Cauchy kondens test

I matematisk analyse er Cauchy-kondensationstesten , demonstreret af Augustin Louis Cauchy , et konvergenskriterium for serier : for enhver faldende positiv reel sekvens $($ $a$ $n$ $)$ har vi

{\ displaystyle S: = \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} <+ \ infty {\ text {if and only if}} T: = \ sum _ {k \ geq 0} 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}} <+ \ infty}

og mere præcist

{\ displaystyle S \ leq T \ leq 2S}

Eksempler på applikationer

For enhver positiv reel $α$ ,

den serie Riemann ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}}$ har samme adfærd som sin "kondenserede serie" ${\ displaystyle \ sum _ {k \ geq 0} 2 ^ {k} {\ frac {1} {(2 ^ {k}) ^ {\ alpha}}} = \ sum _ {k \ geq 0} (2 ^ {1- \ alpha}) ^ {k}.}$ Sidstnævnte er en geometrisk serie , der konvergerer, hvis og kun hvis $α> 1$ .
For $α = 1$ er det beviset af Oresme på divergensen i den harmoniske serie ;
den Bertrand serien ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 2} {1 \ over n \, (\ ln n) ^ {\ alpha}}}$ konvergerer, hvis og kun hvis det er "kondenseret" ${\ displaystyle \ sum _ {k \ geq 1} {2 ^ {k} \ over 2 ^ {k} \, (\ ln (2 ^ {k})) ^ {\ alpha}} = \ sum _ {k \ geq 1} {1 \ over (k \ ln 2) ^ {\ alpha}}}$ konvergerer, dvs. (ifølge undersøgelsen af Riemann-serien) hvis $α> 1$ ;
det er det samme for serien ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 3} {1 \ over n \, \ ln n \, (\ ln \ ln n) ^ {\ alpha}},}$ etc.

Generalisering

Vi kan erstatte kræfterne på 2 med kraftene i ethvert heltal, der er strengt større end 1. Mere generelt viste Jan Cornelis Kluyver (de) i 1909, at for enhver faldende positiv reel sekvens $( a n )$ , serien

{\ displaystyle \ sum a_ {n}, \ quad \ sum (n_ {k + 1} -n_ {k}) a_ {n_ {k}}, \ quad \ sum (n_ {k} -n_ {k-1 }) a_ {n_ {k}} \ quad {\ rm {and}} \ quad \ sum N_ {k} a_ {n_ {k}}}

er samtidigt konvergente eller divergerende for alle sekvenser af positive heltal $( n k )$ og $( N k )$ således at $( n k )$ er strengt stigende og $(( n k +1 - n k ) / N k )$ og $( N k + 1 / N k )$ er afgrænset . ( Schlömilch havde etableret specialtilfældet $n k = k 2$ , $N k = k$ .)

Noter og referencer

A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse (en) , 1821 - Komplette værker , 2 nd serie, t. 3, 1897, ca. VI, § 2 [ læs online ] .
Se f.eks. Denne korrigerede øvelse på Wikiversity for en demonstration .
Émile Borel , Lektioner om serier med positive vilkår , Gauthier-Villars ,1902( læs online ) , s. 3-6.
(i) " Jan Cornelis Kluyver " på proofwiki.org .
Thorild Dahlgren (sv) , om Cauchys kondenssætning , Lund,1918( læs online ), kap. III, s. 48-49 .
(de) O. Schlömilch, “ Ueber die gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen ” , Zeitschr. f. Matematik. u Phys. , Vol. 18, nr . 4,1873, s. 425-426 ( læs online ).