Produktdiagram

I algebraisk geometri er produktet af to diagrammer (mere nøjagtigt af to diagrammer over det samme grunddiagram) ækvivalent med produkterne af ringe, af vektorrum, af topologiske rum ... Det er et grundlæggende værktøj til opbygning af diagrammer, skift af baser osv. .

Definition

Vi løser en diagram (kaldet et grundlæggende diagram), og vi betragter kategori af -schemes . Lad der være to skemaer. I kategoriske sproget, (fiber) produkt af ovenstående er simpelthen fiber produkt af , i kategorien for -schemas. Mere konkret er fiberproduktet ovenfor data for et bemærket -skema og for morfismer ( projektionsmorfismer ) , der opfylder følgende universelle egenskab: S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}x,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}x,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}x→S{\ displaystyle X \ til S}Y→S{\ displaystyle Y \ til S}S{\ displaystyle S}x,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}x×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}s:x×SY→x{\ displaystyle p: X \ gange _ {S} Y \ til X}q:x×SY→Y{\ displaystyle q: X \ gange _ {S} Y \ til Y}

for enhver -schema og for enhver par morfier af -schemas og eksisterer der et unikt morphism sådan, at og .S{\ displaystyle S}Z{\ displaystyle Z}S{\ displaystyle S}f:Z→x{\ displaystyle f: Z \ til X}g:Z→Y{\ displaystyle g: Z \ til Y}h:Z→x×SY{\ displaystyle h: Z \ til X \ gange _ {S} Y}f=sh{\ displaystyle f = ph}g=qh{\ displaystyle g = qh}

Proposition  -  Fiberproduktet eksisterer og er unikt op til en enkelt isomorfisme. (x×SY,s,q){\ displaystyle (X \ times _ {S} Y, p, q)}

Som enhver løsning på et universelt problem følger unikhed straks fra definitionen. Eksistensen bevises ved at reducere sig selv til fiberproduktet fra to affine-skemaer over et affine-skema. Vi bruger derefter det faktum, at tensorproduktet fra to algebraer over en enheds kommutativ ring er summen i kategorien -algebras, den modsatte kategori af kategorien affine-ordninger. PÅ{\ displaystyle A}PÅ{\ displaystyle A}PÅ{\ displaystyle A}

Bedømmelse. Fiberproduktet betegnes generelt ved , at projektionsmorfismerne er underforstået. Hvis er affin, kan vi erstatte med i notationen. Morfismen i den universelle egenskab ovenfor bemærkes . x×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}S=Ssevs.PÅ{\ displaystyle S = {\ rm {Spec}} A}S{\ displaystyle S}PÅ{\ displaystyle A}h:Z→x×SY{\ displaystyle h: Z \ til X \ gange _ {S} Y}(f,g){\ displaystyle (f, g)}

Første egenskaber

• For ethvert diagram , applikationenS{\ displaystyle S}Z{\ displaystyle Z}

MorS(Z,x×SY)→MorS(Z,x)×MorS(Z,Y){\ displaystyle {\ rm {Mor}} _ {S} (Z, X \ gange _ {S} Y) \ til {\ rm {Mor}} _ {S} (Z, X) \ gange {\ rm { Mor}} _ {S} (Z, Y)}

defineret af er bijektiv. h↦(sh,qh){\ displaystyle h \ mapsto (ph, qh)}

• Hvis og er affine, så induceres og projektionsmorfismerne af ringhomomorfier , defineret henholdsvis af og .x=Ssevs.PÅ,Y=Ssevs.B{\ displaystyle X = {\ rm {Spec}} A, Y = {\ rm {Spec}} B}S=Ssevs.R{\ displaystyle S = {\ rm {Spec}} R}x×SY=Ssevs.(PÅ⊗RB){\ displaystyle X \ times _ {S} Y = {\ rm {Spec}} (A \ otimes _ {R} B)}s,q{\ displaystyle p, q}PÅ→PÅ⊗RB{\ displaystyle A \ til A \ otimes _ {R} B}B→PÅ⊗RB{\ displaystyle B \ til A \ otimes _ {R} B}på↦på⊗1{\ displaystyle a \ mapsto a \ otimes 1}b↦1⊗b{\ displaystyle b \ mapsto 1 \ otimes b}
• Hvis er respektive åbne dele af , så , og projektionsmorfismerne af er bare begrænsningerne for .U,V{\ displaystyle U, V}x,Y{\ displaystyle X, Y}U×SV=s-1(U)∩q-1(V){\ displaystyle U \ times _ {S} V = p ^ {- 1} (U) \ cap q ^ {- 1} (V)}U×SV{\ displaystyle U \ times _ {S} V}s,q{\ displaystyle p, q}
• Vi har kanoniske isomorfier

x×SY→Y×Sx,{\ displaystyle X \ times _ {S} Y \ to Y \ times _ {S} X,} (x×SY)×SZ→x×S(Y×SZ){\ displaystyle (X \ times _ {S} Y) \ times _ {S} Z \ to X \ times _ {S} (Y \ times _ {S} Z)}

• Hvis er et -skema, så har vi en kanonisk isomorfismeZ{\ displaystyle Z}Y{\ displaystyle Y}

(x×SZ)×ZY→x×SY.{\ displaystyle (X \ times _ {S} Z) \ times _ {Z} Y \ til X \ times _ {S} Y.}

Eksempler

• Hvis er algebraer over et felt . Derefter er -affinediagrammet forbundet med -algebra . PÅ,B{\ displaystyle A, B}k{\ displaystyle k}Ssevs.PÅ×kSsevs.B{\ displaystyle {\ rm {Spec}} A \ times _ {k} {\ rm {SpecB}}}k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}PÅ⊗kB{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}
  • Hvis og , så . Så .PÅ=k[T1,...,Tikke]{\ displaystyle A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}B=k[S1,...,Sm]{\ displaystyle B = k [S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}PÅ⊗kB=k[T1,...,Tikke,S1,...,Sm]{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}, S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}PÅkikke×kPÅkm=PÅkikke+m{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {n} \ times _ {k} {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {m} = {\ mathbb {A}} _ {k } ^ {n + m}}
  • Hvis og , så er kvotienten af det ideal, der genereres af .PÅ=k[T1,...,Tikke]/jeg{\ displaystyle A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I}B=k[S1,...,Sm]/J{\ displaystyle B = k [S_ {1}, \ ldots, S_ {m}] / J}PÅ⊗kB{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}k[T1,...,Tikke,S1,...,Sm]{\ displaystyle k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}, S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}jeg,J{\ displaystyle I, J}
• Produktet af den projicerende linje i sig selv er ikke isomorft i forhold til det projicerende plan . Dette produkt er kvadratisk isomorf af . Mere generelt er produktet af to projicerende manifolder en projektiv manifold ( Segre-indlejring ).Pk1{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {1}}Pk2{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {2}}x0x3-x1x2=0{\ displaystyle x_ {0} x_ {3} -x_ {1} x_ {2} = 0}Pk3{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {3}}
• Ssevs.VS×RSsevs.VS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} {\ mathbb {C}} \ times _ {\ mathbb {R}} {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}er en algebraisk sort, som har nøjagtigt to punkter, mens hver komponent kun har en.R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Ssevs.VS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}

Pointene med er ikke punkterne i det kartesiske produkt generelt (jf. Ovenstående eksempel på et produkt ovenfor med sig selv). For algebraiske sorter over et felt har vi det x×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y} x×Y{\ displaystyle X \ gange Y}Ssevs.VS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}k{\ displaystyle k}

(x×kY)(k)=x(k)×Y(k).{\ displaystyle (X \ times _ {k} Y) (k) = X (k) \ times Y (k).}

Så vi har en god kontrol over de rationelle punkter. Selv når algebraisk er lukket, og vi begrænser os til lukkede punkter (de lukkede punkter i er i forbindelse med det kartesiske produkt af de lukkede punkter i og i dette tilfælde), er Zariskis topologi på produktet (kartesisk produkt) strengere end produkttopologien generelt. For eksempel, hvis er linjen affine på . Det samme er affinplanet . Den åbne Zariski (det komplementære af diagonalen) indeholder ingen åbne åbninger af formularen med åbninger af . k{\ displaystyle k}x×kY{\ displaystyle X \ times _ {k} Y}x{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}x×Y{\ displaystyle X \ gange Y}x=Y{\ displaystyle X = Y}k{\ displaystyle k}x×kY{\ displaystyle X \ times _ {k} Y}Ssevs.k[t,s]{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k [t, s]}D(t-s){\ displaystyle D (ts)}U×V{\ displaystyle U \ times V}U,V{\ displaystyle U, V}PÅk1{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {1}}

Ændring af baser

Begrebet at ændre baser er grundlæggende i mønsterteori. Lad være et -skema. Lad være en morfisme af diagrammer. Derefter er fiberproduktet, der leveres med den anden fremspring , et -skema, og vi siger, at det opnås ved skift af baser . Det således opnåede diagram bemærkes . Mere generelt er en morfisme af -schemaer, fiberen produceret af inducerer en morfisme af -schemaer. x→S{\ displaystyle X \ til S}S{\ displaystyle S}T→S{\ displaystyle T \ til S}x×ST{\ displaystyle X \ times _ {S} T}q:x×ST→T{\ displaystyle q: X \ gange _ {S} T \ til T}T{\ displaystyle T}T→S{\ displaystyle T \ til S}T{\ displaystyle T}xT{\ displaystyle X_ {T}}f:x→Y{\ displaystyle f: X \ til Y}S{\ displaystyle S}T{\ displaystyle T}fT:xT→YY{\ displaystyle f_ {T}: X_ {T} \ til Y_ {Y}}T{\ displaystyle T}

• For eksempel, hvis det er en homomorfisme af ringe (enhedskommutativer), kan det affine rum konstrueres ud fra ved at overveje ændring af baser .B→VS{\ displaystyle B \ til C}PÅVSikke{\ displaystyle A_ {C} ^ {n}}PÅBikke{\ displaystyle A_ {B} ^ {n}}Ssevs.VS→Ssevs.B{\ displaystyle {\ rm {Spec}} C \ til {\ rm {Spec}} B}
• Hvis er et felt udvidelse, bliver, efter at have skiftet databaser , .K/k{\ displaystyle K / k}Ssevs.k[T1,...,Tikke]/jeg{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I}Ssevs.K→Ssevs.k{\ displaystyle {\ rm {Spec}} K \ til {\ rm {Spec}} k}Ssevs.(K[T1,...,Tikke]/(jeg)){\ displaystyle {\ rm {Spec}} (K [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}
• Ligeledes bliver .Projk[T0,...,Tikke]/jeg{\ displaystyle {\ rm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / I}Proj(K[T0,...,Tikke]/(jeg)){\ displaystyle {\ rm {Proj}} (K [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}

I disse to eksempler er basisændringen givet af en feltudvidelse. Vi taler derefter om udvidelse af basisfeltet eller udvidelser af skalarer . For eksempel bliver en ikke-ental projektiv konisk isomorf til den projicerende linje efter en kvadratisk udvidelse, der kan adskilles fra basisfeltet.

• Hvis er en algebraisk sort over et felt, og hvis er en udvidelse. Derefter er det sæt rationelle punkter af .x{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}K/k{\ displaystyle K / k}x(K)=xK(K){\ displaystyle X (K) = X_ {K} (K)}xK{\ displaystyle X_ {K}}

Fibre af en morfisme

Lad være en morfisme af diagrammer. Lad være et punkt. Ensemblistement, den fiber af i er delmængden af . Fiberproduktet gør det muligt kanonisk at give denne delmængde en skemastruktur. Faktisk har vi en kanonisk morfisme , hvor er restfeltet for en . Enten . Det er et diagram ved den anden projektion. Vi viser, at fremskrivningen fremkalder en homeomorfisme af sur . Den skema kaldes en fiber . Den -schema kan derefter ses som familien af -schemas, når gennemkører de punkter . f:x→Y{\ displaystyle f: X \ til Y}y∈Y{\ displaystyle y \ i Y}f{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}f-1(y){\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}x{\ displaystyle X}Ssevs.k(y)→Y{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k (y) \ til Y}k(y){\ displaystyle k (y)}Y{\ displaystyle Y}y{\ displaystyle y}xy: =x×YSsevs.k(y){\ displaystyle X_ {y}: = X \ gange _ {Y} {\ rm {Spec}} k (y)}k(y){\ displaystyle k (y)}x×YSsevs.k(y)→x{\ displaystyle X \ times _ {Y} {\ rm {Spec}} k (y) \ til X}xy{\ displaystyle X_ {y}}f-1(y){\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}k(y){\ displaystyle k (y)}xy{\ displaystyle X_ {y}}f{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}x{\ displaystyle X}k(y){\ displaystyle k (y)}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}

Hvis det ikke kan reduceres til generisk punkt , kaldes fiberen den generiske fiber af . Hvis er et lukket punkt , kaldes fiberen en lukket fiber (eller den specielle fiber, hvornår er spektret af en diskret værdiansættelsesring ). Y{\ displaystyle Y} η{\ displaystyle \ eta}xη{\ displaystyle X _ {\ eta}}f{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}xy{\ displaystyle X_ {y}}Y{\ displaystyle Y}

Eksempler

• Fibrene i den strukturelle morphism af affine rum på er affine rum .PÅYikke{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {Y} ^ {n}}Y{\ displaystyle Y}PÅk(y)ikke{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k (y)} ^ {n}}
• Lad hvor er et fast primtal. Det er et -skema. Dens generiske fiber er isomorf til højre, forfinerer oprindelsen mindre på den rationelle krop, fordi den er inverterbar . På samme måde er dens fiber i allerførste (således svarende til det første ideal ) isomorf til linjen, der affinerer mindre oprindelsen på det endelige felt med elementer. På den anden side er dets fiber i , lig med, foreningen af ​​to lige linjer, der er anbragt på tværs på et punkt. Denne fiber reduceres ikke, fordi klassen af i kvotienten er nulpotent og ikke nul.x=Ssevs.(Z[t,s]/(ts2-s)){\ displaystyle X = {\ rm {Spec}} (\ mathbb {Z} [t, s] / (ts ^ {2} -p))}s{\ displaystyle p}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}s{\ displaystyle p}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}l{\ displaystyle l}lZ{\ displaystyle l \ mathbb {Z}}Fl{\ displaystyle F_ {l}}l{\ displaystyle l}s{\ displaystyle p}Ssevs.Fs[t,s]/(ts2){\ displaystyle {\ rm {Spec}} F_ {p} [t, s] / (ts ^ {2})}Fs{\ displaystyle F_ {p}}ts{\ displaystyle ts}
• Lad være en udvidelse af antal felter og lad deres respektive ringe af heltal være . Lad være induceret af inkludering af ringe af heltal. Mens forlængelsen er ikke forgrenet over et første ideal af hvis og kun hvis fiberen i er en reduceret ordning.L/K{\ displaystyle L / K}OK,OL{\ displaystyle O_ {K}, O_ {L}}f:Ssevs.OL→Ssevs.OK{\ displaystyle f: {\ rm {Spec}} O_ {L} \ til {\ rm {Spec}} O_ {K}}L/K{\ displaystyle L / K}s{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}OK{\ displaystyle O_ {K}}f{\ displaystyle f}s{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
• Hvis er en elliptisk kurve på , definerer dens minimale Weierstrass-ligning et projektivt skema på (hvilket er ). Dens fiber i et primtal (set som punktet for ) er en projicerende kurve på hovedlegemet og kaldes (eller rettere en) reduktion af mod .E{\ displaystyle E}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}ProjZ[x,Y,Z]/(Y2Z+på1xZY+på3Z2Y-(x3+på2x2Z+på4xZ2+på6Z3){\ displaystyle {\ rm {Proj}} \ mathbb {Z} [X, Y, Z] / (Y ^ {2} Z + a_ {1} XZY + a_ {3} Z ^ {2} Y- (X ^ {3} + a_ {2} X ^ {2} Z + a_ {4} XZ ^ {2} + a_ {6} Z ^ {3})}s{\ displaystyle p}sZ{\ displaystyle p \ mathbb {Z}}Ssevs.Z{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {Z}}Fs{\ displaystyle F_ {p}}E{\ displaystyle E}s{\ displaystyle p}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">