Gaussisk sum

I matematik og mere præcist i modulær aritmetik er en Gauss-sum et komplekst tal, hvis definition bruger værktøjerne til harmonisk analyse på en endelig abelsk gruppe på det endelige felt ℤ / p ℤ hvor p betegner et ulige primtal og ℤ sæt af relative heltal .

De blev introduceret af matematikeren Carl Friedrich Gauss i hans Disquisitiones arithmeticae , udgivet i 1801 .

De bruges i teorien om cyklotomiske polynomer og har mange anvendelser. Vi kan f.eks. citere et bevis på den kvadratiske gensidighedslov .

Definition

I denne artikel betegner p et ulige primtal, F p det endelige felt ℤ / p ℤ og F p * den multiplikative gruppe af dets ikke-nul-elementer .

Lad ψ være et tegn på additivgruppen ( F p , +) og χ et tegn på den multiplikative gruppe ( F p *, ∙), så er Gauss-summen forbundet med χ og the det komplekse tal, her bemærket G (χ , ψ) og defineret af:

G (\ chi, \ psi) = \ sum _ {{x \ i {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (x) \ psi (x).

Med hensyn til Fourier-transformationen kan vi overveje det kort, som G forbinder G (χ −1 , ψ) som Fourier-transformationen af forlængelsen af χ til F p med ligestillingen χ (0) = 0 og det kort, som ψ forbinder G (χ −1 , ψ) som Fourier-transformation af begrænsningen fra ψ til F p *.

Ejendomme

Harmonisk analyse tillader adskillige beregninger af Gaussiske summer; dette afsnit giver nogle eksempler.

Hvis m er et helt tal til p , så $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$
Hvis de to tegn χ og ψ ikke er trivielle - dvs. ikke konstant lig med 1 - så $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ chi (-1) s.$

Demonstrationer

Hvis m er et helt tal til p , så $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$ Definitionen af en Gauss-sum indebærer faktisk: $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = \ sum _ {{k \ i {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (k) \ psi (mk).$ Ved at ændre variablen u = mk har vi derfor: $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = \ sum _ {{u \ i {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (m) ^ {{- 1}} \ chi (u) \ psi (u) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$
Hvis de to tegn χ og ψ ikke er trivielle, så $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ chi (-1) s.$ Definitionen af en Gauss-sum indebærer faktisk: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ sum _ {{k, l \ i {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (k) \ psi (k) \ chi (l) ^ {{- 1}} \ psi (l) = \ sum _ {{k, l \ i {\ mathbb F} _ {p} ^ {*} }} \ chi (kl ^ {{- 1}}) \ psi (k + l).$ Ved at ændre variablen u = kl −1 får vi: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ sum _ {{u \ i F_ {p} ^ {*}}} \ chi (u) \ left ( -1+ \ sum _ {{l \ i {\ mathbb F} _ {p}}} \ psi ((u + 1) l) \ højre).$ Imidlertid summen af værdierne af tilsætningsstoffet karakter l ↦ ψ (( u + 1) l ) er nul undtagen når denne karakter er triviel, det vil sige, når u = -1. Vi kan udlede: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ left (- \ sum _ {{u \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}} } \ chi (u) \ højre) + \ chi (-1) s.$ Ligeledes summen af værdierne for den ikke-triviel multiplikativ karakter $χ$ er nul, som slutter beviset.

Denne anden egenskab har følgende øjeblikkelige følge :

Hvis μ ( a ) betegner Legendre-symbolet ( a / p ) - lig med 1, hvis a er en firkant i F p * og ellers -1 - så for enhver ikke-triviel karakter ψ,

G (\ mu, \ psi) ^ {2} = \ venstre ({\ frac {-1} p} \ højre) s.

Ansøgninger

Kvadratisk gensidighedslov

Loven udtrykkes som følger, hvis q også er et ulige primtal, der adskiller sig fra p :

\ left ({\ frac pq} \ right) \ left ({\ frac qp} \ right) = (- 1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q-1)} 4}}}.

Demonstration

Lad ψ være en ikke-triviel additiv karakter af F p . Betegn med τ = G (μ, ψ) og ω = ψ (1). Den ring ℤ [ω] indeholder τ; lad os derefter beregne klassen af τ q –1 i kvotienten ℤ [ω] / q ℤ [ω] på to måder . Den binomiale sætning af Newton og delerne af binomiale koefficienter viser, at modulo q ,

{\ displaystyle \ tau ^ {q} \ equiv \ sum _ {x \ in \ mathbb {F} _ {p} ^ {*}} \ mu (x) ^ {q} \ psi (x) ^ {q} = \ sum _ {x \ in \ mathbb {F} _ {p} ^ {*}} \ mu (x) \ psi ^ {q} (x) = G (\ mu, \ psi ^ {q}). }

Men den første af de to egenskaber ved Gauss-summer viser det

{\ displaystyle G (\ mu, \ psi ^ {q}) = \ mu (q) ^ {- 1} \ tau = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) \ tau}

og resultat af det andet, der blev knyttet til egenskaberne ved Legendre-symbolet, det

\ tau ^ {{q-1}} = \ venstre (\ tau ^ {2} \ højre) ^ {{{\ frac {q-1} 2}}} = \ venstre ((- 1) ^ {{{ \ frac {p-1} 2}}} p \ højre) ^ {{\ \ frac {q-1} 2}}} = (- 1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q- 1)} 4}}} p ^ {{{\ frac {q-1} 2}}} \ equiv (-1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q-1)} 4}} } \ venstre ({\ frac pq} \ højre) {\ pmod q}.

Vi udleder kongruensen:

{\ displaystyle (-1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}} \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ equiv \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) {\ pmod {q}}.}

Da de to medlemmer er lig med 1 eller –1 og 2 er inverterbar mod q , er denne kongruens en lighed.

Gaussisk kvadratisk sum

For enhver p - rod af enheden ω bortset fra 1, med p prime

\ left (\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {-1 } p} \ højre) s.

Demonstration

Lad ψ være additivkarakteren således, at ψ (1) = ω, H undergruppen til den multiplikative gruppe F p * sammensat af de kvadratiske rester af F p *, P 1 summen af værdierne for ψ på H og P 2 summen af værdier af ψ på komplementet af H i F p *. Kortet over F p * i H at ethvert element knytter sin firkant er Surjective kort , således at ethvert billede indrømmer nøjagtig to fortilfælde ; Følgelig :

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} = 1+ \ sum _ {{x \ i {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ psi (x ^ {2}) = 1 + 2P_ {1}.

Nu er ψ et ikke-trivielt tegn, derfor - som i beviset for § "Egenskaber" - er summen 1 + P 1 + P 2 af dens værdier nul, hvilket giver os mulighed for at konkludere:

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} = 1 + 2P_ {1} = - P_ {2} + P_ {1} = G (\ mu, \ psi).

Resultatet af § “Egenskaber” afslutter demonstrationen.

Mere generelt demonstrerede Gauss i 1801 følgende ligeværdigheder til det nærmeste tegn for ethvert heltal n > 0:

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi {{\ rm {i}}} k ^ {2}} n} \ højre) = {\ begin {cases} (1 + {{\ rm {i}}}) {\ sqrt n} & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 0 \ mod 4 \\ {\ sqrt n} & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 1 \ mod 4 \\ 0 & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 2 \ mod 4 \\ {{\ rm {i}}} {\ sqrt n} & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 3 \ mod 4, \ end {cases}}

formodning om, at selv tegnene var korrekte for netop dette valg ω = $exp (2πi / n )$ , og det var først efter fire års uophørlige bestræbelser, at han formåede at løse denne formodning.

Noter og referencer

(i) Harold Edwards , Fermats sidste sætning: En genetisk Introduktion til Algebraisk talteori , Springer al. " GTM " ( nr . 50)2000, 3 e ed. , 407 s. ( ISBN 978-0-387-95002-0 , læs online ) , s. 360.
(i) Henry John Stephen Smith , "Report on the theory of numbers, Part I", 1859, repr. i 1984 i The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith , Art. 20 .
(i) Kenneth Irland og Michael Rosen , en klassisk introduktion til moderne talteori , Springer al. "GTM" ( nr . 84);1990( Repr. 1998), 2 th ed. , 389 s. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , læs online ) , s. 73.

Se også

Bibliografi

Michel Demazure , Algebra forløb: primality, divisibility, codes [ detail of editions ]
Jean-Pierre Serre , aritmetik ,1970[ detaljer om udgaver ]
André Warusfel , Endelige algebraiske strukturer , Hachette, 1971
Gabriel Peyré, den diskrete algebra af Fourier-transformationen , Éditions Ellipses , 2004 ( ISBN 978-2-72981867-8 )

Relaterede artikler

eksterne links

Lemma om den gaussiske sum af C. Banderier fra University of Paris-XIII , 1998
Harmonisk analyse af kommutative endelige grupper af A. Bechata
Bas Edixhoven og Laurent Moret-Bailly , algebraisk talteori, kandidatkursus i matematik , University of Rennes 1 ,2004( læs online )