Gruppeteori

I matematik , mere præcist i generel algebra , er gruppeteori den disciplin, der studerer algebraiske strukturer kaldet grupper . Udviklingen af gruppeteori opstod fra talteori , teorien om algebraiske ligninger og geometri .

Teorien om grupper er tæt knyttet til teorien om repræsentationer . Sammen har de flere anvendelser inden for teoretisk fysik , kemi , materialevidenskab og asymmetrisk kryptografi .

En af de største af de avancerede matematik i XX th århundrede er den komplette klassifikation af finite simple grupper . Det er resultatet af et samarbejde mellem mere end 100 forfattere gennem 500 artikler.

Historie

En af grundene til idéen til en gruppe er studiet af algebraiske ligninger af Joseph-Louis Lagrange ( 1771 ). Terminologien "gruppe" fremhæves for første gang af Évariste Galois ( 1830 ): vi kan "gruppere" automorfismen i nedbrydningskroppen i et adskilleligt polynom. Gruppens idé stammer også fra studiet af nye geometrier, Felix Klein ( 1872 ) og talteori : Leonhard Euler , Carl Friedrich Gauss .

Ansøgninger

Gruppeteori bruges i vid udstrækning inden for kemi . Det bruges for eksempel til at forenkle skrivningen af Hamilton af et molekyle ved at udnytte dets symmetrier . Det gør det muligt at beregne molekylære orbitaler som summen af atomorbitaler og at forudsige den type deformation, som et molekyle vil gennemgå i infrarød (IR) spektroskopi . I spektroskopi gør det det muligt at vide, om en overgang vil være synlig i et infrarødt spektrum og / eller i et Raman-spektrum , afhængigt af symmetrien af dens deformation.

Hvert molekyle har en symmetri, som kan bestemmes ved hjælp af synoptikken i rullemenuen nedenfor. Når punktsymmetri-gruppen er fundet, anvendes den tilsvarende tegntabel.

At bestemme symmeturgruppen i et molekyle

I slægtskabets elementære strukturer identificerer etnologen Claude Lévi-Strauss , hjulpet af matematikeren André Weil , begrebet slægtskabets elementære struktur ved hjælp af begrebet gruppe (især Kleins gruppe ). I Myths Structure vil Lévi-Strauss genbruge Kleins grupper til at etablere den “kanoniske formel for myten”.

Gruppeteori bruges også i vid udstrækning i teoretisk fysik , især til udvikling af målerteorier .

Grupperne giver anledning til irreducerbare repræsentationstabeller. For eksempel kombineres symmetrierne for vand efter:

Bord

C _ {{2v}}

$C _ {{2v}}$	E	$C _ {{2}}$	$\ sigma _ {{vb}} (xz)$	$\ sigma '_ {{vb}} (yz)$
E	E	$C _ {{2}}$	$\ sigma _ {{vb}}$	$\ sigma '_ {{vb}}$
$C _ {{2}}$	$C _ {{2}}$	E	$\ sigma '_ {{vb}}$	$\ sigma _ {{vb}}$
$\ sigma _ {{vb}}$	$\ sigma _ {{vb}}$	$\ sigma '_ {{vb}}$	E	$C _ {{2}}$
$\ sigma '_ {{vb}}$	$\ sigma '_ {{vb}}$	$\ sigma _ {{vb}}$	$C _ {{2}}$	E

og den sammenkædede karaktertabel:

Bord

C _ {{2v}}

$C _ {{2v}}$	E	$C _ {{2}}$	$\ sigma _ {{vb}} (xz)$	$\ sigma '_ {{vb}} (yz)$
A 1	1	1	1	1	z	x 2 , y 2 , z 2
A 2	1	1	-1	-1	R z	xy
B 1	1	-1	1	-1	x, R y	xz
B 2	1	-1	-1	1	y, R x	yz

Hver form for molekylær vibration kan reduceres til en kombination af irreducerbare repræsentationer, hvis egenskaber derefter gør det muligt at fastslå, om de falder under Raman eller infrarød spektroskopi.

Hjælpeartikler

Sarah B. Hart , matematiker med speciale i denne disciplin

Noter og referencer

Elwes, Richard, En enorm sætning: klassificeringen af endelige enkle grupper , Plus Magazine , nummer 41, december 2006.
Karaktertabeller over hovedpunktsymmetri-grupperne på scienceamusante.net
Paul Jolissaint, læsningsnotater: Grupper og etnologi
- (htlm) [1]
- [PDF] [2]

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

(en) Derek JS Robinson (de) , A Course in the Theory of Groups , Springer, coll. " GTM " ( nr . 80)1996, 499 s. ( ISBN 978-0-387-94461-6 , læs online )