Ubestemt form

I matematik er en ubestemt form en operation, der vises under en beregning af grænsen for en sekvens eller en funktion, som man ikke kan konkludere i al almindelighed, og som kræver en sag-til-sag-undersøgelse.

For eksempel kan man generelt ikke konkludere på grænsen for summen af to sekvenser, hvoraf den ene har tendens til og den anden mod . Afhængigt af det enkelte tilfælde, kan denne grænse være nul, svarende til en ikke-nul reelle, være lig med eller eller endda ikke eksisterer. $+ \ infty$ $- \ infty$ $+ \ infty$ $- \ infty$

For at fjerne en ubestemmelighed er der mange teknikker, for eksempel via algebraiske procedurer ( faktorisering , multiplikation med den konjugerede mængde osv.) Eller analytiske procedurer (brug af derivatet , af begrænsede udvidelser , af L'Hôpitals regel osv.).

Præsentation af problemet

I matematik ledes vi ofte til at studere grænsen for en operation (tilføjelse, multiplikation osv.) Af to funktioner eller to sekvenser. Der er situationer, hvor denne grænse kun kan bestemmes ved at kende de respektive grænser for de pågældende funktioner eller suiter.

Men i et vist antal tilfælde kan denne grænse ikke bestemmes på forhånd, det afhænger af de involverede funktioner eller sekvenser.
Her er et eksempel på en sådan situation.

Eksempel:

Overvej følgende to grænser: og . ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} x = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} x ^ {2} = + \ infty}$

For ethvert reelt tal har vi det . Så . $x \ neq 0$ ${\ displaystyle {\ dfrac {x} {x ^ {2}}} = {\ dfrac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ dfrac {x} {x ^ {2}}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ dfrac {1} {x}} = 0}$
For ethvert reelt tal har vi det . Så . $x \ neq 0$ ${\ displaystyle {\ dfrac {x ^ {2}} {x}} = x}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ dfrac {x ^ {2}} {x}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} x = + \ infty}$

I dette eksempel er de to startgrænser lig med, og vi ser, at grænsen for kvotienten afhænger af den undersøgte sag. Vi kan ikke etablere en generel regel, der giver værdien af en grænse af typen . Dette kaldes en ubestemt form. $+ \ infty$ ${\ displaystyle \ infty / \ infty}$

Her er et andet eksempel i tilfælde af suiter.

Eksempel:

Lad og være to sekvenser defineret for ethvert naturligt tal ved og . Så vi har og . $(en})$ $(v_n)$ $ikke$ ${\ displaystyle u_ {n} = n}$ ${\ displaystyle v_ {n} = n ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} u_ {n} = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} v_ {n} = + \ infty}$

For enhver naturligt tal , . $ikke$ ${\ displaystyle u_ {n} -v_ {n} = nn ^ {2} = n (1-n)}$

Eller, og . Så ved grænseprodukt . ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} n = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} (1-n) = - \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} n (1-n) = \ lim _ {n \ to + \ infty} (u_ {n} -v_ {n}) = - \ infty}$

For enhver naturligt tal , . $ikke$ ${\ displaystyle v_ {n} -u_ {n} = n ^ {2} -n = n (n-1)}$

Eller, og . Så ved grænseprodukt . ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} n = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} (n-1) = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} n (n-1) = \ lim _ {n \ to + \ infty} (v_ {n} -u_ {n}) = + \ infty}$

Her har vi to suiter, hvis grænse er . Det kan ses, at værdien af grænsen for forskellen mellem disse to sekvenser afhænger af den undersøgte sag. Det er derfor ikke muligt at etablere en generel regel, der angiver værdien af en grænse af typen . Det er derfor en ubestemt form. $+ \ infty$ ${\ displaystyle \ infty - \ infty}$

Formålet med denne artikel er at præsentere de forskellige typer ubestemte former og illustrere en række teknikker til at løfte dem.

Klassificering af ubestemmelser

Vi klassificerer generelt ubestemte former i syv kategorier ( angiver her enten et reelt tal eller eller ). $vs.$ $+ \ infty$ $- \ infty$

Ubestemmelighed	Ønsket grænse	Betingelse tændt $f$	Betingelse tændt $g$
${\ displaystyle \ infty - \ infty}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ big (} f (x) -g (x) {\ big)}}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = + \ infty}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} g (x) = + \ infty}$
$0/0$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}}}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = 0}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} g (x) = 0}$
${\ displaystyle \ infty / \ infty}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}}}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ pm \ infty}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} g (x) = \ pm \ infty}$
${\ displaystyle 0 \ times \ infty}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) g (x)}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = 0}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} g (x) = \ pm \ infty}$
${\ displaystyle 1 ^ {\ infty}}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) ^ {g (x)}}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = 1}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} g (x) = \ pm \ infty}$
${\ displaystyle \ infty ^ {0}}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) ^ {g (x)}}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ pm \ infty}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} g (x) = 0}$
$0 ^ {0}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) ^ {g (x)}}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = 0}$	${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} g (x) = 0}$

Ubestemmelserne af formen $0 \times \pm \infty$ reduceres til en ubestemmelighed af formen $0/0$ eller formen $\infty / \infty$ ved at bemærke, at en multiplikation med $0$ svarer til en division med uendelighed, eller at en multiplikation med uendelighed er lig med division med $0$ .
Bestemmelserne af formularerne $0 0$ og $\pm \infty 0$ reduceres til det forrige tilfælde ved at bruge, at $a b$ kan skrives som $e b ln ( a ),$ og at grænsen for $bl ln ( a )$ derefter er af formen $0 \times \pm \infty$ .
Bestemmelser af formularen $1 \pm \infty$ (hvis logaritme er formen $\pm \infty \times 0$ ): et klassisk eksempel er $(1 + 1 / n ) n,$ hvis grænse er antallet $e$ .

Sammenlignende vækstsætning

Den sammenlignende vækstsætning løfter bestemmelserne af produkter og kvoter af sædvanlige funktioner, som er magtfunktionerne , den eksponentielle funktion og den naturlige logaritmefunktion .

Ubestemmelse af formularen $0/0$

Tilfælde af rationelle funktioner

Lad $f være$ en rationel funktion, dvs. ${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {P (x)} {Q (x)}}$ hvor P og Q er polynomer .

Hvis a er et reelt tal således, at Q ( a ) = 0, kan vi blive ført til at søge grænsen ved a på $f$ . Hvis P ( a ) = 0, fører en simpel grænseberegning til en ubestemmelse af formularen $0/0$ .

En egenskab, der vedrører polynomierne, vil gøre det muligt at fjerne denne ubestemmelighed: for ethvert polynom P, således at P ( a ) = 0, findes der et polynom P 1 af streng lavere grad, således at P ( x ) = ( x - a ) P 1 ( x ). Med andre ord, hvis en er roden af P , P er factorizable ved x - a . Denne faktorisering kan opnås ved identifikation eller ved hjælp af Horners metode .

I tilfælde af denne grænse, hvor polynomierne P og Q begge har som rod a , kan vi skrive, for enhver x af definitionssættet $Df$ af $f$ , ${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {(xa) P_ {1} (x)} {(xa) Q_ {1} (x)}} = {\ dfrac {P_ {1} (x)} { Q_ {1} (x)}} = f_ {1} (x)}$ . At finde grænsen ved a af $f$ er som at kigge efter grænsen på a på $f 1$ .

Søgningen efter grænsen ved en af $f 1$ kan konkludere, at der ikke er nogen grænse, at den er en uendelig grænse eller en reel grænse.

Eksempler

${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {x ^ {2} + 3x-4} {2x ^ {2} -x-1}} {\ text {and}} a = 1}$ .
Da tælleren og nævneren annullerer ved 1, er en faktorisering med x - 1 mulig. For alle x af $Df$ , ${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {(x-1) (x + 4)} {(x-1) (2x + 1)}} = {\ dfrac {x + 4} {2x + 1} }}$ , ${\ displaystyle \ lim _ {x \ til 1} f (x) = \ lim _ {x \ til 1} {\ dfrac {x + 4} {2x + 1}} = {\ dfrac {5} {3} }}$ .
${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {2x + 4} {x ^ {2} + 4x + 4}} {\ text {and}} a = -2}$ .
Da tælleren og nævneren annullerer hinanden i –2, skal det være muligt at faktorere x + 2. For alle x af $Df$ , ${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {2 (x + 2)} {(x + 2) ^ {2}}} = {\ dfrac {2} {x + 2}}}$ .Denne anden funktion har ingen grænse ved –2. Det har dog grænser til højre og til venstre i –2. For eksempel til højre: ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to (-2) ^ {+}} {\ dfrac {2} {x + 2}} = + \ infty}$ .
${\ displaystyle f (x) = \ left ({\ dfrac {1} {4}} - x ^ {- 2} \ right) (x-2) ^ {- 1} {\ text {and}} a = 2}$ .
Denne funktion er faktisk en rationel funktion, som, sat tilbage i sin kanoniske form, giver, for ethvert andet x end 2 og 0, ${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {x ^ {2} -4} {4x ^ {2}}} {\ dfrac {1} {x-2}} = {\ dfrac {x + 2} { 4x ^ {2}}}}$ .Det er så simpelt at beregne grænsen i 2: ${\ displaystyle \ lim _ {2} f = {\ dfrac {1} {4}}}$ .

Tilfælde af funktioner med kvadratrødder

Når der er kvadratrødder i kvotienten, er ideen at overføre ubestemmelighed til en rationel funktion for at bruge den tidligere teknik. Den overførslen er færdig, normalt ved at multiplicere tælleren og nævneren ved en kombineret mængde .

Eksempler

${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {{\ sqrt {x ^ {2} + 6x}} - 4} {x ^ {2} -2x}} {\ text {and}} a = 2}$ .
Vi ganger derefter tælleren og nævneren med : ${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + 6x}} + 4}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {x ^ {2} + 6x-16} {x ^ {2} -2x}} \ gange {\ dfrac {1} {{\ sqrt {x ^ {2} + 6x}} + 4}}}$ , ${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {(x-2) (x + 8)} {x (x-2)}} \ gange {\ dfrac {1} {{\ sqrt {x ^ {2} + 6x}} + 4}} = {\ dfrac {x + 8} {x}} {\ dfrac {1} {{\ sqrt {x ^ {2} + 6x}} + 4}}}$ .Beregningen af grænsen i den sidste form gøres let: ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 2} f (x) = {\ dfrac {10} {2}} \ times {\ dfrac {1} {8}} = {\ dfrac {5} {8}} }$ .
${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {\ sqrt {x}} {x}} {\ text {and}} a = 0}$ .
Vi ganger tælleren og nævneren med (eller vi forenkler med , hvilket er det samme). ${\ sqrt x}$ ${\ sqrt x}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {x} {x}} \ times {\ dfrac {1} {\ sqrt {x}}} = {\ dfrac {1} {\ sqrt {x}}}}$ .Denne sidste grænse beregnes let: ${\ displaystyle \ lim _ {x \ til 0} f (x) = + \ infty}$ .

Variabel ændring

Ændringen af variabelen gør det undertiden muligt ved at ændre formen for den betragtede funktion at markere en faktorisering eller en referencegrænse. Vær dog forsigtig: en ændring af variablen forårsager også en ændring af den værdi, som variablen har tendens til. Princippet om variabel ændring er baseret på egenskaben ved grænsen for en sammensat funktion .

Eksempler

Lad $f være$ en funktion defineret på de reelle intervaller $[0, 4 [$ og $] 4, + \infty [$ ved ${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {{\ sqrt {x}} - 2} {x-4}}}$ .Som en første tilgang fører søgningen efter funktionens grænse $f,$ når variablen x har tendens til 4, til en ubestemmelighed af formularen $0/0$ . Vi foreslår derefter følgende ændring af variablen: ${\ displaystyle u = {\ sqrt {x}}}$ .Når x nærmer sig 4, nærmer du dig 2. Desuden ${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {{\ sqrt {x}} - 2} {x-4}} = {\ dfrac {u-2} {u ^ {2} -4}}}$ .Vi kan derefter finde grænsen, når u nærmer sig 2 for funktionen g defineret for en hvilken som helst u på $[0, 2 [$ eller $] 2, + \infty [$ ved ${\ displaystyle g (u) = {\ dfrac {u-2} {u ^ {2} -4}}}$ .For at beregne grænsen i $2 står$ vi stadig over for en ubestemt form af typen $0/0$ . Vi kan fjerne denne ubestemmelighed ved at indregne: ${\ displaystyle g (u) = {\ dfrac {u-2} {u ^ {2} -4}} = {\ dfrac {u-2} {(u-2) (u + 2)}} = { \ dfrac {1} {u + 2}}}$ .Vi kan derefter konkludere: ${\ displaystyle \ lim _ {u \ til 4} f (x) = \ lim _ {u \ til 2} g (u) = {\ dfrac {1} {4}}}$ .
${\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {{\ rm {e}} ^ {\ frac {1} {x}}} {x}} {\ text {et}} a = 0 ^ {-}}$ .
Det er stadig en $0/0$ ubestemmelighed . Ved at indstille u = 1 / x bemærker vi detf ( x ) = u e uog når x nærmer sig 0 fra venstre, har du tendens til $-\infty$ . ${\ displaystyle \ lim _ {u \ to - \ infty} u {\ rm {e}} ^ {u} = 0}$ ( komparativ vækstsætning ) derfor ${\ displaystyle \ lim _ {x \ til 0 ^ {-}} f (x) = 0}$ .

Nogle analytiske procedurer

Det er også muligt at bruge afledningsegenskaberne for de involverede funktioner, ellers eksistensen af begrænsede udvidelser.

Afledte

Et hyppigt tilfælde af udseendet af en ubestemmelighed af typen $0/0$ vedrører beregningen af derivatet i a fra stigningstakten for funktionen: hvis funktionen $f$ er differentierbar i $en$ så ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} {\ dfrac {f (x) -f (a)} {xa}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ dfrac {f (a + h) -f (a)} {h}} = f '(a)}$ .

Anvendelsen af et derivat er derfor et simpelt middel til at fjerne en ubestemmelse af denne type. Det giver mulighed for at præsentere ubestemmelser $0/0$ som reference

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ dfrac {\ sin (x)} {x}} = 1}$
her er f ( x ) = sin ( x ), a = 0, f ' ( x ) = cos ( x ) og f' (0) = 1
${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ dfrac {\ cos (x) -1} {x}} = 0}$
her er f ( x ) = cos ( x ), a = 0, f ' ( x ) = –sin ( x ) og f' (0) = 0
${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ dfrac {\ ln (1 + h)} {h}} = 1}$
her er f ( x ) = ln ( x ), a = 1, f ' ( x ) = 1 / x og f' (1) = 1
${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ dfrac {{\ rm {e}} ^ {x} -1} {x}} = 1}$
her er f ( x ) = e x , a = 0, f ' ( x ) = e x og f' (0) = 1.

Det kan derfor være nyttigt i mange udtryk at vise vækstrater, når ubestemmelighed er af typen $0/0$ .

Denne metode, der udnyttes mere fuldt ud, fører til L'Hôpitals regel: hvis f og g har en grænse på 0 i a, og hvis kvotienten af derivaterne f ' / g' indrømmer en grænse i a , er denne grænse også grænsen i a af f / g .

Begrænset udvikling

Et begrænset ekspansion , i nærheden af en , af tælleren og nævneren giver også ofte en ubestemthed af denne type, der skal løses simpelthen.

Eksempel

{\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {{\ rm {e}} ^ {x ^ {2}} - \ cos x} {\ sin ^ {2} x}} {\ text {and}} a = 0}

.
Den direkte beregning af grænserne fører til en ubestemmelighed af formularen

0/0

. Det er derefter nyttigt at søge en udvikling begrænset til nabolaget

0

af de forskellige tilstedeværende referencefunktioner. En begrænset udvikling af orden

1

tillader ikke en konklusion, men en begrænset udvikling af orden

2

gør det muligt at fjerne ubestemmelsen:

{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {x ^ {2}} = 1 + x ^ {2} + o (x ^ {2})}

{\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ dfrac {x ^ {2}} {2}} + o (x ^ {2})}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} x = x ^ {2} + o (x ^ {2})}

derfor

{\ displaystyle f (x) = {\ dfrac {{\ tfrac {3} {2}} x ^ {2} + o (x ^ {2})} {x ^ {2} + o (x ^ {2 })}} = {\ dfrac {{\ tfrac {3} {2}} + o (1)} {1 + o (1)}}}

.Overgangen til grænsen udføres derefter let:

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} f (x) = {\ dfrac {3} {2}}}

Ubestemmelse af formularen $\infty / \infty$

For eksempel (for et heltal $n > 0$ ethvert):

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {x}} {x ^ {n}}}}

For at fjerne en sådan ubestemmelighed er der mange processer, algebraisk ( faktorisering ) eller analytisk (brug af derivatet - Hospitalregel - af gendarmens sætning eller af den begrænsede udvikling ).

Det er tilstrækkeligt at anvende hospitalets regel $n$ gange .
En anden fremgangsmåde anvender det faktum, at den eksponentielle funktion er konveks , den repræsentative kurve er over dens tangent ved punktet for abscisse : . ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} \ quad \ mathrm {e} ^ {t} \ geq t + 1}$
En mere lært, men hurtigere metode er at bruge serieudvidelsen af den eksponentielle funktion :

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {+} \ quad {\ frac {{\ rm {e}} ^ {x}} {x ^ {n}}} = \ sum _ {k \ i \ mathbb {N}} {\ frac {x ^ {kn}} {k!}} \ geq {\ frac {x} {(n + 1)!}}}

Tilfælde af rationelle fraktioner

I $+ \infty$ eller $-\infty$ har kvotienten for to polynomer den samme grænse som kvotienten for deres respektive højeste gradstegn.

Ubestemmelse af formularen $\infty - \infty$

For eksempel :

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ sqrt {x + 1}} - {\ sqrt {x-1}}}

I dette eksempel er grænsen faktisk nul. For at se det kan vi bruge forskellige metoder ( konjugeret mængde , begrænset udvikling osv.)

Tilfælde af polynomer

I $+ \infty$ eller $-\infty$ har en polynomfunktion den samme grænse som dens term af højeste grad.

Eksempel:

Overvej den polynomfunktion, der er defineret for ethvert reelt tal ved . Lad os søge dens grænse i . $x$ ${\ displaystyle f (x) = 3x ^ {3} -5x + 2}$ $+ \ infty$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} 3x ^ {3} = + \ infty}$ ;
${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} -5x + 2 = - \ infty}$ .

Ved at tilføje disse to grænser ender vi med en ubestemt form af typen . ${\ displaystyle \ infty - \ infty}$

Men udtrykket med den højeste grad af væren , det foregående resultat gør det muligt at bekræfte det . $f$ ${\ displaystyle 3x ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} f (x) = \ lim _ {x \ to + \ infty} 3x ^ {3} = + \ infty}$

Se også

Noter og referencer

Se kapitlet "Sammenlignende vækst" i lektionen om den eksponentielle funktion på Wikiversity .
(i) GH Hardy og EM Wright , En introduktion til det Theory of Numbers ( 1 st ed. 1938) [ Detail Editions ], 4 th udg., S 8 .
“ 2. Operationer på grænser ” , på www.lelivrescolaire.fr .

Ubestemt form

Præsentation af problemet

Klassificering af ubestemmelser

Sammenlignende vækstsætning

Ubestemmelse af formularen 0/0

Tilfælde af rationelle funktioner

Tilfælde af funktioner med kvadratrødder

Variabel ændring

Nogle analytiske procedurer

Ubestemmelse af formularen ∞ / ∞

Tilfælde af rationelle fraktioner

Ubestemmelse af formularen ∞ - ∞

Tilfælde af polynomer

Se også

Noter og referencer

Ubestemmelse af formularen $0/0$

Ubestemmelse af formularen $\infty / \infty$

Ubestemmelse af formularen $\infty - \infty$