Engels sætning

Den sætning af Engel til strukturen af Lie algebra . Kort påstår han, at de to forestillinger om nilpotens, der kan defineres for en Lie-algebra, falder sammen.

Husk at en Lie-algebra siges at være nilpotent, hvis sekvensen defineret ved induktion af og ender med at ankomme til 0, med andre ord hvis der findes en sådan sådan . ${\ mathfrak {g}}$ $Det her}$ $C_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $C _ {{i + 1}} = [C_ {i}, {\ mathfrak {g}}]$ ${\ displaystyle C_ {i} = \ {0 \}}$

Husk også, at en endomorfisme A i et vektorrum siges at være nulpotent, hvis der findes et heltal n således, at A n = 0.

Hvis betegner vi ved $ad ($ $x$ $)$ endomorfismen defineret af $ad ($ $x$ $) ($ $y$ $) = [$ $x$ $,$ $y$ $]$ . Vi siger, at $x$ er ad-nilpotent, hvis $ad ($ $x$ $)$ er nilpotent. Det følger let af definitionen, at hvis er en nilpotent Lie algebra, så er hvert element af ad-nilpotent. ${\ displaystyle x \ i {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak g}$ ${\ mathfrak g}$ ${\ mathfrak g}$

Engels sætning angives derefter som følger:

Sætning - Hvis alle elementerne i en endelig dimensionel Lie-algebra er ad-nilpotente, så er nilpotente. ${\ mathfrak g}$ ${\ mathfrak g}$

Denne sætning stammer faktisk fra følgende trigonaliseringsresultat , som nogle forfattere også kalder Engels sætning:

Teorem - Lad være et endeligt dimensionelt vektorrum og en Lie-subalgebra af . Vi antager, at alle elementerne i er nilpotente. Så eksisterer der et grundlag for V , hvor alle elementerne i er øvre (strenge) trekantede matricer . $V$ ${\ mathfrak g}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$ ${\ mathfrak g}$ ${\ mathfrak g}$

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

(en) Thomas Hawkins , Emergence of Theory of Lie Groups: An Essay in the History of Mathematics, 1869-1926 , Springer ,2000, 566 s. ( ISBN 978-0-387-98963-1 , læs online ) , s. 176-178

Forholder sig til udvekslingen af korrespondance mellem Friedrich Engel og Wilhelm Killing , især brevet fra 20. juli 1890, hvor Engel skitserer beviset for denne sætning.

(de) Karl Arthur Umlauf , Über die Zusammensetzung der endlichen continuierlichen Transformationsgruppen, insbesondre der Gruppen vom Range Null , Leipzig, Breitkopf & Härtel ,1891( læs online )

Speciale, hvor denne studerende fra Engel skriver beviset i detaljer.

(en) Joachim Hilgert og Karl-Hermann Neeb , Structure and Geometry of Lie Groups , Springer,2011, 746 s. ( ISBN 978-0-387-84793-1 , læs online ) , s. 93-95

Erklæring og bevis for de to sætninger + modeksempel i uendelig dimension.

(en) Karin Erdmann og Mark J. Wildon , Introduktion til Lie algebras , London, Springer-Verlag London Ltd., koll. "Springer Undergraduate Mathematics Series",2006, 251 s. ( ISBN 978-1-84628-040-5 , DOI 10.1007 / 1-84628-490-2 , Matematikanmeldelser 2218355 ).