Løg algebra

I matematik er en Lie-algebra , opkaldt til ære for matematikeren Sophus Lie , et vektorrum, der er forsynet med et Lie-beslag , dvs. en bilineær , antisymmetrisk og intern kompositionslov. Som verificerer Jacobis forhold . En løgealgebra er et specielt tilfælde af algebra over et felt .

Definitioner, eksempler og første egenskaber

Definition

Lad K være et kommutativt felt .

En Lie algebra på K er en vektorrum på K udstyret med en bilineær kort over i , som opfylder følgende egenskaber: ${\ mathfrak {g}}$ $(x, y) \ mapsto [x, y]$ ${\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

$\ forall x \ i {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0$ ;
$\ for alt x, y, z \ i {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.$

Produktet kaldes Lie krogen (eller simpelthen krogen) af og . Da beslaget er en alternerende bilineær funktion af , har vi også identiteten for alle i . Identiteten (2) ovenfor kaldes Jacobi-identiteten . $[x, y]$ $x$ $y$ $x, y$ $[x, y] = - [y, x]$ $x, y$ ${\ mathfrak {g}}$

En Lie-subalgebra af er et vektors underrum af stabilt til Lie-beslaget. Hver Lie-subalgebra er naturligvis udstyret med en struktur af Lie-algebra over K. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Bemærk : I modsætning til algebraer i træk (og Clifford-algebraer , inklusive udvendige algebraer ) er Lie-algebraer hverken enhed eller associativ .

Nogle klassiske eksempler på Lie algebras

Alle vektorrum kan være forsynet med en Lie algebra struktur ved indstilling . En sådan Lie-algebra, hvor Lie-beslaget er identisk nul, kaldes abelisk. $E$ $\ forall x, y \ i E, \ [x, y] = 0$
Fra en associativ algebra over et felt kan vi konstruere en Lie-algebra som følger: vi indstiller (det er kommutatoren for de to elementer x og y ). Det er let at kontrollere, at vi på denne måde definerer en struktur af Lie algebra. $(PÅ,*)$ $\ for alle x, y \ i A, \ [x, y] = x * åå * x$ $PÅ$ Omvendt er enhver Lie-algebra indeholdt i en associativ algebra, kaldet omsluttende algebra , hvor Lie-krogen falder sammen med den ovenfor definerede krog. Hvis er ikke-nul, er dens omsluttende algebra meget større end sig selv. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$
Som et konkret eksempel på ovenstående situation, overvej pladsen til matricer med koefficienter i K. Det er en associerende algebra til det sædvanlige matrixprodukt. Vi kan derfor også give det en struktur af Lie algebra med beslaget . Vi betegner denne algebra, når vi overvejer dens Lie algebra-struktur. ${\ mathcal {M}} _ {n} (K)$ $n \ gange n$ $[A, B] = AB-BA$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$
Naturligvis er ethvert vektorunderrum af stabilt ved beslaget en Lie-algebra. Således kan vi kontrollere, at sættet med nul sporingsmatricer er en Lie algebra, som vi betegner . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak {sl}} _ {n} (K)$ Faktisk viser Ados sætning , at enhver endelig dimensionel Lie-algebra kan ses som en subalgebra af . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$
Et andet grundlæggende, mere geometrisk eksempel er følgende. Lad være et differentieret manifold . Derefter vektorrummet dannet af vektor felter på har en naturlig Lie algebra struktur, uden at være en algebra . $M$ $M$
Især danner sættet med dræbende felter i en Riemannian eller pseudo-Riemannian manifold en Lie algebra, der svarer til gruppen af isometrier i den betragtede manifold.
Det tredimensionelle euklidiske rum ℝ 3 med krydsproduktet som Lie-beslaget er en Lie-algebra.

Morfismer og idealer

En morfisme af Lie-algebraer er et lineært kort, der respekterer Lie-beslaget, dvs. sådan at ${\ mathfrak {g}}$ $\ phi$

\ forall a, b \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ phi ([a, b]) = [\ phi (a), \ phi (b)]

Et ideal for er et vektorunderrum, således at . Det er især en Lie subalgebra. Hvis en Lie-algebra ikke indrømmer et ikke-trivielt ideal, siges det at være simpelt. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ $\ forall g \ i {\ mathfrak {g}}, \ \ forall h \ i {\ mathfrak {h}}, \ [g, h] \ i {\ mathfrak {h}}$

Hvis er et ideal for , kan vi danne kvotienten af by : det er kvotientvektorrummet , forsynet med den parentes, der er defineret af . Fremskrivningen er derefter en morfisme af Lie-algebraer. ${\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}$ $[G + {\ mathfrak {h}}, g '+ {\ mathfrak {h}}] = [g, g'] + {\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}} \ til {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}$

En repræsentation af en løgealgebra er en morfisme . Med andre ord er det et lineært kort som f.eks . ${\ mathfrak {g}}$ $\ phi \ ,: \, {\ mathfrak {g}} \ til {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ $\ phi ([g, h]) = \ phi (g) \ phi (h) - \ phi (h) \ phi (g)$

Morfismen defineret af definerer en repræsentation af , kaldet en anneksrepræsentation (in) . Jacobis identitet udtrykker netop det faktum, at $annonce$ respekterer krogen. Kernen i denne repræsentation er centrum for Lie algebra . ${\ text {ad}}: {\ mathfrak {g}} \ til {\ mathfrak {gl (g)}}$ ${\ text {ad}} (g) (h) = [g, h]$ ${\ mathfrak {g}}$ $Z ({\ mathfrak {g}}) = \ {g \ i {\ mathfrak {g}}, \ forall h \ i {\ mathfrak {g}}, [g, h] = 0 \}$ ${\ mathfrak g}$

Forholdet til løgnegrupper og algebraiske grupper

Lie-algebraer er naturligvis forbundet med Lie-grupper . Hvis er en Lie-gruppe og e dens neutrale element , så er tangentrummet ved e to en Lie-algebra; den nøjagtige konstruktion af denne algebra er detaljeret i det tilsvarende afsnit af artiklen Lie Group . Den samme konstruktion gælder for algebraiske grupper . Vi betegner generelt med små gotiske bogstaver Lie-algebra forbundet med en Lie-gruppe eller en algebraisk gruppe. Således, som vi allerede har set, betegner sættet med firkantede matricer af størrelse n og betegner sættet med firkantede matricer af størrelse n med nul spor. På samme måde betegnes sættet med firkantede matricer A i størrelse n antisymmetrisk osv. I alle disse eksempler, at Lie beslag er intet andet end kontakten: . $G$ $G$ ${\ mathfrak {gl_ {n}}}$ ${\ mathfrak {sl}} _ {n}$ ${\ mathfrak {so_ {n}}}$ $[A, B] = AB-BA$

Hvis en gruppe morphism mellem to Lie grupper og og hvis vi antager differentiabel, så dens forskellen i identitet vil være et morphism mellem Lie algebraer og af og . Især til en repræsentation af differentierbar forbinder vi en repræsentation af . $\ phi$ $G$ $H$ $\ phi$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ $G$ $H$ $G$ ${\ mathfrak {g}}$

Klassificeringen af Lie-algebraer bruges afgørende til undersøgelsen af Lie-grupper, algebraiske grupper og deres repræsentationer.

Klassifikation

Hvis og er to Lie-subalgebras af en Lie-algebra , betegnes det vektorunderrum, der genereres af elementerne i formularen for og . ${\ mathfrak {a}}$ ${\ mathfrak {b}}$ ${\ mathfrak {g}}$ $[{\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}]$ $[a, b]$ $en \ i {\ mathfrak {a}}$ $b \ i {\ mathfrak {b}}$

Nilpotentes Lie algebraer

En løgealgebra siges at være nilpotent, når en række kommutatorer ender med at være nul, når n bliver tilstrækkelig stor. $[[g_ {1}, g_ {2}], g_ {3}], \ prikker, g_ {n}]$

Mere præcist, lad os definere ved og . $Det her}$ $C_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $C _ {{i + 1}} = [C_ {i}, {\ mathfrak {g}}]$

Hvis der findes en i sådan, at = 0, siger vi, at det er nilpotente. Denne opfattelse skal sammenlignes med den fra den nilpotente gruppe . Enhver abelisk Lie-algebra er nilpotent. $Det her}$ ${\ mathfrak {g}}$

Algebra af strenge trekantede matricer, dvs. formen, giver et eksempel på nilpotente Lie algebra. ${\ mathfrak n}$ $\ left ({\ begin {matrix} 0 & \ star & \ cdots & \ star \\\ vdots & \ ddots & \ star & \ vdots \\\ vdots & 0 & \ ddots & \ star \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\\ slut {matrix}} \ højre)$

Den Engel sætning hedder det, at en Lie algebra er Nilpotent hvis og kun hvis billedet af adjungerede repræsentation er kombineret med en sub-algebra . ${\ mathfrak n}$

Imidlertid viser eksemplet med den abeliske Lie algebra (deraf nilpotente) , at der findes nilpotente subalgebras, som ikke er konjugeret til en subalgebra af . ${\ mathfrak {gl}} _ {1} (K)$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak n}$

Løselige løg algebraer

Definer ved induktion ved og $D_ {i}$ $D_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $D _ {{i + 1}} = [D_ {i}, D_ {i}]$

Hvis der findes en sådan sådan, at = 0, siger vi, at det kan løses. Som i tilfældet med nilpotente algebraer svarer denne opfattelse til en opløselig gruppe . Det er let at se, at enhver nilpotent Lie-algebra er løselig. $D_ {i}$ ${\ mathfrak {g}}$

Et eksempel på en opløselig Lie-algebra er givet ved algebra af øvre trekantede matricer i . ${\ mathfrak b}$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$

De Lie sætningen viser, at hvis K er algebraisk lukket og karakteristisk nul, så enhver sub-løses Lie algebra af kombineres med en sub-algebra . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak b}$

Semi-enkle og reduktive Lie-algebraer

Vi siger, at en Lie-algebra er semi-enkel, når den ikke indeholder et ikke-trivielt opløselig ideal. siges at være reduktiv, når dens tilstødende repræsentation er semi-enkel . ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Når K har nul karakteristik, og det har en begrænset dimension, svarer semi-enkelheden til den ikke-degeneration af den dræbende form, der er defineret af , hvor tr betegner sporet. Desuden er reduktiv, hvis og kun hvis er semi-enkel. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ $K (x, y)$ $K (x, y) = tr (ad (x) ad (y))$ ${\ mathfrak {g}}$ $[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]$

Vi kan vise, at enhver halv-enkel Lie-algebra under de samme antagelser faktisk er en direkte sum af enkle Lie- algebraer .

Endelig dimensionel enkel Lie algebras over feltet ℂ af komplekse tal er klassificeret efter Dynkin-diagrammer . Der er derfor 4 familier med enkle Lie-algebraer (eller 3 hvis vi betragter og som den samme familie) og 5 ekstraordinære Lie-algebraer, der hver svarer til et andet Dynkin-diagram. $B_ {n}$ $D_ {n}$

Til et Dynkin-diagram af typen svarer Lie algebra . $A_ {n} (n \ geq 1)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} (\ mathbb {C})}$
Til et Dynkin-diagram af typen svarer Lie algebra . $B_ {n} (n \ geq 2)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1} (\ mathbb {C})}$
Til et Dynkin-diagram af typen svarer Lie algebra . $C_ {n} (n \ geq 3)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n} (\ mathbb {C})}$
Til et Dynkin-diagram af typen svarer Lie algebra . $D_ {n} (n \ geq 4)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n} (\ mathbb {C})}$
De usædvanlige Lie-algebraer, der svarer til de resterende Dynkin-diagrammer (af type E 6 , E 7 , E 8 , F 4 og G 2 ) har ikke en så simpel fortolkning.

Lie algebra er reduktiv, og dens afledte Lie algebra er . ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$

Endelige dimensionelle semi-enkle Lie-algebraer over feltet ℝ af reelle tal klassificeres efter involveringerne af komplekse Lie-algebraer eller, ækvivalent, ved involveringerne af rodsystemer (en) . Dette svarer til begrebet symmetrisk Lie algebra (en) . Som en rigtig simpel Lie algebra-klasse kan vi citere:

Kompakte Lie-algebraer. Dette er Lie-algebraerne i kompakte grupper. Der er nøjagtigt en, der svarer til hver kompleks Lie algebra.
Komplekse Lie-algebraer set som ægte Lie-algebraer.
De andre kan klassificeres i familierne AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII og i ekstraordinære algebraer

EI, EII, EIII, EIV (type ) EV, EVI, EVII (type ) EVIII, EIX (type ) FI, FII (type ) og GI (type ) efter Helgason (de) notation ). $E_ {6}$ $E_ {7}$ $E_ {8}$ $F_ {4}$ $G_2$

Uendelig dimension

Der er ingen generel klassificering af uendelige dimensionelle Lie-algebraer, men flere klasser af sådanne algebraer er blevet undersøgt.

En Kac-Moody- algebra er en Lie-algebra defineret abstrakt med hensyn til generatorer og relationer kodet af en generaliseret Cartan-matrix, der ikke nødvendigvis er positiv. De kan derfor være af uendelig dimension. Deres generelle klassifikation er stadig uden for rækkevidde, men flere undertyper er kendt
- En algebra af Kac-Moody affine (In) har den egenskab, at alle underdiagrammer Dynkin dets Dynkin-diagram svarer til sub-Lie-algebraer med en begrænset dimension. Dens generaliserede Cartan-matrix er derefter af corang 1. Affine Kac-Moody algebraer blev klassificeret af Victor Kac . De bruges i vid udstrækning i teoretisk fysik i studiet af konforme feltteorier og især i studiet af WZW-modeller .
- En hyperbolsk Kac-Moody-algebra har et sammenhængende Dynkin-diagram med den egenskab, at hvis vi fjerner en rod fra den, opnår vi en endelig-dimensionel semi-simpel Lie-algebra eller en affin Kac-Moody-algebra. De er også klassificeret og har en maksimal rang på 10. Deres generaliserede Cartan-matrix er ikke-degenereret og af Lorentzian-signatur (det vil sige med nøjagtigt en negativ retning).
algebra generaliseret Kac-Moody (in) eller algebra Borcherds: dette er en type Lie algebra, der generaliserer begrebet algebra Kac-Moody, hvis generaliserede Cartan-matrix kan have enkle rødder kaldet imaginær, for hvilken det diagonale element i den generaliserede Cartan-matrix er negativ. De blev introduceret af Richard Ewen Borcherds som en del af studiet af den monstrøse måneskinsformodning .

Generalisering

Der er forskellige former for generaliseringer af Lie algebra skal nævnes Lie ringe (i) de Lie superalgebras , de kvante grupper , den algebra Leibniz , den præ-Lie algebra (i) .

Relaterede artikler

Noter og referencer

Djohra Saheb Koussa , Abdelhak Djoudi og Mustapha Koussa , " Analyse for netforbundet vindkraftsystem i den tørre region ", IREC2015 Den sjette internationale kongres for vedvarende energi , IEEE,marts 2015( ISBN 978-1-4799-7947-9 , DOI 10.1109 / irec.2015.7110927 , læst online , adgang til 15. september 2020 )
(i) Sigurdur Helgason , Differential Geometri og Symmetriske Spaces , AMS ,1962, 487 s. ( ISBN 978-0-8218-2735-2 , læs online )

N. Bourbaki , Elementer af matematik , Grupper og Lie algebras
Jacques Dixmier , Enveloping Algebras , Editions Jacques Gabay, Paris, 1996 ( ISBN 978-2-87647-014-9 )
(en) James E. Humphreys , Introduktion til Lie Algebras and Representation Theory , New York, Springer , koll. " GTM " ( nr . 9)1978, 2 nd ed. , 173 s. ( ISBN 978-0-387-90053-7 )
(en) Nathan Jacobson , Lie algebras , New York, Dover ,1979( 1 st ed. 1962), 331 s. ( ISBN 978-0-486-63832-4 , online præsentation )
Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduktion til Lie Algebras , 1. udgave, Springer, 2006. ( ISBN 1-84628-040-0 ) .