Produkttopologi

I matematik , mere præcist i topologi , er produkttopologien en topologi defineret på et produkt af topologiske rum. Det er generelt den indledende topologi forbundet med fremspringene af produktet rum hen imod hver af sine faktorer: med andre ord, det er den mindste fine topologi gør de fremspring kontinuerlig .

Tilfælde af et færdigt produkt

I tilfælde af et færdigt produkt gør produkttopologien det især muligt at definere en naturlig topologi på from n fra of.

Hvis er topologiske rum, er et åbent for hvis og kun hvis der er respektive åbninger af sådan, at og . Med andre ord er et åbent produkt et møde mellem produkter med åbne faktorer. $X_ {1}, ..., X_ {n}$ $U$ $X = \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} X_ {i}$ $\ forall x \ i U$ $U_ {1}, ..., U_ {n}$ $X_ {1}, ..., X_ {n}$ $x \ i U_ {1} \ gange ... \ gange U_ {n}$ $U_ {1} \ times ... \ times U_ {n} \ subset U$

Vi kan kontrollere, at denne definition gør fremskrivningerne kontinuerlige (vi vil i den følgende del se, at dette faktisk karakteriserer produkttopologien), og at projektet med et åbent er et åbent. På den anden side er projektionen af en lukket ikke lukket. For eksempel lukkes sættet med ℝ 2 (det er det omvendte billede af en lukket: singleton ved en kontinuerlig funktion: produktet af par ), men dets fremspring på x- aksen er ikke lukket (det er faktisk ℝ *) . $\ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid xy = 1 \}$ $\ {1 \}$ $x$ $y$

Almindelig sag

Beskrivelsen nedenfor viser, at produkttopologien er et specielt tilfælde af en indledende topologi .

Enten en vilkårlig familie af topologiske rum, produktet af bemærket . Produkttopologien er de groveste topologiske kontinuerlige fremskrivninger : en opdrætter er alle , åben , med andre ord, er: $(X_ {i}, \ tau _ {i}) _ {{i \ i I}}$ $X_ {i}$ $x$ $p_ {i}: X \ rightarrow X_ {i}$ $p_ {i} ^ {{- 1}} (U_ {i})$ $U_ {i}$ $X_ {i}$ $jeg \ i jeg$

$\ left \ {\ left.U_ {i} \ times \ prod _ {{j \ i I, j \ neq i}} X_ {j} \ højre | i \ i I, U_ {i} \ in \ tau _ {i} \ højre \}.$

En base af produkttopologien dannes derefter af det sæt af endelige skæringspunkter mellem elementer i præbasen, det vil sige:

$\ venstre \ {\ venstre. \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} U _ {{i_ {k}}} \ gange \ prod _ {{j \ i I, j \ ikke \ i \ { i_ {1}, ..., i_ {n} \}}} X_ {j} \ højre | n \ i \ mathbb {N}, i_ {1}, \ ldots, i_ {n} \ i I, U_ {{i_ {1}}} \ in \ tau _ {{i_ {1}}}, \ ldots, U _ {{i_ {n}}} \ in \ tau _ {{i_ {n}}} \ højre \}.$

Derefter udleder vi let det endelige tilfælde ved at bemærke, at rumene er åbne, og at omvendt ethvert åbent produkt af nødvendigvis er endeligt. På den anden side i tilfældet med det uendelige produkt består grundlaget af produkter med et endeligt antal åbninger med de resterende mellemrum, og et uendeligt produkt af ikke-tomme åbninger er aldrig åbent, hvis et uendeligt antal af disse åbninger er forskellig fra . $X_ {1}, ..., X_ {n}$ $X_ {1}, ..., X_ {n}$ $X_ {i}$

Vigtige egenskaber

Lad X være produktet af X i for i ∈ I og Y et topologisk rum.
- Fremskrivningerne p i : X → X i er ikke kun kontinuerlige, men åbne .
- Et kort f : Y → X er kontinuerligt, hvis og kun hvis for alle i ∈ I , p i ∘ f er kontinuerlig (i henhold til den universelle egenskab, der karakteriserer en indledende topologi ).
- Hvis et kort g : X → Y er kontinuerligt, er alle dets delkort kontinuerlige (efter sammensætning for alle a ∈ X og alle i ∈ I , med kortet f : X i → X defineret af f ( t ) i = t og f ( t ) j = a j hvis j ≠ i , som er kontinuerlig fra det foregående punkt), men det omvendte er falsk .
- Hvis X Jeg er delområder af samme rum, er deres kryds kastet diagonalt i X .
Lad X være et topologisk rum, og jeg et sæt. Så er X I ingen ringere end det kartesiske produkt af | Jeg | kopier af X : $X ^ {I} = \ prod _ {{i \ i I}} X.$ En række funktioner fra I til X konvergerer for produkttopologien, hvis og kun hvis den simpelthen konvergerer. Vi kan sammenfatte dette ved at sige, at den producerede topologi er topologien for enkel konvergens .
Et færdigt eller tælleprodukt af metriserbare rum kan måles , mens et utalligt uendeligt produkt af ikke - grove rum ikke kan måles eller endda sekventielt .
Ethvert produkt af ensartede rum er ensartet.
Endelig er en af de vigtigste sætninger vedrørende produkttopologi Tychonovs sætning, der sikrer, at et produkt af komprimeringsmateriale er kompakt til denne topologi.

Relaterede artikler