Genereret affint underrum

I geometri i et affinalt rum er det affine skrog ved en del, der ikke er tom , også kaldet kuvert affineret til , det mindste affine underrum med at indeholde . $E$ $PÅ$ $PÅ$ $E$ $PÅ$

Definition

I et affinalt rum er skæringspunktet mellem en (nonempty) familie af affine underrum enten det tomme sæt eller et affint underrum, og selve rummet er et underrum, som retfærdiggør følgende definition:

Lad være et affine rum. For enhver ikke-uforsigtig del af eksisterer der et mindste affine- indeholdende underrum : skæringspunktet mellem alle affine- indeholdende underområder . $E$ $PÅ$ $E$ $E$ $PÅ$ $E$ $PÅ$

Vi kalder det det affine underrum, der genereres af , og vi betegner det ofte eller , eller igen . $PÅ$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aff} (A)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {aff} (A)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {aff} A}$

Ejendomme

Lad og være affine rum og to dele , der ikke er fri, og en del, der ikke er fri . $E$ $F$ $PÅ$ $B$ $E$ $VS$ $F$

${\ displaystyle \ operatorname {aff} (A)}$ er lig med sættet af barycentre af punkterne i . $PÅ$
Hvis er et affine kort så . $f: E \ til F$ ${\ displaystyle f (\ operatorname {aff} (A)) = \ operatorname {aff} (f (A))}$
${\ displaystyle \ operatorname {aff} (B) \ times \ operatorname {aff} (C) = \ operatorname {aff} (B \ times C)}$ (i produktet affine space ). $E \ gange F$
$PÅ$ og dens konvekse kuvert genererer det samme affine underrum.
For ethvert punkt af er retningen af det vektorunderrum, der genereres (i det vektorrum, der er knyttet til ) af . $P$ $PÅ$ ${\ displaystyle \ operatorname {aff} (A)}$ $E$ ${\ displaystyle \ {{\ overrightarrow {PQ}} \ mid Q \ i A \}}$
${\ displaystyle \ operatorname {aff}}$ er en lukning operatør : , , og . ${\ displaystyle A \ subset \ operatorname {aff} (A)}$ ${\ displaystyle A \ subset B \ Rightarrow \ operatorname {aff} (A) \ subset \ operatorname {aff} (B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {aff} (\ operatorname {aff} (A)) = \ operatorname {aff} (A)}$

Noter og referencer

Dany-Jack Mercier, Geometri kursus: forberedelse til CAPES og sammenlægning , Publibook universitet,2005( læs online ) , s. 33.
Daniel Guinin og Bernard Joppin, algebra og geometri PCSI , Bréal ,2003( læs online ) , s. 256.
(i) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton, NJ, Princeton University Press , coll. "Princeton Mathematical Series" ( nr . 28),1970( læs online ) , s. 6(begrænset til sagen ). $E = \ R ^ n$
Mercier 2005 , s. 37.
Mercier 2005 , s. 49.