Egoroff sætning

Den sætning Egoroff , navngivet i hyldest til Dmitri Egorov , russisk fysiker og matematiker, etablerer en tilstand ensartet konvergens i nogle målbare rum . Denne sætning kan især bruges til at vise Lusins sætning for integrerbare funktioner.

Dette er faktisk et grundlæggende resultat af integrationsteorien . Det giver også mulighed for at give et kortfattet bevis for den dominerede konvergenssætning .

Stater

Lad ( E , Σ, μ) være et målt rum, der tilfredsstiller μ ( E ) < $+ \infty$ (målingen μ siges at være endelig ). Lad ( f n ) være en sekvens af målelige funktioner på E for konvergerende reelle værdier μ-næsten overalt til en funktion f målelig på E .

Derefter findes der for alle ε> 0 A ∈ Σ således at μ ( A ) <ε og sådan at f n konvergerer ensartet til f på E \ A ( komplementet til A i E ).

Hvorfor antage, at foranstaltningen er endelig?

Lad os overveje følgende funktioner f n , defineret på det sæt reelle tal, der er udstyret med stammen Borelians og Lebesgue-målingen ( $χ$ angiver indikatorfunktionen for et sæt): f n = $χ$ [ n , n + 1] . Derefter konvergerer sekvensen ( f n ) simpelthen (derfor μ-næsten overalt), men der er ingen boreliansk af begrænset mål, hvis komplement er ensartet.

Demonstration

Vi overvejer for n , k ≥ 1 sætene:

{\ displaystyle E_ {k, n} = \ bigcap _ {i \ geq n} \ venstre \ {x \ i E \ mid | f_ {i} (x) -f (x) | \ leq 1 / k \ højre \}.}

For alle k ≥ 1, sekvensen ( E k, n ) er voksende (til inklusion), derfor:

{\ displaystyle \ mu \ left (\ cup _ {n \ geq 1} E_ {k, n} \ right) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu (E_ {k, n})}

Da funktionssekvensen $( f n )$ simpelthen konvergerer μ-pp til $f$ , har vi desuden for alle k ≥ 1:

{\ displaystyle \ mu \ left (\ cup _ {n \ geq 1} E_ {k, n} \ right) = \ mu (E).}

Vi derefter lave ε> 0. Takket være betingelsen μ ( E ) < $+ \infty$ , kan vi finde for hver k ≥ 1 et positivt heltal n k således, at

{\ displaystyle \ mu (E_ {k, n_ {k}}) \ geq \ mu (E) -2 ^ {- k} \ varepsilon.}

Så det hele

{\ displaystyle A = \ bigcup _ {k \ geq 1} (E \ setminus E_ {k, n_ {k}})}

passer.

En anden formulering af sætningen

Lad E være et metrisk rum , adskilleligt og lokalt kompakt , hvorpå vi har et mål μ σ-endelig . Lad ( f n ) være en sekvens af målbare funktioner fra E til ℝ konvergerende μ-pp til en målelig funktion f .

Derefter findes der for alle ε> 0 og for alle kompakte K af E en kompakt K ' inkluderet i K, således at μ ( K \ K' ) <ε og sådan, at f n konvergerer ensartet til f på K '.

Kilde

(en) Michael E. Taylor (de) , Måle teori og integration , AMS , s. 34-39