Kubisk overflade

I algebraisk geometri er en kubisk overflade en overfladealgebraisk variation . Det er derfor en overflade defineret af et homogent polynom af grad 3 i det projicerende rum . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} (\ mathbb {K})}$

Vi kan f.eks. Tage lig med eller . $\ mathbb {K}$ $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {R}$

27 linjer inkluderet i kubiske overflader

Et bemærkelsesværdigt og ikke-trivielt resultat af algebraisk geometri er, at i det tilfælde, hvor overfladen er ikke-ental (dvs. sådan, at mindst et af polynomets delvise derivater på ethvert punkt på overfladen ikke annullerer), vi kan vise, at hvis kroppens kerne er feltet med komplekse tal, så er der nøjagtigt 27 linjer på den kubiske overflade. Dette er Cayley - Salmon- sætningen , der blev oprettet i 1849 af Salmon, efter at Cayley havde vist, at sådanne overflader altid havde et endeligt antal linjer.

I det tilfælde, hvor feltet er det reelle tal , er der naturligvis muligvis ikke 27 linjer (fordi nogle af de 27 linjer vil have komplekse koordinater). Vi kan dog vise, at antallet af reelle linjer er blandt følgende tal: 3, 7, 15 og 27. Og alle disse muligheder realiseres. I de følgende eksempler kan det allerede ses, at tilfælde 3 eller 27 forekommer.

Eksempler

Man kan for eksempel bemærke de homogene koordinater for det projicerende rum . ${\ displaystyle [X: Y: Z: T]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} (\ mathbb {K})}$

Fermat overflade

Hvis vi bemærker, hvilket faktisk er et homogent polynom af grad 3 (det er endda en af de enkleste, vi kan tænke på, hvilket er ikke-trivielt), vil den tilknyttede kubiske overflade (kaldet Fermat overflade ) blive defineret af . Denne overflade er ikke-ental, som vi let kan verificere, og indeholder derfor nøjagtigt 27 linjer, her er polynomet enkelt nok til at kunne forklare dem: ${\ displaystyle P (X, Y, Z, T) = X ^ {3} + Y ^ {3} + Z ^ {3} + T ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ {[X: Y: Z: T] \ in \ mathbb {P} ^ {3} (\ mathbb {C}) \ | \ X ^ {3} + Y ^ {3} + Z ^ { 3} + T ^ {3} = 0 \}}$

De er af formen , hvor er terningsrødderne til . Kun der er tre kubiske rødder på -1, og i stedet for at forbinde X og Y imellem dem kan vi forbinde X og Z eller X og T. Således har vi de 27 linjer inkluderet i overfladen ved et kombinatorisk argument . ${\ displaystyle [X: \ rho X: Z: \ rho 'Z]}$ ${\ displaystyle \ rho, \ rho '}$ $-1$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} (\ mathbb {C})}$

Det skal naturligvis huskes, at en linje i er billedet af en plan af applikationen . Så for eksempel er det faktisk en linje med (og ikke et plan, som man måske tror). Faktisk er det billedet af planet genereret af de to gratis vektorer og . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P}: x \ in \ mathbb {C} ^ {4} \ setminus \ {0 \} \ mapsto vect (x)}$ ${\ displaystyle [X: -X: Y: -Y] = \ {[x: -x: y: -y], x \ in \ mathbb {C}, y \ in \ mathbb {C}, (x, y) \ neq (0,0) \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle (1, -1,0,0)}$ $(0,0,1, -1)$

I virkeligheden har vi derfor en ligningsoverflade , som vi har repræsenteret her , for at gå fra et projektivt rum til et affinalt rum, det er tilstrækkeligt at tage i ligningen . Med hensyn til linjerne kan vi kun , ved permutation af koordinaterne, tage kun tre linjer. ${\ displaystyle T = 1}$ ${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 1 = 0}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho '= -1}$

Clebsch overflade

Clebsch- overfladen er en kubisk overflade, hvis ligning er , den har det særlige at have sine 27 alle reelle linjer i modsætning til Fermat- overfladen for eksempel, som kun havde tre: ${\ displaystyle X ^ {3} + Y ^ {3} + Z ^ {3} + T ^ {3} - (X + Y + Z + T) ^ {3} = 0}$

${\ displaystyle [X: -X: Z: -Z]}$ og ved permutation af koordinaterne, der udgør tre linjer.
${\ displaystyle [0: Y: -Y: T]}$ og ved permutation af koordinaterne, der danner tolv linjer.
${\ displaystyle [X: Y: -X- \ phi Y: - \ phi XY]}$ , hvor er det gyldne tal , og ved permutation af koordinaterne får vi tolv linjer. ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$

Vi kan derfor se, at alle linjerne findes i et rigtigt projektivt rum, og endda at de 27 linjer er til stede i . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} \ left (\ mathbb {Q} [{\ sqrt {5}}] \ right)}$

Cayley overflade

Cayleys overflade er defineret af:

${\ displaystyle XYZ + XYT + XZT + YZT = 0}$

Denne overflade er ental, ja, de 4 delderivater annullerer hinanden ved punkterne i kubikken:

${\ displaystyle [1: 0: 0: 0], [0: 1: 0: 0], [0: 0: 1: 0], [0: 0: 0: 1]}$

Dette er derfor et eksempel, hvor Cayley-Salmon-sætningen ikke finder anvendelse, på den reelle repræsentation derimod ser vi de fire entallige punkter, der danner en tetraeder, mens der er en slags kegle ved hver af disse toppe. Imidlertid indeholder denne overflade stadig lige linjer, især dem, der forbinder entallpunkterne.

Bedømmelse og reference

Matematikkurve

Se også

Bibliografi

(en) Miles Reid , undergratueret algebraisk geometri , CUP ,1989

Relateret artikel

Kubisk overflade (da)

eksterne links

Nogle repræsentationer af den virkelige sag , Mathcurve
Kubiske overflader på DVD , Étienne Ghys og Jos Leys, “Kubiske overflader på DVD” - Billeder af matematik , CNRS , 2008