Det nummer e er grundlaget for de naturlige logaritmer , dvs. antallet defineret af ln (e) = 1 . Denne matematiske konstant , også kaldet Eulers nummer eller Nepers konstant med henvisning til matematikerne Leonhard Euler og John Napier , er cirka 2.71828 værd .
Dette antal er fastsat til slutningen af det XVII th århundrede , i en korrespondance mellem Leibniz og Christian Huygens , som basis for den naturlige logaritme . Med andre ord er det kendetegnet ved forholdet ln (e) = 1 eller på en ækvivalent måde er det billedet af 1 ved den eksponentielle funktion , derfor er notationen exp ( x ) = e x . Nedbrydningen af denne funktion til en heltalsserie fører til definitionen af e af Euler som summen af serien : Dette tal vises også som grænsen for den numeriske rækkefølge af generelle termer og i mange formler i analyse, såsom identiteten af Euler e iπ = -1 eller formlen for Stirling, som giver et ækvivalent af faktoriet . Han er også involveret i sandsynlighedsteori eller i kombinatorik.
Euler demonstrerede i 1737, at e er irrationel , derfor er dens decimaludvidelse ikke periodisk og giver en første tilnærmelse med 23 decimaler. Det forklarer for dette sin udvikling i fortsat brøkdel . I 1873 viste Charles Hermite , at antallet e endda er transcendent , det vil sige, at det ikke er roden til noget ikke-nul polynom med heltalskoefficienter.
I begyndelsen af det XVII th århundrede , den skotske matematiker John Napier byggede de første logaritmiske tabeller , som gør det muligt at forenkle beregninger af produkter og kvotienter samt kvadratrødder , terning og andre. De består i at forbinde hvert nummer på en liste med et andet nummer (kaldet en logaritme ), så et forhold mellem proportionaliteten mellem fire udtryk på den første liste resulterer i lige store forskelle mellem de tilsvarende udtryk på den anden liste: hvis a , b , c og d har de respektive logaritmer en , b , C og d , mens forholdet a / b = c / d svarer til relationen a - b = C - d .
Mere præcist fastsætter Napier en indledende radius på ti millioner og bygger en liste, hvor hvert nummer beregner det næste ved at trække en ti milliontedel fra dets værdi. Disse successive operationer multipliceres derfor med 1 - 10 –7, og listen udgør en geometrisk sekvens af første periode 107 . Logaritmen for hvert nummer på listen er dens udseende, og formlen for den således opnåede logaritme af Napier skrives derefter:
.Napier fortolker denne konstruktion ved hjælp af et kinematisk problem , hvor en mobil bevæger sig med konstant hastighed, og en anden bevæger sig en endelig længde med en hastighed, der er proportional med den afstand, den har til at køre. I moderne termer oversættes problemet derfor til to differentialligninger, hvis løsninger er lineære for den første mobile og eksponentielle for den anden. Ved at udligne starthastighederne for de to mobiler og ved at fastsætte længden, der skal køres for den anden mobil til 107 , opnås positionen L for den første mobil fra den resterende afstand x af den første mobil ved formlen:
Imidlertid gør den affine tilnærmelse af den naturlige logaritme i 1 det muligt at nærme ln (1-10 −7 ) med −10 −7 med en præcision i størrelsesordenen 10 −14 , det vil sige 7 signifikante cifre. Værditabellerne opnået af Napier tilbyder derfor ved læsning af de samme første decimaler som dem for den naturlige logaritme, og især er logaritmen lig med 107 mellem sines på 21 ° 35 'og 21 ° 36, hvor vi finder de første decimaler på 1 ⁄ th (dvs. 3678…). Men dette tal fremhæves ikke af Napier.
I 1624 ændrede Henry Briggs , korrespondent med Napier, konstruktionsparametrene for logaritmebordene. Først indstiller han logaritmen på 1 til 0, hvilket svarer til at vælge en enhedsradius. Dens tabeller omdanner derefter produkterne til summer, som skrives i en moderne formulering: log ( ab ) = log ( a ) + log ( b ) . Derefter indstiller den logaritmen på 10 til 1, så at multiplicere et tal med 10 resulterer i at tilføje en enhed til sin logaritme.
Briggs opnår således en tabel over værdier for decimallogaritmen , baseret på nummereringssystemet i base 10, men begrebet funktion opstod endnu ikke på det tidspunkt. Især er der intet spor af en evaluering af en stigningshastighed i 1, som kunne have givet anledning til en tilnærmelse af log (e) .
I 1647 demonstrerede Grégoire de Saint-Vincent et forhold analogt med logaritmen mellem områderne af domæner afgrænset af en gren af hyperbola og dens asymptot . I 1661 lavede Christian Huygens forbindelsen mellem logaritmer og kvadratet af hyperbolen, og især den for ligningen x y = 1 . Den naturlige logaritme fremhæves derfor, men dens base ( e ) identificeres ikke.
Det er i et brev fra Leibniz til Huygens, at dette tal endelig identificeres som basen for den naturlige logaritme omkring 1690, men Leibniz bemærker det b .
Euler er i en artikel skrevet i 1727 eller 1728 den første til at notere e "det nummer, hvis logaritme er enheden" . Han bruger denne notation med samme definition i et brev til Goldbach i 1731.
Valget af bogstavet e som en hyldest til navnet på Euler selv er derfor usandsynligt. Andre antagelser er blevet fremsat: første vokal eller første bogstav ikke brugt i en bogstavelig beregning , initial for "eksponentiel" osv. .
Euler så i eksponentielle funktioner og logaritmefunktioner gensidige funktioner af hinanden. Ved at skrive ækvivalensen kaldte han den pågældende logaritme l basislogaritmen a og bemærkede, at l ( a ) = 1 . Ifølge denne korrespondance findes der et nummer kaldet af Euler e, der bekræfter ækvivalensen , dette nummer verificerer ln ( e ) = 1 . Den eksponentielle funktion, der indrømmer en nedbrydning af heltalsserien , Euler opnår udvidelsen af e som en serie af omvendt af faktorier af naturlige heltal.
Ifølge Hervé Lehning ville han have haft "den absolut strålende intuition til at skrive eksponentiel af base a any som et polynom af eksponenten" :
Han vil udtrykke alle koefficienter baseret B . Sådan gør du. Først opnår han A = 1 ved at indstille x = 0 . Derefter beregner det:
men da en 2 x = ( a x ) 2 , indstiller den også
derfor,
Han udvikler det højre lem, så han kan identificere koefficienterne til venstre med dem til højre: 2 B = 2 B , 4 C = B 2 + 2 C (dermed C = B 2 ⁄ 2 ), 8 D = 2 D + 2 f.Kr. (dermed D = B 3 ⁄ 6 ) osv.
Han ankommer derfor til denne ligning:
Basen e er den eneste, der tillader lighed mellem det eksponentielle og dets derivat, og det er stadig at finde B sådan, at dette polynom og dets derivat er ens. Løsningen er triviel: B = 1 . Endelig bemærker vi, at 1, 2, 6, 24 er de på hinanden følgende værdier for det faktuelle , hvilket får Euler til at konkludere:
hvis omtrentlige værdi allerede var beregnet af Isaac Newton i 1669.
De forskellige karakteriseringer af den eksponentielle funktion blandt andre eksponentielle funktioner af enhver base hjælper også med at omdefinere e som den reelle, da funktionen ved x kombinerer e x falder sammen med dens afledte på ethvert punkt eller bare ved punktet 0 (dette svarer til ækvivalent) .
Den første bevis for irrationalitet af e skyldes Euler ( se nedenfor ). Fourier gav følgende enklere bevis ved hjælp af nedbrydningen af e ved den eksponentielle serie og ræsonnement fra det absurde .
Det er et spørgsmål om at bevise, at for ethvert heltal n > 0 er tallet n e ikke heltal. Til dette viser han, at n ! E i sig selv ikke er hel ved at nedbryde det i formen , hvor tallene x og y er defineret af: .
Således er n ! E summen af et heltal og et ikke-heltal; den er derfor ikke hel; a fortiori , n e er ikke fuld. Denne konklusion er gyldig uanset heltal n > 0 , e er irrationel.
Et andet bevis på e 's irrationalitet er at bruge fortsatte fraktioner . Hvis beviset er mere komplekst, giver det også flere muligheder for generalisering.
I 1737 opnåede Euler den fortsatte fraktionsudvidelse af e : . Denne udvikling er uendelig, dette tal er irrationelt.
I 1761, Lambert forlængede bevis afgivet Euler og viste, under anvendelse af udvidelser i generelle kædebrøker , at der for enhver ikke-nul rationel r (navnlig for enhver ikke-nul heltal), e r er irrationel.
Denne tilgang gør det også muligt at fastslå, at e ikke er en kvadratisk irrationel , dvs. at den ikke er en løsning af nogen kvadratisk ligning med rationelle koefficienter ( jf. Kontinuerlig brøkdel og tilnærmelse af diofantin ).
Imidlertid er målet for irrationalitet af e lig med 2 , ligesom det for irrationelle algebraiske tal som angivet af Roths sætning .
At gå videre, det vil sige at vise, at e ikke er en løsning af en tredje grad ligning med rationelle koefficienter, at den er transcendent , hvilket betyder, at den ikke er en løsning af d 'ingen polynomiske ligninger med rationelle koefficienter, nye ideer er nødvendige.
Transcendensen af e blev etableret af Charles Hermite i 1873 ved hjælp af en metode, der præfererer Padés teori om tilnærmelser , udviklet i 1892 i afhandlingen af hans elev Henri Padé . De forskellige Padé-tilnærmelser til den eksponentielle funktion giver faktisk mange udtryk for e i form af generaliserede fortsatte fraktioner.
Idet e er transcendent, så er e r , for enhver ikke-nul rationel r (og mere generelt: f ( e ), for enhver ikke-konstant algebraisk funktion f ).
Den Gelfond-Schneider teorem gør det også muligt at påvise, at for eksempel, e π er transcendent, men vi ved endnu ikke, i 2020, hvorvidt e e og π e er transcendent eller ej (det er dog formodede, at alle tallene af denne form er).
Det formodes også, at e er et normalt tal .
I 1685 undersøgte Jacques Bernoulli problemet med sammensat interesse i kontinuerlig progression: hvis et beløb a giver et beløb b af interesse ved slutningen af en begrænset tid, kan vi overveje, at disse interesser erhverves lineært som en funktion af tiden. Men over det betragtede tidsinterval skal disse interesser i sig selv skabe interesse osv. Bernoulli opnår således et udtryk, der fremkalder udviklingen i eksponentielle serier.
Blandt rationale tal med tæller og nævner mindre end 1000, tættest på e er878323≈ 2.718 27 .
Den numeriske værdi af e afkortet til 15 decimaler er 2,718 281 828 459 045 .
Antallet af kendte decimaler for den konstante e er steget markant i de seneste årtier. Denne præcision skyldes stigningen i computerens ydeevne såvel som forbedringen af algoritmer.
Dateret | Antal decimaler | Ydeevne pga |
---|---|---|
1748 | 23 | Leonhard Euler |
1853 | 137 | William shanks |
1871 | 205 | William shanks |
1884 | 346 | Marcus Boorman |
1949 | 2.010 | John von Neumann (med ENIAC ) |
1961 | 100 265 | Daniel Shanks og John Wrench (en) |
1978 | 116.000 | Stephen Gary Wozniak (med Apple II ) |
1 st april 1994 | 10.000.000 | Robert Nemiroff og Jerry Bonnell |
21. november 1999 | 1.250.000.000 | Xavier Gourdon |
16. juli 2000 | 3 221 225 472 | Colin Martin og Xavier Gourdon |
18. september 2003 | 50 100.000.000 | Shigeru Kondo og Xavier Gourdon |
27. april 2007 | 100.000.000.000 | Shigeru Kondo og Steve Pagliarulo |
6. maj 2009 | 200.000.000.000 | Shigeru Kondo og Steve Pagliarulo |
5. juli 2010 | 1.000.000.000.000 | Shigeru Kondo og Alexander J. Yee |
24. juni 2015 | 1.400.000.000.000 | Matthew hebert |
29. august 2016 | 5.000.000.000.000 | Ron Watkins |
3. januar 2019 | 8.000.000.000.000 | Gerald Hofmann |
Nummeret e er genstand for mange hyldest i it-samfundet.
I forbindelse med sin børsintroduktion i 2004 meddelte Google , at de ikke ønskede at rejse et rundt tal, som det generelt er tilfældet, men $ 2.718.281.828 eller e milliarder dollars (til nærmeste dollar). Google står også bag en original rekrutteringskampagne i juli 2004: tegn, der nævner "{første 10-cifrede primtal fundet i de på hinanden følgende cifre i e} .com" ({første 10-cifrede primtal fundet i på hinanden følgende decimaler af e} .com) vises oprindeligt i Silicon Valley , derefter i Cambridge , Seattle og Austin opfordrede de nysgerrige til at besøge webstedet, der nu er nedlagt 7427466391.com. Der måtte den besøgende løse et endnu vanskeligere problem, som igen henviste ham til Google Labs- webstedet, hvor han blev inviteret til at indsende et CV. Den første ti cifret primtal i decimal e er 7427466391, som starter den 99 th decimal.
Computervidenskabsmand Donald Knuth nummererede de forskellige versioner af sit Metafont- program i henhold til decimalerne e : 2, 2.7, 2.71, 2.718 osv. Ligeledes nærmer versionsnumrene for hans TeX- program π .
(da) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "The number e " , i MacTutor History of Mathematics-arkivet , University of St. Andrews ( læs online ).
(en) Edward Kasner og James R. Newman , Mathematics and the Imagination (en) , Dover ,2013( 1 st ed. 1940), 400 s. ( ISBN 978-0-486-32027-4 , læs online ) , s. 84