Isomorfismesætninger

I matematik , de tre isomorfi teoremer giver eksistensen af isomorfier i forbindelse med den gruppe teori .

Disse tre isomorfiske sætninger kan generaliseres til andre strukturer end grupper . Se især “  Universal algebra  ” og “  Group with operators  ”.

Første isomorfiske sætning

De første isomorfi sætning hedder, at givne en gruppe morphism , kan vi gøre injektiv ved quotienting ved dens kerne . f:G→G′{\ displaystyle f: G \ til G '}f{\ displaystyle f} G{\ displaystyle G}

Intuitivt betyder kvotificering af en gruppe efter en undergruppe at "annullere" elementerne i . Ved kvotient af kernen af sørger vi derfor for, at det kun er sandt for , hvilket svarer til injektionsevnen af . G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}f{\ displaystyle f}f(x)=0{\ displaystyle f (x) = 0}x=0{\ displaystyle x = 0}f{\ displaystyle f}

Før vi taler om morfisme af grupper , for at være i stand til at tale om en kvotientgruppe, er det nødvendigt at sikre sig, at det er en normal undergruppe. G/Ker⁡f→G′{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f \ to G '}G/Ker⁡f{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}

Proposition  -  Lad og være to grupper og lad være en gruppemorfisme. Så er en normal undergruppe af . G{\ displaystyle G}G′{\ displaystyle G '}f:G→G′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}G{\ displaystyle G}

Demonstration

Bemærk love og og og deres neutrale elementer, og kontroller, at det er stabilt ved konjugation, det vil sige for alle og alle . ⋅{\ displaystyle \ cdot}G{\ displaystyle G}G′{\ displaystyle G '}e{\ displaystyle e}e′{\ displaystyle e '}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}x⋅h⋅x-1∈Ker⁡f{\ displaystyle x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1} \ i \ operatorname {Ker} f}x∈G{\ displaystyle x \ i G}h∈Ker⁡f{\ displaystyle h \ in \ operatorname {Ker} f}

Det har vi . Som det er i , det vil sige det , udleder vi det . Så er i og er derfor en normal undergruppe af . f(x⋅h⋅x-1)=f(x)⋅f(h)⋅f(x-1){\ displaystyle f (x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}) = f (x) \ cdot f (h) \ cdot f (x ^ {- 1})}h{\ displaystyle h}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}f(h)=e′{\ displaystyle f (h) = e '}f(x⋅h⋅x-1)=f(x)⋅f(x-1)=f(x⋅x-1)=f(e)=e′{\ displaystyle f (x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}) = f (x) \ cdot f (x ^ {- 1}) = f (x \ cdot x ^ {- 1}) = f ( e) = e '}x⋅h⋅x-1{\ displaystyle x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}G{\ displaystyle G}

Det faktum, at det er en normal undergruppe, gør det muligt at definere en gruppelov, der er kompatibel med kvotegruppen . Takket være denne kompatibilitet inducerer gruppernes morfisme en isomorfisme . Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}G{\ displaystyle G}G/Ker⁡f{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}G{\ displaystyle G}f:G→G′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}f^:G/Ker⁡f→Jeg er⁡f{\ displaystyle {\ widehat {f}}: G / \ operatorname {Ker} f \ rightarrow \ operatorname {Im} f}

Vi kan nu sætte sætningen.

Første isomorfiske sætning  -  Lad være to grupper og en gruppemorfisme. Fremkald derefter en orms isomorfisme . G{\ displaystyle G}G′{\ displaystyle G '}f:G→G′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}f{\ displaystyle f}G/Ker⁡f{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}f(G){\ displaystyle f (G)}

Demonstration

Lad os betegne kernen af . Vi definerer ved at stille H{\ displaystyle H}f{\ displaystyle f}f^{\ displaystyle {\ hat {f}}}

f^(xH)=f(x){\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = f (x)}.

• Funktionen er veldefineret , det vil sige, den afhænger kun af klassen og ikke af den særlige repræsentant . Faktisk hvis er en anden repræsentant for , det vil sige, hvis , så derfor , hvorfra .f^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}f^(xH){\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH)}xH{\ displaystyle xH}x{\ displaystyle x}y∈G{\ displaystyle y \ i G}xH{\ displaystyle xH}xH=yH{\ displaystyle xH = yH}xy-1∈H=Ker⁡f{\ displaystyle xy ^ {- 1} \ i H = \ operatornavn {Ker} f}f(x)=f(y){\ displaystyle f (x) = f (y)}f^(xH)=f^(yH){\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = {\ widehat {f}} (yH)}
• Efter definition af kvotientgruppeloven er en morfisme af grupper.f^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}
• Morfismen er overvejende: for alt eksisterer den sådan, at  ; men så .f^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}y∈f(G){\ displaystyle y \ in f (G)}x∈G{\ displaystyle x \ i G}f(x)=y{\ displaystyle f (x) = y}f^(xH)=f(x)=y{\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = f (x) = y}
• Morfismen er injektionsdygtig. Faktisk enten et element i kernen. Så det er, er i kernen af . Men så , hvem er det neutrale element i .f^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}xH{\ displaystyle xH}e′=f^(xH)=f(x){\ displaystyle e '= {\ widehat {f}} (xH) = f (x)}x{\ displaystyle x}H{\ displaystyle H}f{\ displaystyle f}xH=H{\ displaystyle xH = H}G/H{\ displaystyle G / H}

En anden mulig formulering af den forrige sætning er, at morfismen indregnes ved kanonisk overjektion og injektion, det vil sige, at diagrammet, der følger, er kommutativt . f{\ displaystyle f}

Anden isomorfismesætning

Anden isomorf sætning  -  Lad være en gruppe, en normal undergruppe af og en undergruppe af . Så er en normal undergruppe af , og vi har følgende isomorfisme: G{\ displaystyle G}IKKE{\ displaystyle N}G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}H∩IKKE{\ displaystyle H \ cap N}H{\ displaystyle H}

H/(H∩IKKE)≃HIKKE/IKKE.{\ displaystyle H / (H \ cap N) \ simeq HN / N.} Demonstration

• For at kunne tale om gruppen skal vi først vise, at det er en gruppe, og at det er en normal undergruppe.HIKKE/IKKE{\ displaystyle HN / N}HIKKE{\ displaystyle HN}IKKE{\ displaystyle N}

Lad og to elementer af . Vi har , med , (siden er normalt i ) og er derfor i , hvilket viser, at det er stabilt ved multiplikation. er inversion stabil, fordi den indeholder . Vi bemærker, at fordi og . hikke{\ displaystyle hn}h′ikke′{\ displaystyle h'n '}HIKKE{\ displaystyle HN}hikkeh′ikke′=hh′(h′-1ikkeh′)ikke′{\ displaystyle hnh'n '= hh' (h '^ {- 1} nh') n '}hh′∈H{\ displaystyle hh '\ i H}h′-1ikkeh′∈IKKE{\ displaystyle h '^ {- 1} nh' \ i N}IKKE{\ displaystyle N}G{\ displaystyle G}ikke′∈IKKE{\ displaystyle n '\ i N}hikkeh′ikke′{\ displaystyle hnh'n '}HIKKE{\ displaystyle HN}HIKKE{\ displaystyle HN}HIKKE{\ displaystyle HN}(hikke)-1=h-1(hikke-1h-1)∈HIKKE{\ displaystyle (hn) ^ {- 1} = h ^ {- 1} (hn ^ {- 1} h ^ {- 1}) \ i HN}e{\ displaystyle e}HIKKE=IKKEH{\ displaystyle HN = NH}ikkeh=h(h-1ikkeh)∈HIKKE{\ displaystyle nh = h (h ^ {- 1} nh) \ i HN}hikke=(hikkeh-1)h∈IKKEH{\ displaystyle hn = (hnh ^ {- 1}) h \ i NH}

På den anden side har vi gruppeindeslutninger og er normale i , så det er også normale i . IKKE⊂HIKKE⊂G{\ displaystyle N \ subset HN \ subset G}IKKE{\ displaystyle N}G{\ displaystyle G}HIKKE{\ displaystyle HN}

• For at etablere isomorfisme bruger vi den første isomorfiske sætning.

Vi har en injektionsmorfisme defineret af , og den kanoniske overgivelse (sættet ved ankomsten er en gruppe, da det er normalt i ). Ved at komponere disse to morfismer opnår vi en ny morfisme defineret af . j:H↪HIKKE{\ displaystyle j: H \ hookrightarrow HN}j(h)=h{\ displaystyle j (h) = h}σ:HIKKE↠HIKKE/IKKE{\ displaystyle \ sigma: HN \ twoheadrightarrow HN / N}IKKE{\ displaystyle N}G{\ displaystyle G}f=σ∘j:H→HIKKE/IKKE{\ displaystyle f = \ sigma \ circ j: H \ til HN / N}f(h)=hIKKE{\ displaystyle f (h) = hN}

• Morfismen er overvejende.f{\ displaystyle f}

Faktisk enten med og . Siden er i , så . (hikke)IKKE∈HIKKE/IKKE{\ displaystyle (hn) N \ i HN / N}h∈H{\ displaystyle h \ in H}ikke∈IKKE{\ displaystyle n \ i N}ikke{\ displaystyle n}IKKE{\ displaystyle N}hikkeIKKE=hIKKE{\ displaystyle hnN = hN}hikkeIKKE=f(h){\ displaystyle hnN = f (h)}

• Kernen i er .f{\ displaystyle f}H∩IKKE{\ displaystyle H \ cap N}

Faktisk er det neutrale element af hvis, og kun hvis, er i . Som det allerede er i , svarer det til at sige, at det er i . f(h)=hIKKE{\ displaystyle f (h) = hN}IKKE{\ displaystyle N}HIKKE/IKKE{\ displaystyle HN / N}h{\ displaystyle h}IKKE{\ displaystyle N}h{\ displaystyle h}H{\ displaystyle H}h{\ displaystyle h}IKKE∩H{\ displaystyle N \ cap H}

• Den første isomorfiske sætning forsikrer derefter, at det er en normal undergruppe af , og at den inducerede morfisme er en isomorfisme.IKKE∩H{\ displaystyle N \ cap H}H{\ displaystyle H}f^:H/(IKKE∩H)→HIKKE/IKKE{\ displaystyle {\ widehat {f}}: H / (N \ cap H) \ til HN / N}

Konklusionen af ​​denne sætning forbliver sand, hvis man kun antager, at standardsætteren skal indeholde (i stedet for at antage at være lig med et heltal). IKKE{\ displaystyle N}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}

Tredje isomorfiske sætning

Tredje isomorfiske sætning  -  Lad være en gruppe og og to normale undergrupper af sådanne, der er inkluderet i . Så er der en normal undergruppe af, og vi har følgende isomorfisme: G{\ displaystyle G}IKKE{\ displaystyle N}M{\ displaystyle M}G{\ displaystyle G}M{\ displaystyle M}IKKE{\ displaystyle N}IKKE/M{\ displaystyle N / M}G/M{\ displaystyle G / M}

(G/M)/(IKKE/M)≃G/IKKE.{\ displaystyle (G / M) / (N / M) \ simeq G / N.} Demonstration

Morfisme G/M→G/IKKE, gM↦(gM)IKKE=g(MIKKE)=gIKKE{\ displaystyle G / M \ til G / N, ~ gM \ mapsto (gM) N = g (MN) = gN} er overvejende og kerne . IKKE/M{\ displaystyle N / M}

Se også

• Faktorisering sætning
• Korrespondance sætning
• Lemma af Zassenhaus

Reference

Serge Lang , Algebra [ detaljer af udgaver ] kapitel I, § 4

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">