Erdős-Kaplansky sætning

I matematik , mere præcist i lineær algebra , ved vi, at et endeligt dimensionelt vektorrum E er isomorf til dets dobbelte . På den anden side, hvis E er af uendelig dimension , er den aldrig isomorf til dens dobbelte. Dette følger af den følgende Erdös - Kaplansky sætning :

Sætning - Lad E være et vektorrum af uendelig dimension over et felt K med basis indekseret af et sæt jeg . Derefter har det dobbelte rum E * af E dimension:

{\ displaystyle {\ rm {dim}} (E ^ {*}) = {\ rm {card}} (K ^ {I}) ~.}

Ved at bemærke, at kortet ( E * ) også er lig med kortet ( K I ), kan vi yderligere omformulere sætningen som følger:

Lad E være et vektorrum med uendelig dimension. Derefter er dimensionen og kardinaliteten i dens dobbelte plads ens, dvs. dim ( E * ) = kort ( E * ).

Demonstrationsplan

(For en detaljeret demonstration, se f.eks. Det eksterne link nedenfor). Vi bruger det valgte aksiom (nødvendigt fra starten for at tale om dimension) og kardinalernes egenskaber med hensyn til indstillede operationer.

Vi viser først, at E er isomorf til ringen af polynomer , med andre ord, at dimensionen (af vektorrummet) af denne ring ikke kun selvfølgelig er reduceret med kort ( I ), men faktisk er lig med denne kardinal . Faktisk er denne ring foreningen af når J krydser sæt af endelige dele af I , men hver af disse underområder har en tællelig dimension, derfor øges dimensionen af deres forening med . ${\ displaystyle K [(X_ {i}) _ {i \ i I}]}$ ${\ displaystyle K [(X_ {i}) _ {i \ in J}]}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} (I)}$ ${\ displaystyle {\ rm {card}} ({\ mathfrak {F}} (I) \ times \ mathbb {N}) = {\ rm {card}} (I)}$
Vi udleder, at dualiteten af E er isomorf til den af . Imidlertid er dimensionen af sidstnævnte reduceret med kort ( K I ), fordi den indeholder en fri familie af lineære former indekseret af K I : familien af evalueringstilknytninger f a i hvert element a = ( a i ) i af K I , hver defineret af: f a ( P ) = P ( a ). ${\ displaystyle K [(X_ {i}) _ {i \ i I}]}$
Derudover er E * direkte isomorf for K I (har derfor den samme kardinal) og på den anden side er E * af dimension mindre end eller lig med kardinalen (som ethvert vektorrum).
Langt om længe, ${\ displaystyle {\ rm {card}} (E ^ {*}) = {\ rm {card}} (K ^ {I}) \ leq {\ rm {dim}} (E ^ {*}) \ leq {\ rm {card}} (E ^ {*}) \,}$ hvilket beviser sætningen.
Derfor er E ikke isomorf til sin dobbelte, da den er af strengt mindre dimension ved Cantors sætning .

Bibliografi

N. Bourbaki, Elementer af matematik , Algebra kapitel II ( ISBN 9783540338499 ) side A.II.193
B. Gostiaux, Special Mathematics Course, Volume 1: Algebra ( ISBN 9782130458357 ) 6.113 side 221
Erdös-Kaplansky sætning Bevis for Erdös-Kaplansky sætning og følge på ikke-isomorfien i et uendeligt dimensionelt vektorrum og dets dobbelte rum.
(en) N. Jacobson , Lectures in Abstract Algebra , vol. II, Lineær algebra , van Nostrand Company (1953) Kapitel IX, § 5