Froude teori
Den Froude teori er i fluiddynamik , en matematisk formulering af de fysiske propeller baseret på ændringen i momentum. Den blev udviklet i det XIX th århundrede af William John Macquorn Rankine og Robert Edmund Froude (1889). Denne teori gælder for rotorer fra helikoptere , skibets propeller og fly , vind- og havturbiner .
Hypoteser
Froudes teori betragter spiralen som en ensartet disk. Propellerskiven fremstår som en propel med en uendelig klinge med uendelig lille tykkelse.
Hypoteserne i Froudes teori er som følger:
- Strømmen er irrotational
- Væsken er ukomprimerbar
- Propellerskiven forårsager ikke en spiralformet vækkehvirvel
- Strømmen er strengt aksial og ensartet over hele overfladen af den spiralformede skive såvel som i ethvert afsnit af fluidstrømmen. Strømmen er derfor ensrettet
- Friktionskræfter forsømmes.
Propellerskiven anses for at være i ensartet og retlinet forskydning i væsken med hastighed V ved uendeligt opstrøms. Den primære effekt af propelskiven er accelerationen af væsken, når den passerer. Denne acceleration ledsages af en trykdiskontinuitet og en sammentrækning af væskestrømmen. Faktisk udøver propelskiven et tryk T (på engelsk: stød ) på væsken ved variationen af dens bevægelsesmængde .
Figuren viser en hastighed V ved uendelig opstrøms. Denne hastighed er algebraisk - hvilket betyder at den kan være positiv (tilfælde af propeller og helikopterrotor i stigende lodret flyvning), nul (helikopterrotor i svævende flyvning) eller negativ (tilfælde af vindmøller og helikopterrotor i lodret faldende flyvning) ). I rækkefølge studeres hhv. Svævende flyvning, stigende flyvning og derefter faldende flyvning.
Svævende flyvning
V=0{\ displaystyle V = 0}
Hastigheden ved passagen af propelskiven kaldes den inducerede hastighed. Derefter producerer den hastigheden ved uendelig nedstrøms. Strømningsbevaringsligningen er skrevet:
vjeg{\ displaystyle {{vb} _ {i}}}v∞{\ displaystyle {{vb} _ {\ infty}}}
ρSvjeg=ρS2v∞{\ displaystyle \ rho S {{v} _ {i}} = \ rho {{S} _ {2}} {{v} _ {\ infty}}}
Kraften er givet ved variationen i momentum:
T=ρSvjegv∞{\ displaystyle T = \ rho S {{v} _ {i}} {{v} _ {\ infty}}}
Stødkraften kan også udtrykkes som en funktion af trykdiskontinuiteten:
T=S(s+-s-){\ displaystyle T = S \ left ({{p} _ {+}} - {{p} _ {-}} \ right)}
Vi skriver Bernoulli-forholdet opstrøms og nedstrøms for spiralformet skive:
s∞=s-+12ρvjeg2s++12ρvjeg2=s∞+12ρv∞2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} = {{p} _ {-}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2 } \\ & {{p} _ {+}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2} = {{p} _ {\ infty}} + {\ frac { 1} {2}} \ rho v _ {\ infty} ^ {2} \\\ ende {justeret}}}
Følgende forhold udledes heraf:
v∞=2vjeg{\ displaystyle {{v} _ {\ infty}} = 2 {{v} _ {i}}}
Demonstration:
|
---|
Bernoullis sætning:
v22+g⋅z+sρ=vs.oikkestpåikkete{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + g \ cdot z + {\ frac {p} {\ rho}} = \ mathrm {konstant}}
Vi mener derfor, at der ikke er nogen højdevariation:
v22+sρ=vs.oikkestpåikkete{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + {\ frac {p} {\ rho}} = \ mathrm {konstant}}
Vi opnår derfor opstrøms og nedstrøms for spiralformede skiver:
s∞=s-+12ρvjeg2s++12ρvjeg2=s∞+12ρv∞2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} = {{p} _ {-}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2 } \\ & {{p} _ {+}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2} = {{p} _ {\ infty}} + {\ frac { 1} {2}} \ rho v _ {\ infty} ^ {2} \\\ ende {justeret}}}
Ved at erstatte,
s++12ρvjeg2=12ρv∞2+s-+12ρvjeg2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {+}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2} = {\ frac {1} {2} } \ rho v _ {\ infty} ^ {2} + {{p} _ {-}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2} \\\\ end { justeret}}}
Vi reducerer:
s+=12ρv∞2+s-{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {+}} = {\ frac {1} {2}} \ rho v _ {\ infty} ^ {2} + {{p} _ {- }} \\\ ende {justeret}}}
Δs=12ρv∞2{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta p = {\ frac {1} {2}} \ rho v _ {\ infty} ^ {2} \ end {align}}}
Vi ved dog, at stødkraften kan gives enten ved trykvariation eller ved hastighedsvariation:
T=ρSvjegv∞{\ displaystyle T = \ rho S {{v} _ {i}} {{v} _ {\ infty}}}
T=S(s+-s-){\ displaystyle T = S \ left ({{p} _ {+}} - {{p} _ {-}} \ right)}
Vi opnår:
ρvjegv∞=Δs{\ displaystyle \ rho {{v} _ {i}} {{v} _ {\ infty}} = \ Delta p}
Så vi har:
12ρv∞2=ρvjegv∞{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho v _ {\ infty} ^ {2} = \ rho {{v} _ {i}} {{v} _ {\ infty}}}
Vi forenkler:
12v∞=vjeg{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} v _ {\ infty} = {{v} _ {i}}}
Udtrykket af det fremdrift, som variationen i momentum giver, kan forenkles:
T=2ρSvjeg2{\ displaystyle T = 2 \ rho S {{v} _ {i}} ^ {2}}
|
Således er hastigheden af kølvandet til uendelig nedstrøms dobbelt den inducerede hastighed. Vi har forholdet:
vjeg=T2ρS{\ displaystyle {{v} _ {i}} = {\ sqrt {\ frac {T} {2 \ rho S}}}}
Således er hastigheden inducerede overfladeladningen varierer med skruecirkelens: . Den nødvendige styrke til acceleration af væsken gives af udtrykket
TS{\ displaystyle {\ frac {T} {S}}}
Pjeg=Tvjeg{\ displaystyle {{P} _ {i}} = T {{v} _ {i}}}
Denne magt kaldes induceret magt. Det observeres let, at den inducerede effekt varierer med den inducerede hastighed og med overfladebelastningen på propelskiven. Det skal bemærkes, at kraften, der fremkaldes af svæver, udgør størstedelen af den krævede kraft til helikopterflyvning. Det er derfor klart, hvor vigtigt dimensioneringen af rotoren er.
Dimensionsløse koefficienter
For at kunne foretage relevante sammenligninger mellem forskellige helixer bør der defineres dimensionsløse koefficienter. Med hensyn til hastighed består referencen af hastigheden ved enden af bladet:
vT=Rω{\ displaystyle {{v} _ {T}} = R \ omega}
Inkompressibilitetshypotesen svarer til grænsen for det subsoniske domæne for hastigheden ved spidsen af bladet. Den inducerede hastighedskoefficient er skrevet:
λjeg=vjegRω{\ displaystyle {{\ lambda} _ {i}} = {\ frac {{v} _ {i}} {R \ omega}}}
For kraften overvejer vi en ensartet løftning af propelskiven:
VST=T12ρ(Rω)2S{\ displaystyle {{C} _ {T}} = {\ frac {T} {{\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (R \ omega \ right)} ^ {2}} S }}} eller S=πR2{\ displaystyle S = \ pi {{R} ^ {2}}}
Bemærk tilstedeværelsen af en koefficient i nævneren. Dens anvendelse er ikke generaliseret. Derfor skal man være opmærksom på at henvise til definitionen af stødkoefficienten inden enhver sammenligning. Enhver udeladelse på dette område kan være meget irriterende eller endda irriterende.
12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}
Vi får forholdene:
λjeg=12VSTVST=4λjeg2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{\ lambda} _ {i}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {{C} _ {T}}} \\ & {{C } _ {T}} = 4 \ lambda _ {i} ^ {2} \\\ ende {justeret}}}
En induceret effektkoefficient defineres på samme måde:
VSPjeg=Pjeg12ρ(Rω)3S{\ displaystyle {{C} _ {Pi}} = {\ frac {{P} _ {i}} {{\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (R \ omega \ right)} ^ {3}} S}}}
Vi har følgende forhold:
VSPjeg=VSTλjegVSPjeg=12VST3/2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{C} _ {Pi}} = {{C} _ {T}} {{\ lambda} _ {i}} \\ & {{C} _ {Pi} } = {\ frac {1} {2}} {{C} _ {T}} ^ {{3} / {2} \;} \\\ ende {justeret}}}
Stigende flyvning
Strømningsbevaringsligningen er skrevet:
ρS0V=ρS(V+vjeg)=ρS2(V+v∞){\ displaystyle \ rho {{S} _ {0}} V = \ rho S \ venstre (V + {{v} _ {i}} \ højre) = \ rho {{S} _ {2}} \ venstre (V + {{v} _ {\ infty}} \ højre)}
Variationen i momentum giver kraften:
T=ρS(V+vjeg)v∞{\ displaystyle T = \ rho S \ left (V + {{v} _ {i}} \ right) {{v} _ {\ infty}}}
Vi skriver Bernoulli-forholdet opstrøms og nedstrøms for spiralformet skive:
s∞+12ρV2=s-+12ρ(V+vjeg)2s++12ρ(V+vjeg)2=s∞+12ρ(V+v∞)2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}} = {{p} _ {- }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} \\ & {{p} _ {+ }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} = {{p} _ {\ infty} } + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ venstre (V + {{v} _ {\ infty}} \ højre)} ^ {2}} \\\ ende {justeret}}}
Vi udleder forholdet:
v∞=2vjeg{\ displaystyle {{v} _ {\ infty}} = 2 {{v} _ {i}}}
Demonstration:
|
---|
Vi opnår med Bernoullis sætning opstrøms og nedstrøms for spiralformet disk:
s∞+12ρV2=s-+12ρ(V+vjeg)2s++12ρ(V+vjeg)2=s∞+12ρ(V+v∞)2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}} = {{p} _ {- }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} \\ & {{p} _ {+ }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} = {{p} _ {\ infty} } + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ venstre (V + {{v} _ {\ infty}} \ højre)} ^ {2}} \\\ ende {justeret}}}
Ved at erstatte,
s++12ρ(V+vjeg)2=s-+12ρ(V+vjeg)2-12ρV2+12ρ(V+v∞)2{\ displaystyle {{p} _ {+}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} = {{p} _ {-}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} - { \ frac {1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ venstre (V + {{v} _ {\ infty}} \ right)} ^ {2}}}
Vi reducerer:
Δs=12ρ(V+v∞)2-12ρV2{\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {\ infty}} \ right)} ^ {2}} - {\ frac { 1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}}}
Vi udvikler:
Δs=ρVv∞+12ρv∞2{\ displaystyle \ Delta p = \ rho V {v} _ {\ infty} + {\ frac {1} {2}} \ rho {v} _ {\ infty} ^ {2}}
Vi ved dog, at stødkraften kan gives enten ved trykvariation eller ved hastighedsvariation:
T=ρS(V+vjeg)v∞{\ displaystyle T = \ rho S \ left (V + {{v} _ {i}} \ right) {{v} _ {\ infty}}}
T=S(s+-s-){\ displaystyle T = S \ left ({{p} _ {+}} - {{p} _ {-}} \ right)}
Vi opnår:
Δs=ρ(V+vjeg)v∞{\ displaystyle \ Delta p = \ rho \ left (V + {{v} _ {i}} \ right) {{v} _ {\ infty}}}
Så vi har:
ρVv∞+12ρv∞2=ρ(V+vjeg)v∞{\ displaystyle \ rho V {v} _ {\ infty} + {\ frac {1} {2}} \ rho {v} _ {\ infty} ^ {2} = \ rho \ left (V + {{v } _ {i}} \ højre) {{v} _ {\ infty}}}
Vi forenkler:
12v∞=vjeg{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {v} _ {\ infty} = {{v} _ {i}}}
|
Bemærk, at dette forhold er det samme som i svæveflyvning. Ved at erstatte i trykudtrykket kommer det:
v∞{\ displaystyle {{vb} _ {\ infty}}}
T=2ρS(V+vjeg)vjeg{\ displaystyle T = 2 \ rho S \ venstre (V + {{v} _ {i}} \ højre) {{v} _ {i}}}
Ved at bemærke den inducerede hastighed, der giver den samme fremdrift i svævende flyvning, beregner vi:
v0=T2ρS{\ displaystyle {{v} _ {0}} = {\ sqrt {\ frac {T} {2 \ rho S}}}}
vjegv0=-V2v0+(V2v0)2+1{\ displaystyle {\ frac {{v} _ {i}} {{v} _ {0}}} = - {\ frac {V} {2 {{v} _ {0}}}} + {\ sqrt {{{left ({\ frac {V} {2 {{v} _ {0}}}} \ right)} ^ {2}} + 1}}}
I dimensionsløse koefficienter opnår vi ved at indstille hastighedskoefficienten:
μ=VRω{\ displaystyle \ mu = {\ frac {V} {R \ omega}}}
VSPVST=μ+λjeg{\ displaystyle {\ frac {{C} _ {P}} {{C} _ {T}}} = \ mu + {{\ lambda} _ {i}}}
Begrebet fremdrivningseffektivitet
I tilfælde af et fly er den nyttige magt:
Pu=TV{\ displaystyle {{P} _ {u}} = TV}
Kraften, der udvikles til dette formål, er givet af væskens stigning i kinetisk energi, det vil sige den inducerede effekt:
Pjeg=T(V+vjeg){\ displaystyle {{P} _ {i}} = T \ venstre (V + {{v} _ {i}} \ højre)}
Den fremdrivende effektivitet er defineret af:
Rs=PuPjeg=21+vjegV=21+1+VST{\ displaystyle {{R} _ {p}} = {\ frac {{P} _ {u}} {{P} _ {i}}} = {\ frac {2} {1 + {\ frac {{ v} _ {i}} {V}}}} = {\ frac {2} {1 + {\ sqrt {1 + {{C} _ {T}}}}}}}
Konsekvensen er, at ved samme tryk opnås den maksimale effektivitet, når luftens acceleration er minimal, det vil sige den maksimale strømning. Med andre ord, jo større propellens diameter er, jo højere er drivmiddeleffektiviteten.
Faldende flyvning
Strømningsbevaringsligningen er skrevet:
ρS0(V-v∞)=ρS(V-vjeg)=ρS2V{\ displaystyle \ rho {{S} _ {0}} \ venstre (V - {{v} _ {\ infty}} \ højre) = \ rho S \ venstre (V - {{v} _ {i}} \ right) = \ rho {{S} _ {2}} V}
Variationen i momentum giver kraften:
T=ρS(V-vjeg)v∞{\ displaystyle T = \ rho S \ left (V - {{v} _ {i}} \ right) {{v} _ {\ infty}}}
Vi skriver Bernoulli-forholdet opstrøms og nedstrøms for spiralformet skive:
s∞+12ρV2=s++12ρ(V-vjeg)2s-+12ρ(V-vjeg)2=s∞+12ρ(V-v∞)2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}} = {{p} _ {+ }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} \\ & {{p} _ {- }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} = {{p} _ {\ infty} } + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ venstre (V - {{v} _ {\ infty}} \ højre)} ^ {2}} \\\ ende {justeret}}}
Vi udleder forholdet:
v∞=2vjeg{\ displaystyle {{v} _ {\ infty}} = 2 {{v} _ {i}}}
Demonstration:
|
---|
Vi opnår med Bernoullis sætning opstrøms og nedstrøms for spiralformet disk:
s∞+12ρV2=s++12ρ(V-vjeg)2s-+12ρ(V-vjeg)2=s∞+12ρ(V-v∞)2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}} = {{p} _ {+ }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} \\ & {{p} _ {- }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} = {{p} _ {\ infty} } + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ venstre (V - {{v} _ {\ infty}} \ højre)} ^ {2}} \\\ ende {justeret}}}
Ved at erstatte,
s-=s+-12ρV2+12ρ(V-v∞)2{\ displaystyle {{p} _ {-}} = {{p} _ {+}} - {\ frac {1} {2}} \ rho V ^ {2} + {\ frac {1} {2} } \ rho {{\ left (V - {{v} _ {\ infty}} \ right)} ^ {2}}}
Δs=12ρV2-12ρ(V-v∞)2{\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {1} {2}} \ rho V ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ { \ infty}} \ right)} ^ {2}}}
Vi udvikler:
Δs=ρVv∞-12ρv∞2{\ displaystyle \ Delta p = \ rho V {v} _ {\ infty} - {\ frac {1} {2}} \ rho {v} _ {\ infty} ^ {2}}
Vi ved dog, at stødkraften kan gives enten ved trykvariation eller ved hastighedsvariation:
T=ρS(V-vjeg)v∞{\ displaystyle T = \ rho S \ left (V - {{v} _ {i}} \ right) {{v} _ {\ infty}}}
T=S(s+-s-){\ displaystyle T = S \ left ({{p} _ {+}} - {{p} _ {-}} \ right)}
Vi opnår:
Δs=ρ(V-vjeg)v∞{\ displaystyle \ Delta p = \ rho \ left (V - {{v} _ {i}} \ right) {{v} _ {\ infty}}}
Så vi har:
ρ(V-vjeg)v∞=ρVv∞-12ρv∞2{\ displaystyle \ rho \ left (V - {{v} _ {i}} \ right) {{v} _ {\ infty}} = \ rho V {v} _ {\ infty} - {\ frac {1 } {2}} \ rho {v} _ {\ infty} ^ {2}}
Vi forenkler:
12v∞=vjeg{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {v} _ {\ infty} = {{v} _ {i}}}
|
Bemærk, at dette forhold er det samme som i tilfælde af svævende flyvning og stigende flyvning. Ved at erstatte i trykudtrykket kommer det:
v∞{\ displaystyle {{vb} _ {\ infty}}}
T=2ρS(V-vjeg)vjeg{\ displaystyle T = 2 \ rho S \ venstre (V - {{v} _ {i}} \ højre) {{v} _ {i}}}
I lyset af disse resultater ser det ud til, at den faldende flyvning ikke udgør nogen særlig vanskelighed, for så vidt som forholdene ligner dem, der er under den stigende flyvning. Denne tilsyneladende lighed er vildledende: Lad os faktisk sammenligne de to udtryk for stød:
T=2ρS(V+vjeg)vjeg{\ displaystyle T = 2 \ rho S \ venstre (V + {{v} _ {i}} \ højre) {{v} _ {i}}}
T=2ρS(V-vjeg)vjeg{\ displaystyle T = 2 \ rho S \ venstre (V - {{v} _ {i}} \ højre) {{v} _ {i}}}
I svævende stigende flyvning har vi:
V=0vjeg=v0=T2ρS{\ displaystyle {\ begin {align} & V = 0 \\ & {{v} _ {i}} = {{v} _ {0}} = {\ sqrt {\ frac {T} {2 \ rho S }}} \\\ ende {justeret}}}
Hvis vi erstatter disse udtryk i kraften i nedadgående flyvning, opnår vi:
T=-2ρSv02{\ displaystyle T = -2 \ rho Sv_ {0} ^ {2}}
Dette er ikke passende, da stødkraften altid er opad og positiv. Derfor, og i modsætning til tilfældet med stigende flyvning, kan udtrykket af fremdriften i faldende flyvning ikke udvides til at omfatte svævningen. Der er derfor et domæne, der skal defineres, hvor Froude's teori ikke er egnet til modellering af en faldende flyvning.
Overvej en algebraisk hastighed (positiv i stigende flyvning og negativ i faldende flyvning). Lad os introducere de dimensionsløse hastigheder:
V{\ displaystyle V}
V¯=Vv0v¯jeg=vjegv0{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ bar {V}} = {\ frac {V} {{v} _ {0}}} \\ & {{\ bar {v}} _ {i}} = {\ frac {{v} _ {i}} {{v} _ {0}}} \\\ ende {justeret}}}
Vi får forholdene:
(V¯+v¯jeg)v¯jeg=1(V¯+v¯jeg)v¯jeg=-1{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left ({\ bar {V}} + {{\ bar {v}} _ {i}} \ right) {{\ bar {v}} _ {i}} = 1 \\ & \ venstre ({\ bar {V}} + {{\ bar {v}} _ {i}} \ højre) {{\ bar {v}} _ {i}} = - 1 \\ \ end {justeret}}}
Er:
V¯=±1v¯jeg-v¯jeg{\ displaystyle {\ bar {V}} = \ pm {\ frac {1} {{\ bar {v}} _ {i}}} - {{\ bar {v}} _ {i}}}
Froudes teori antager en uniaxial flow. Dog tæt på værdien:
V¯=-1{\ displaystyle {\ bar {V}} = - 1}
Det ser ud til, at der kan være en vending af strømningsretningen lokalt. Derfor skal intervallet mellem og fjernes fra gyldighedsområdet for de opnåede formler:
-2{\ displaystyle -2}0{\ displaystyle 0}
(V¯+v¯jeg)v¯jeg=1V¯≥0(V¯+v¯jeg)v¯jeg=-1V¯≤-2{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left ({\ bar {V}} + {{\ bar {v}} _ {i}} \ right) {{\ bar {v}} _ {i}} = 1 \ quad {\ bar {V}} \ geq 0 \\ & \ left ({\ bar {V}} + {{\ bar {v}} _ {i}} \ højre) {{\ bar {v }} _ {i}} = - 1 \ quad {\ bar {V}} \ leq -2 \\\ ende {justeret}}}
eksterne links
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">