Forhold mellem Rankine og Hugoniot

Den Forholdet Rankine-Hugoniot udtrykker diskontinuitet af varierende mængder gennem en chokbølge eller en brudlinje i en gas. Det blev navngivet til ære for Pierre-Henri Hugoniot og William Rankine .

Den generelle sag

Vi er interesserede i delvise differentialligninger i dimension 1 af typen:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial f (w)} {\ partial x}} = 0}

Disse ligninger siges at være hyperbolske, når den Jacobianske matrix af f er diagonaliserbar og har positive reelle værdier, hvilket antages at være verificeret her. Sådanne ligninger tillader regelmæssige løsninger og diskontinuerlige løsninger, som vi er interesserede i.

Vi integrerer konserveringsligningen ovenfor i nærheden af abscissen $x c$ af diskontinuiteten:

{\ displaystyle \ int _ {x_ {c} - \ varepsilon} ^ {x_ {c} + \ varepsilon} {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} x = f [ w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}

Ved hjælp af Leibniz integrationsregel kommer det:

{\ displaystyle v_ {c} \, [w (x_ {c} - \ varepsilon) -w (x_ {c} + \ varepsilon)] + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ { x_ {c} - \ varepsilon} ^ {x_ {c}} w \ mathrm {d} x + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {x_ {c}} ^ {x_ {c } + \ varepsilon} w \ mathrm {d} x = f [w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}

Man bemærkede udbredelseshastigheden af diskontinuiteten. ${\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {c}} {\ mathrm {d} t}}}$

Ved at gøre dette opnår vi springforholdet mellem $w$ : $\ varepsilon \ rightarrow 0$

{\ displaystyle v_ {c} \, [w (x_ {c} - \ varepsilon) -w (x_ {c} + \ varepsilon)] = f [w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}

For at forenkle notationerne skriver vi

{\ displaystyle v_ {c} \, (w_ {g} -w_ {d}) = f (w_ {g}) - f (w_ {d})}

Burgers ligning

Et simpelt eksempel er Burgers ligning, der matcher definitionen ovenfor med og . ${\ displaystyle w = u}$ ${\ displaystyle f (w) = {\ frac {u ^ {2}} {2}}}$

I dette tilfælde skrives springligningen:

{\ displaystyle v_ {c} \, (u_ {d} -u_ {g}) = {\ frac {u_ {d} ^ {2} -u_ {g} ^ {2}} {2}}}

{\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {u_ {d} + u_ {g}} {2}}}

Et stationært chok indebærer derfor nødvendigvis det . ${\ displaystyle u_ {d} = - u_ {g}}$

Eulers ligninger

Ustabilt problem

Vi anvender springforholdet for hver af Eulers ligninger :

Kontinuitet	${\ displaystyle w = \ rho}$	${\ displaystyle f (w) = \ rho V}$	${\ displaystyle v_ {c} \, (\ rho _ {d} - \ rho _ {g}) = \ rho _ {d} V_ {d} - \ rho _ {g} V_ {g}}$
Mængde af bevægelse	${\ displaystyle w = \ rho V}$	${\ displaystyle f (w) = \ rho V ^ {2} + p}$	${\ displaystyle v_ {c} \, (\ rho _ {d} V_ {d} - \ rho _ {g} V_ {g}) = (\ rho _ {d} V_ {d} ^ {2} + p_ {d}) - (\ rho _ {g} V_ {g} ^ {2} + p_ {g})}$
Energi	${\ displaystyle w = \ rho E}$	${\ displaystyle f (w) = (\ rho E + p) V}$	${\ displaystyle v_ {c} \, (\ rho _ {d} E_ {d} - \ rho _ {g} E_ {g}) = (\ rho _ {d} E_ {d} + p_ {d}) V_ {d} - (\ rho _ {g} E_ {g} + p_ {g}) V_ {g}}$

Vi bemærkede:

$\ rho$ tætheden,
$V$ fart,
$s$ tryk,
${\ displaystyle E = e + {\ frac {v ^ {2}} {2}}}$ samlet energi pr. masseenhed,
$e$ den interne energi pr. masseenhed.

Diskontinuiteten kan være af to typer:

chokket, hvor alle mængder er diskontinuerlige,
kontaktdiskontinuiteten, hvor hastigheden og trykket er kontinuerligt. Dette svarer til to strømlinjer, der glider ved siden af hinanden uden at trænge ind i hinanden og have det samme tryk (bevarelse af momentum). ${\ displaystyle \ left (v_ {c} = V_ {d} = V_ {g} \ right)}$

Stationært højre chok

I tilfælde af et stationært chok som ved aerodynamik bliver springforholdene: ${\ displaystyle v_ {c} = 0}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ rho _ {d} V_ {d} & = & \ rho _ {g} V_ {g} \\ [0.6em] \ rho _ {d} V_ {d } ^ {2} + p_ {d} & = & \ rho _ {g} V_ {g} ^ {2} + p_ {g} \\ [0.6em] (\ rho _ {d} E_ {d} + p_ {d}) V_ {d} & = & (\ rho _ {g} E_ {g} + p_ {g}) V_ {g} \ end {array}}}

Ved at forenkle energihopligningen ved springforholdet på massestrømningshastigheden opnår vi bevarelsen af den totale entalpi:

{\ displaystyle H_ {g} = H_ {d}}

eller

{\ displaystyle H = E + {\ frac {p} {\ rho}} = e + {\ frac {V ^ {2}} {2}} + {\ frac {p} {\ rho}}}

I tilfælde af en ideel gas udtrækker vi forholdet, der forbinder "springene", det vil sige forholdet mellem værdierne nedstrøms og opstrøms for chokket ved at indføre Mach-nummeret opstrøms, antages at være en data om problemet ${\ displaystyle p = (\ gamma -1) \ rho e}$

{\ displaystyle M_ {g} = {\ frac {V_ {g}} {\ sqrt {\ gamma rT_ {g}}}}}

hvor r er den specifikke gaskonstant .

Disse forhold er som følger

{\ displaystyle R = {\ frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} = {\ frac {V_ {g}} {V_ {d}}} = {\ frac {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2}} {(\ gamma -1) M_ {g} ^ {2} +2}}}

{\ displaystyle {\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} = 1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {g} ^ {2} -1)}

{\ displaystyle {\ frac {T_ {d}} {T_ {g}}} = {\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} {\ frac {\ rho _ {g}} {\ rho _ {d}}}}

{\ displaystyle {\ frac {M_ {d}} {M_ {g}}} = \ venstre [R ^ {2} + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {g} ^ {2} (R ^ {2} -1) \ højre] ^ {- {\ frac {1} {2}}}}

Densitetsforholdet er begrænset når ${\ displaystyle M_ {g} \ to \ infty}$

{\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} \ til {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}}

For eksempel til luft dannet af diatomiske molekyler, hvor grænsen for densitetsforholdet er lig med 6. ${\ displaystyle \ gamma = 1.4}$

Vi kan også beregne den reducerede entropi-variation , hvor C V er volumenvarmekapaciteten ${\ displaystyle {\ frac {S} {C_ {V}}} = \ ln {\ frac {p} {\ rho ^ {\ gamma}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {S_ {d} -S_ {g}} {C_ {V}}} = \ ln \ left ({\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} \ højre) - \ gamma \ ln \ left ({\ frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} \ right)}

Denne værdi er nul for M g = 1 og stiger med Mach-tallet. Værdierne af M g <1 fører til negative værdier, der er forbudt af termodynamik. Der er ingen chok for . ${\ displaystyle M_ {g} \ leq 1}$

Stationært skråt stød

Et stationært skråt stød kan være til stede i en geometrisk konfiguration af den dihedrale type (se figur). Inden for rammerne af Eulers ligninger ignorerer man de komplekse fænomener med viskøs interaktion i umiddelbar nærhed af muren.

Skriv bevarelsen af momentumdensitetstensoren gennem chokket

{\ displaystyle (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} + p) \ cdot \ mathbf {n} = \ rho {\ begin {pmatrix} V _ {\ perp} ^ {2} & V _ {\ perp} V_ {\ parallel} \\ V _ {\ perp} V _ {\ parallel} & V _ {\ parallel} ^ {2} \ end {pmatrix}} {\ start {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + p {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ rho V _ {\ perp} ^ {2} + p \\\ rho V _ { \ perp} V _ {\ parallel} \ end {pmatrix}}}

hvor er stødet normalt, og komponenterne i henholdsvis V normale og parallelle. Derfor bevarelsesforholdene ${\ displaystyle \ mathbf {n} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle V _ {\ parallel}}$

{\ displaystyle \ rho V _ {\ perp d} ^ {2} + p_ {d} = \ rho V _ {\ perp g} ^ {2} + p_ {g}}

{\ displaystyle \ rho V _ {\ perp d} V _ {\ parallel d} = \ rho V _ {\ perp g} V _ {\ parallel g}}

Bevarelse af masse er skrevet

{\ displaystyle \ rho _ {d} V _ {\ perp d} = \ rho _ {g} V _ {\ perp g}}

Fra de sidste to ligninger udleder man bevarelsen af den parallelle hastighed , som man således vil bemærke ${\ displaystyle V _ {\ parallel d} = V _ {\ parallel g}}$ ${\ displaystyle V _ {\ parallel}}$

Systemet er derfor identisk med det med den rette indvirkning for de normale hastigheder og de parallelle hastigheder og Mach-numrene på disse komponenter, og den sidstnævnte mængde er derfor mindre end enhed. Dette foregriber ikke på nogen måde, om strømmen nedstrøms for chokket er subsonisk eller supersonisk. Fra forholdet til det rigtige chok kan vi derfor give ${\ displaystyle V_ {g} \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle V_ {d} \ sin (\ theta - \ beta)}$ ${\ displaystyle V_ {g} \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle V_ {d} \ cos (\ theta - \ beta)}$ ${\ displaystyle M_ {g} \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle M_ {d} \ sin (\ theta - \ beta)}$

udtrykket, der relaterer den ukendte vinkel θ til Mach-nummeret og vinklen på dihedronen β i implicit form

{\ displaystyle {\ frac {V _ {\ perp 2}} {V _ {\ perp 1}}} = {\ frac {V _ {\ perp 2}} {V _ {\ parallel}}} {\ frac {V _ {\ parallel}} {V _ {\ perp 1}}} = {\ frac {\ tan (\ theta - \ beta)} {\ tan \ theta}} = {\ frac {(\ gamma -1 ) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta +2} {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}

som er forenklet i

{\ displaystyle \ tan \ beta = {\ frac {2} {\ tan \ theta}} \, {\ frac {M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta -1} {M_ {g } ^ {2} (\ gamma + \ cos 2 \ theta) +2}}}

De tilsvarende kurver (se figur) viser, at:
- to mulige stødvinkler kan svare til en given tovinklet vinkel og derfor stød med forskellig styrke ("kraften" måles f.eks. ved tryk spring); for et svagt stød (generelt set) fører en stigning i Mach-antallet til et fald i stødvinklen;
- for givet M er der et maksimum på β, der tillader en ret stød, ud over det vises en anden konfiguration: en buet stød foran på dihedronfoden .
tryk springet

{\ displaystyle {\ frac {p_ {d}} {p_ {g}}} = 1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {g} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta -1)}

tæthedshoppet

{\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} = {\ frac {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta } {(\ gamma -1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta +2}}}

nedstrøms Mach-nummer

{\ displaystyle M_ {2} = {\ frac {1} {\ sin (\ theta - \ beta)}} {\ sqrt {\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ { g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ gamma M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta - {\ frac {\ gamma -1} {2}}}} }}

Referencer

(in) ® Salas , " The Curious Events Leading to theory of Shock Waves " , 17. Shock Interaction Symposium , Rom,2006( læs online )
Pierre-Henri Hugoniot , " Memoir om forplantning af bevægelser i kroppe og især i ideelle gasser (anden del) ", Journal de l'École Polytechnique , vol. 58,1889, s. 1–125 ( læs online )
(in) William Rankine , " Om den termodynamiske teori om bølger af endelige langsgående forstyrrelser " , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 160,1870, s. 277–288 ( læs online )
Marc Buffat, " relationer gennem en ret chok "
(i) John D. Anderson, Jr., Fundamentals of Aerodynamik , New York / St. Louis / Paris osv., McGraw-Hill Education ,1991, 772 s. ( ISBN 0-07-001679-8 )

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Rankine - Hugoniot-forhold " ( se listen over forfattere ) .

eksterne links

Beregning af reelle gasstød. Gasdynamikværktøjskasse