Lindemann-Weierstrass sætning

I matematik , den Lindemann-Weierstrass sætning , at hvis algebraiske tal $a 1 , ..., α n$ er lineært uafhængige på marken Q af rationale tal , så deres exponentials $e α 1 , ..., en α n$ er algebraisk uafhængige på Q . Med andre ord, den udvidelse Q $(e α 1 , ..., en α n )$ af Q er transcendent af graden $n$ .

En ækvivalent formulering af sætningen er følgende: Hvis $α 0 , ..., α n$ er særskilte algebraiske tal derefter $e α 0 , ..., en α n$ er lineært uafhængige over feltet Q af algebraiske tal, dvs.: ${\ displaystyle a_ {0} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {0}} + a_ {1} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {1}} + \ ldots + a_ { n} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {n}} \ neq 0}$ for alle algebraiske tal $a i$ ikke alle nul.

I 1882 blev denne sætning annonceret af Ferdinand von Lindemann i slutningen af sin artikel om specialtilfældet $n = 1$ og blev straks demonstreret af Karl Weierstrass , der distribuerede sit manuskript, men udsatte offentliggørelsen indtil 1885.

Sagen $n = 1$

I 1882, havde Lindemann opridset bevis på, at for enhver ikke-nul algebraisk nummer $et$ , er antallet $e en$ er transcendent (der igen viser, at $e$ er transcendent og beviser, at $π$ er også transcendent ). Dette er tilfældet $n = 1$ for sætningen demonstreret af Weierstrass.

Faktisk (med den første formulering),

$a$ er ikke-nul svarer til: sættet ${ a }$ er lineært frit på Q , og
$e a$ er transcendent svarer til: sættet ${e a }$ er algebraisk frit på Q

Ved hjælp af den anden formulering kan vi omskrive den:

$a$ er ikke-nul svarer til: $0$ og $a$ er forskellige, og
$e en$ transcendental svarende til: $e 0$ og $e har$ er lineært uafhængige af Q .

$P$ -adisk formodning

Den analoge $p-$ adik fra Lindemann-Weierstrass sætning er formodning følger: "er [ $p$ et primtal og] $β 1 , ..., β n$ af tallene $p$ -adisk algebraisk [ Q- uafhængig linjering], der hører til domænekonvergensen af p -adic eksponentiel (en) $exp p$ . Derefter $n$ tal $exp p (β 1 ), ..., exp p (β n )$ er algebraisk uafhængige af Q . "

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Lindemann - Weierstrass-sætning " ( se forfatterlisten ) .

(i) Alan Baker , Transcendental talteori , Cambridge University Press,1990( 1 st ed. 1975) ( ISBN 9780521397919 , læse online ) , kap. 1, Sætning 1.4.
(da) David E. Rowe , "Historiske begivenheder i baggrunden for Hilberts syvende Paris-problem " , i David E. Rowe og Wann-Sheng Horng, en delikat balance: globale perspektiver på innovation og tradition i historien om Matematik , Birkhäuser ,2015, s. 211-244.
(fra) KW Weierstrass, " Zu Lindemanns Abhandlung:" Über die Ludolph'sche Zahl " " , Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. , Vol. 5,1885, s. 1067-1085 ( DOI 10.1007 / 978-1-4757-4217-6_23 ).
(i) Michel Waldschmidt , " Open diofantisk Problemer " , Moskva Mathematical Journal , Vol. 4, n o 1,2004, s. 245-305 ( læs online ), Formodning 3.11.

Se også

Relaterede artikler

Eksternt link

(en) " Bevis for Lindemann-Weierstrass sætning og at e og $π$ er transcendentale " (demonstration taget fra Baker 1990 og detaljeret), på PlanetMath webstedet.