Supplerende (sætteori)

I matematik , og især i sæt teori , at supplement af en del af et sæt består af alle elementer i ikke tilhører . $PÅ$ $E$ $E$ $PÅ$

Den komplement er noteret , , . Hvis der er risiko for forvirring, hvis vi vil specificere, at vi taler om komplementet af in , bemærker vi . $PÅ$ ${\ displaystyle ^ {C} A}$ ${\ displaystyle A ^ {C}}$ $\ supplement A$ $PÅ$ $E$ $\ supplement _ {E} A$

Hvis er forskellig fra den tomme mængde og fra , derefter og danner en skillevæg af sættet . ${\ displaystyle A}$ $E$ $PÅ$ ${\ displaystyle A ^ {C}}$ $E$

Tilfældet med begrænsede sæt

Hvornår er et endeligt sæt , summen af kardinalerne af og er lig med kardinalen af : $E$ $PÅ$ ${\ displaystyle A ^ {C}}$ $E$

{\ displaystyle {\ text {card}} \ left (A \ right) + {\ text {card}} \ left (A ^ {C} \ right) = {\ text {card}} \ left (E \ right )}

Hvorfra vi udleder:

{\ displaystyle {\ text {card}} \ left (A ^ {C} \ right) = {\ text {card}} \ left (E \ right) - {\ text {card}} \ left (A \ right )}

.Eksempel At tælle de fraværende i en planlagt samling på halvtreds mennesker er det tilstrækkeligt at tælle de tilstedeværende. Faktisk er antallet af fraværende personer et supplement til de tilstedeværende. Hvis 47 personer er til stede, er der 50 - 47 = 3 fraværende.

Væsentlige egenskaber

Sættet, som vi arbejder i, bemærkes . og er delmængder af . $E$ $PÅ$ $B$ $E$

${\ displaystyle E ^ {C} = \ varnothing}$ .
${\ displaystyle {\ varnothing} ^ {C} = E}$ .
Et element af kan ikke være både i og i dets komplement , et sæt og dets komplement er derfor uensartede sæt : $E$ $PÅ$ ${\ displaystyle A ^ {C}}$

{\ displaystyle A \ cap A ^ {C} = \ varnothing}

Ethvert element i er i eller i et supplement til : $E$ $PÅ$ ${\ displaystyle A ^ {C}}$ $PÅ$

{\ displaystyle A \ cup A ^ {C} = E}

Komplementet af komplementet til et sæt er selve dette sæt (applikationen "komplementet til ..." er en involution ):

{\ displaystyle ({{A} ^ {C}}) ^ {C} = A}

De Morgans love eller dualitet:
- Komplementet af foreningen af to sæt er skæringspunktet mellem deres komplementære: .
  ${\ displaystyle ({A \ cup B}) ^ {C} = A ^ {C} \ cap B ^ {C}}$
- Komplementet af skæringspunktet mellem to sæt er foreningen af deres komplementære: .
  ${\ displaystyle ({A \ cap B}) ^ {C} = A ^ {C} \ cup B ^ {C}}$

Relaterede artikler