Skolem-Noether sætning

I ringen teori , en gren af matematikken, den Skolem - Noether læresætning karakteriserer automorphisms af simple ringe . Dette er et grundlæggende resultat af teorien om centrale enkle algebraer .

Sætningen blev først udgivet af Thoralf Skolem i 1927 i sin artikel Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme ( tysk : På teorien om associative talsystemer ) og uafhængigt genopdaget af Emmy Noether .

Stater

I sin generelle formulering, er A og B af simple ringe og enten k centrum af B . Bemærk, at k er et felt, da enkeltheden af B for x ikke-nul-element af k betyder, at det to-halede ideelle Bx , som ikke er reduceret til {0}, er B- heltal, så x er en enhed . Antag endvidere, at dimensionen af B over k er endelig, dvs. at B er en simpel central algebra . Derefter, givet to morfismer af k- algebraer

f , g : A → B ,

der findes en enhed b i B sådan, at for alle a i A

g ( a ) = b · f ( a ) · b −1 .

Især er enhver automorfisme af en simpel central k- algebra interiør .

Bevis

Antag først det . Derefter definerer f og g handlinger af A på ; eller de således opnåede A- moduler. Da de har den samme dimension, er der en isomorfisme af vektorrum . Men sådan en b er nødvendigvis et element i . I det generelle tilfælde bemærkes , at det er en algebra af matricer, og derfor ved denne første del af beviset indeholder denne algebra et element b, således at ${\ displaystyle B = \ operatorname {M} _ {n} (k) = \ operatorname {End} _ {k} (k ^ {n})}$ $k ^ n$ ${\ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$ ${\ displaystyle b: V_ {g} \ til V_ {f}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {M} _ {n} (k) = B}$ ${\ displaystyle B \ otimes B ^ {\ text {op}}}$

{\ displaystyle (f \ otimes 1) (a \ otimes z) = b (g \ otimes 1) (a \ otimes z) b ^ {- 1}}

for alle og . Ved at tage finder vi $a \ i A$ ${\ displaystyle z \ i B ^ {\ text {op}}}$ $a = 1$

{\ displaystyle 1 \ otimes z = b (1 \ otimes z) b ^ {- 1}}

for alle z . Med andre ord tilhører b, og vi kan derfor skrive . Ved at tage denne tid finder vi ${\ displaystyle Z_ {B \ otimes B ^ {\ text {op}}} (k \ otimes B ^ {\ text {op}}) = B \ otimes k}$ ${\ displaystyle b = b '\ gange 1}$ ${\ displaystyle z = 1}$

{\ displaystyle f (a) = b'g (a) {b '^ {- 1}}}

som vi ønskede.

Bemærkninger

Lorenz 2008 , s. 173
(i) Benson Farb og R. Keith Dennis , Noncommutative Algebra , New York, Springer-Verlag ,1993, 223 s. ( ISBN 978-0-387-94057-1 )
Gille og Szamuely 2006 , s. 40
Lorenz 2008 , s. 174

Referencer

(in) Thoralf Skolem , " Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme " , Skrifter Oslo , nr . 12,1927, s. 50
Sætningspræsentation (in) James Milne , Class Field Theory ( læs online )
(en) Philippe Gille og Tamás Szamuely , centrale simple algebraer og Galois kohomologi , Cambridge, CUP , koll. "Cambridge Studies in Advanced Mathematics" ( nr . 101),2006, 343 s. ( ISBN 0-521-86103-9 , zbMATH 1137.12001 )
(en) Falko Lorenz , Algebra. , Vol. 2: Felter med struktur, algebraer og avancerede emner , New York, Springer,2008, 336 s. ( ISBN 978-0-387-72487-4 , zbMATH 1130.12001 , læs online )