Wiener - Wintner sætning

I matematik er Wiener-Wintner-sætningen , opkaldt efter Norbert Wiener og Aurel Wintner , en forstærkning af den ergodiske sætning .

Stater

Antag, at det er en transformation, der bevarer målingerne af et målt rum S af et endeligt mål. Hvis f er en reel værdi og integreres over S , siger Wiener-Wintner-sætningen, at der findes et sæt E af mål nul, således at gennemsnittet $\ tau$

limℓ→∞12ℓ+1∑j=-ℓℓejegjλf(τjP){\ displaystyle \ lim _ {\ ell \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {2 \ ell +1}} \ sum _ {j = - \ ell} ^ {\ ell} e ^ {ij \ lambda} f (\ tau ^ {j} P)}

{\ displaystyle \ lim _ {\ ell \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {2 \ ell +1}} \ sum _ {j = - \ ell} ^ {\ ell} e ^ {ij \ lambda} f (\ tau ^ {j} P)}

eksisterer for enhver reel og for enhver P, der ikke tilhører E. $\ lambda$

Den særlige sag er i det væsentlige Birkhoffs ergodiske sætning , hvorfra straks følger eksistensen af et sæt E af mål nul, for ethvert fast λ eller for ethvert tællbart sæt af . Interessen for Wiener-Wintner sætningen er, at vi kan vælge det ekstraordinære sæt E uafhængigt af . ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ $\ lambda$ $\ lambda$

Denne sætning er et specielt tilfælde af returtidssætningen.

Referencer

(en) "Wiener - Wintner-sætning" , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , læs online ) (en) "Wiener - Wintner-sætning" , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , læs online )
Wiener, Norbert; Wintner, Aurel (1941), "Harmonic analysis and ergodic theory", American Journal of Mathematics, 63: 415-426, doi: 10.2307 / 2371534, ( ISSN 0002-9327 ) , JSTOR 2371534, MR 0004098