Japansk sætning om skrivbare firkanter
I geometri siger den japanske sætning for firkanter , at centrum for indskrevne cirkler af trekanter af en skrivbar firkant er hjørnerne i et rektangel.
Ved at trække de diagonaler af firsidede , får vi fire trekanter (hver diagonal skaber to trekanter). Centrene for cirklerne indskrevet i disse trekanter danner et rektangel.
Stater
Lad være enhver skrivbar firkant og være de respektive centre for cirklerne indskrevet i trekanterne .
PÅBVSD{\ displaystyle ABCD}
M1,M2,M3,M4{\ displaystyle M_ {1}, M_ {2}, M_ {3}, M_ {4}}
PÅBD,PÅBVS,BVSD,PÅVSD{\ displaystyle ABD, ABC, BCD, ACD}![{\ displaystyle ABD, ABC, BCD, ACD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf46b8ea84f229193113399b6888219379e19cbb)
Derefter er firsidet et rektangel.
M1M2M3M4{\ displaystyle M_ {1} M_ {2} M_ {3} M_ {4}}![{\ displaystyle M_ {1} M_ {2} M_ {3} M_ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2118b9b90d896368aa54e69436ef8cc151b3f0)
Princippet for demonstrationen
Beviset er baseret på to egenskaber på vinklerne:
- I en trekant ABC, hvis centrum af den indskrevne cirkel er O, er vinklen BOC lig med halvdelen af vinklen BAC øget med en ret vinkel,
- Den egenskab af vinkler indskrevet til cocyclic punkter
Vi beviser derefter, at punkterne og er cocycliske, samt og osv. Vi beviser derefter, at vinklen er rigtig ved at skrive den ved hjælp af vinklerne og .
PÅ,B,M1{\ displaystyle A, B, M_ {1}}
M2{\ displaystyle M_ {2}}
PÅ,D,M1{\ displaystyle A, D, M_ {1}}
M4{\ displaystyle M_ {4}}
M2M1M4{\ displaystyle M_ {2} M_ {1} M_ {4}}
M2M1PÅ{\ displaystyle M_ {2} M_ {1} A}
M4M1PÅ{\ displaystyle M_ {4} M_ {1} A}![{\ displaystyle M_ {4} M_ {1} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6389434c53b8b2a6dffd6c574b13fd20cfa64d0b)
Udvidelse
Denne sætning er et skridt i beviset for en mere generel sætning vedrørende radierne af de indskrevne cirkler, den
japanske sætning, der angiver inden for rammerne af denne firkant, at summen af radierne af de indskrevne cirkler af centrum og er lig med summen af radierne af de indskrevne cirkler af centre og . For at bevise tilfældet med skrivbare firkanter er det nødvendigt at konstruere parallelogrammet, hvis sider passerer gennem rektanglets hjørner, mens de er parallelle med firkantens diagonaler. Vi beviser derefter, at det opnåede parallelogram er en rombe, ved at bruge de
alternative interne vinkler og cocycliciteten af punkterne og osv. Afstandene mellem de modsatte sider af denne rombe er derfor ens, hvilket svarer til at sige, at summen af radierne af de indskrevne cirkler, der er tangent til hver diagonal, er ens.
M1{\ displaystyle M_ {1}}
M3{\ displaystyle M_ {3}}
M2{\ displaystyle M_ {2}}
M4{\ displaystyle M_ {4}}
PÅ,B,M1{\ displaystyle A, B, M_ {1}}
M2{\ displaystyle M_ {2}}![M_2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5d4dffae5ee0db4cc433e252ee9ed7530e5cf0)
Den firsidede sag straks beviser den generelle sag ved at triangulere en polygon.
Se også
Relaterede artikler
eksterne links
(fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra den
engelske Wikipedia- artikel med titlen
" Japansk sætning for cykliske firkanter " ( se forfatterlisten ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">