Begræns sammensætningssætning
I matematik er sætningen med grænsesammensætning en grundlæggende sætning af reel analyse . Det giver mulighed for at udtrykke en grænse for en sammensat funktion ved at kende grænserne for de funktioner, der komponerer den.
Stater
Teoremet nedenfor er ofte angivet ved at begrænse det til det tilfælde, at sætene og er intervaller . I dette tilfælde, siger, at er tilhænger til betyder blot, at er ikke er tom, og at er en af dens to ekstremiteter eller en del af det.
PÅ{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
på{\ displaystyle a}
PÅ{\ displaystyle A}PÅ{\ displaystyle A}på{\ displaystyle a}
Lad og to dele af , og to kort , og tre punkter i udfyldt reelle linje , med klæbende til .
PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
f:PÅ→B{\ displaystyle f: A \ til B}
g:B→R{\ displaystyle g: B \ til \ mathbb {R}}
på,b,vs.{\ displaystyle a, b, c}
R¯=R∪{-∞,+∞}{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}
på{\ displaystyle a}PÅ{\ displaystyle A}
Jalimx→påf(x)=boglimy→bg(y)=vs.,sålimx→på(g∘f)(x)=vs..{\ displaystyle {\ text {Si}} \ quad \ lim _ {x \ to a} f (x) = b \ quad {\ text {et}} \ quad \ lim _ {y \ to b} g (y ) = c, \ quad {\ text {derefter}} \ quad \ lim _ {x \ til a} (g \ circ f) (x) = c.}
Især : hvis er en sekvens med værdier i og af grænse, og hvis , så accepterer sekvensen som grænse.
(yikke){\ displaystyle (y_ {n})}
B{\ displaystyle B} b{\ displaystyle b}
limy→bg(y)=vs.{\ displaystyle \ lim _ {y \ to b} g (y) = c}
(g(yikke)){\ displaystyle (g (y_ {n}))}
vs.{\ displaystyle c}
Mere generelt vi har de samme konsekvenser som henholdsvis tilhører tre topologiske rum med , , , og .
på,b,vs.{\ displaystyle a, b, c} x,Y,Z{\ displaystyle X, Y, Z}
PÅ⊂x{\ displaystyle A \ subset X}
B⊂Y{\ displaystyle B \ delmængde Y}
f:PÅ→B{\ displaystyle f: A \ til B}g:B→Z{\ displaystyle g: B \ til Z}
på∈Pů{\ displaystyle a \ in {\ overline {A}}}
Ansøgning
Denne sætning bruges især til at fjerne de ubestemte former for visse funktioner ved at ændre variablen.
Se også
: dokument brugt som kilde til denne artikel.
Frédéric Denizet, analyse - MPSI , Nathan , coll. "Prep-klasse",2008( læs online ) , s. 203