \ top} Mx}$ $x$

${\ displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (M- \ mu I) x \ geqslant 0.}$

Ifølge definition 1 af -matricitet ser vi, at for en symmetrisk matrix svarer denne opfattelse til at sige, at matrixen ikke har en nul korrekt kovalue. Det kan være nyttigt at bringe denne definition tættere på definitionen af egenværdierne i en symmetrisk matrix , som kan opnås som kritiske værdier for Rayleigh-kvotienten uden den anvendte positivitetsbegrænsning her. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Tillæg

Relateret artikel

Lineær komplementaritet

Bibliografi

(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Det lineære komplementaritetsproblem . Klassikere i anvendt matematik 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Endelige-dimensionelle variationer i uligheder og komplementaritetsproblemer (2 bind). Springer Series i Operations Research. Springer-Verlag, New York.