Ultrametrisk afstand

I matematik og mere præcist i topologi er en ultrametrisk afstand en afstand d over et sæt E, der tilfredsstiller den ultratriangulære ulighed:

{\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

Et metrisk rum, hvis afstand tilfredsstiller denne egenskab, siges at være ultrametrisk .

Definition og eksempler

Lad E være et sæt ; en ultrametrisk afstand (på E ) kaldes en applikation, der verificerer følgende egenskaber: ${\ displaystyle d: \ mathrm {E} \ times \ mathrm {E} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$

Efternavn	Ejendom
symmetri	${\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathrm {E}, \ d (x, y) = d (y, x)}$
adskillelse	${\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathrm {E}, \ d (x, y) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$
ultratriangulær ulighed	${\ displaystyle \ forall x, y, z \ in \ mathrm {E}, \ d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}$

Under hensyntagen til symmetrien betyder den ultratriangulære ulighed, at i en trekant er længden af hver side mindre end eller lig med den største af længderne på de to andre sider (derfor til summen af disse to længder, hvilket udtrykkes ved l ' trekantet ulighed ).

Trivial afstand

Ethvert sæt kan forsynes med den såkaldte trivielle eller diskrete afstand defineret af:

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x = y \\ 1 & {\ text {si}} x \ neq y \ end {cases}}}

Ulighed

{\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

er sandt, om x er lig med z eller ej. Det er derfor en ultrametrisk afstand.

P - dårlig afstand over sættet ℚ

For et primtal p kan vi definere p -adisk værdiansættelse af ethvert rationelt tal r, der ikke er nul. ${\ displaystyle v_ {p} (r)}$

Vi beviser let, at denne applikation bekræfter

{\ displaystyle v_ {p} (r + r ') \ geq \ inf (v_ {p} (r), v_ {p} (r'))}

{\ displaystyle v_ {p} (- r) = v_ {p} (r).}

Vi definerer derefter p -adisk afstand på ℚ ved:

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x = y \\ p ^ {- v_ {p} (xy)} & {\ text {si}} x \ neq y \ end {cases}}}

Den tidligere egenskab fører let til ultrametrisk ulighed. De to andre kontroller er lette. $v_p$

Det er derfor faktisk en ultrametrisk afstand på ℚ.

Andre eksempler

Lad X være en vilkårlig sæt og E = X ℕ alle suiter med værdier i X . Vi giver E en komplet ultrametrisk rumstruktur ved at posere ${\ displaystyle k (x, y) = \ inf \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid x_ {n} \ neq y_ {n} \}}$ (med andre ord : og hvis , er rangen for det første udtryk, hvor de to sekvenser adskiller sig), så ${\ displaystyle k (x, x) = + \ infty}$ $x \ ne y$ ${\ displaystyle k (x, y)}$ ${\ displaystyle d (x, y) = {\ frac {1} {1 + k (x, y)}}$ eller igen, for en vilkårlig virkelighed : ${\ displaystyle a> 1}$ ${\ displaystyle d_ {a} (x, y) = a ^ {- k (x, y)}}$ ,som er en afstand svarende til . $d$ For X = {0, 1} får vi Cantor-pladsen og for X = ℕ, Baire-rummet .
I genetik kan afstanden mellem genotyper langs grenene af et fylogenetisk træ måles med en ultrametrisk afstand.

Ejendomme

Her er nogle egenskaber ved et ultrametrisk rum, der ser ud til at gå imod intuition.

Der er ingen skærende kugler , i den forstand at hvis to åbne kugler (eller to lukkede kugler ) har et punkt til fælles, så indeholder den ene den anden: ${\ displaystyle B (a, r) \ cap B (a ', r') \ neq \ varnothing {\ text {et}} r \ leq r '\ Rightarrow B (a, r) \ subset B (a ', r')}$ .
Ethvert punkt på en bold er et center: ${\ displaystyle \ forall x \ i B (a, r) \ quad B (x, r) = B (a, r)}$ .
I et metrisk rum er enhver åben kugle åben , enhver lukket kugle er lukket . I et ultrametrisk rum har vi også: Enhver lukket kugle med ikke-nul radius er åben. Enhver åben bold er lukket. Derfor enhver ultra metrizable topologisk rum er på nul dimension og derfor totalt usammenhængende , det vil sige, at dens tilsluttede komponenter er de enkeltfødte .
Når der gives tre punkter, er de to nærmeste i samme afstand fra det tredje, med andre ord: "hver trekant er ligebenet og dens base er højst lig med de lige sider" , som også er skrevet: ${\ displaystyle d (x, y) \ neq d (y, z) \ Rightarrow d (x, z) = \ max (d (x, y), d (y, z))}$ .
For at en efterfølger skal være Cauchy , er det tilstrækkeligt $(x_ {n})$ ${\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {n + 1}) \ til 0.}$

Ansøgning

Lad X være et sæt med en ultrametrisk afstand d , og lad r være et positivt tal. Alle kugler af radius r er defineret på X er en partition af X . Ved at øge r fra 0 danner vi en finhedskæde mellem disse skillevægge, fra den fineste (diskrete skillevæg for r = 0 ) til den mindst fine (universel skillevæg for maksimum r ). Dette er en af baserne for automatisk klassificering efter hierarkisk gruppering .

Se også

Noter og referencer

Denne opfattelse blev introduceret af Marc Krasner , " Semi-reelle tal og ultrametriske rum ", Ugentlige rapporter om sessionerne i Academy of Sciences , vol. 219, nr . 21944, s. 433-435 ( læs online ), Som rapporterer: "De eneste ultrametriske rum, der hidtil betragtes, ser ud til at være kroppen og algebra værdsat " .
Dyadic Modeller, Terence Tao , 27. juli 2007: https://terrytao.wordpress.com/2007/07/27/dyadic-models/
Jean-Luc Verley, metriske rum , i ordbog for matematik; algebra, analyse, geometri , red. Albin Michel, s. 652-653 .
Rettelse af problem 1.b af Jean Dieudonné , Analyseelementer , t. I: Grundlaget for moderne analyse [ detaljer af udgaver ], kap. III, § 14, oversigt over den engelske udgave på Google Books .
Især . ${\ displaystyle d (x, x) = {\ frac {1} {1+ \ infty}} = 0}$
Især . ${\ displaystyle d (x, x) = a ^ {- \ infty} = 0}$
Se for eksempel denne korrigerede øvelse på Wikiversity for deres demonstration .
(i) Emil Artin , algebraiske tal og algebraiske funktioner , AMS ,1967, 349 s. ( ISBN 978-0-8218-4075-7 , læs online ) , s. 44.
IC Lerman, baserne for automatisk klassificering , Gauthier-Villars , 1970.