Helt diskontinuerligt rum

I matematik , mere præcist i topologi , en helt diskontinuerlig rum er et topologisk rum , som er "den mindst tilsluttet muligt" i den forstand, at den ikke har nogen ikke-triviel forbundet del: i ethvert topologisk rum, det tomme sæt og . Enkeltfødte er relaterede; i et totalt diskontinuerligt rum er disse de eneste tilsluttede dele.

Et populært eksempel på et totalt diskontinuerligt rum er Cantorsættet . Et andet eksempel, der er vigtigt i algebraisk talteori , er feltet Q p af p-adiske tal .

Definition

Et topologisk rum X er totalt diskontinuerligt, hvis den tilsluttede komponent i et hvilket som helst punkt x af X er singleton { x }.

Eksempler

Følgende rum er helt diskontinuerlige:

• alle helt separate rum (dvs. hvor to forskellige punkter altid kan adskilles af en åben-lukket ), især
  • alle mellemrum T 0 af dimension nul (derfor regelmæssig ), som:
    • de diskrete rum  ;
    • de ikke - tomme dele af R med tomt indre ;
    • ringen Z p af p -adic heltal , eller mere generelt enhver Profine gruppe  ;
    • den rigtige Sorgenfrey (dette rum er i modsætning til de foregående ikke lokalt kompakt ).
  • følgende to mellemrum (helt separate, men ikke nul-dimensionelle):
    • rum af Erdős af firkantede summerbare suiter af rationel og dets generaliseringer (hvis dimension er 1);
    • Roys espalier frataget sin top.
• den Cantor teepee berøvet sin top (fuldstændig afbrudt, men ikke helt adskilt).

Ejendomme

• Underrum, produktrum og samprodukter af totalt diskontinuerlige rum er totalt diskontinuerlige.
• Et totalt diskontinuerligt rum er altid T 1 , da dets singletoner er lukket.
• Et kontinuerligt billede af et totalt diskontinuerligt rum er ikke nødvendigvis helt diskontinuerligt (for eksempel: enhver målbar kompakt er et kontinuerligt billede af Cantors rum).
• Et lokalt kompakt rum er helt diskontinuerligt, hvis og kun hvis det har nul-dimension.
• Et kompakt rum er helt diskontinuerligt, hvis og kun hvis det er helt adskilt, og hvis og kun hvis det er stenrummet S ( B ) i en boolsk algebra B (punkterne i S ( B ) er ultrafiltrene på B, der ikke indeholder 0 og en åben basis består af { x ∈ S ( B ) | b ∈ x }, for b- element af B ); S ( B ) er ekstremt diskontinuerlig  ( dvs. vedhæftningen af enhver åben er åben), hvis og kun hvis B er komplet  ;
• Ethvert totalt diskontinuerligt metriserbart rum er homomorf til et underrum af et tællbart produkt af diskrete rum.
• For ethvert topologisk rum X er rummet af tilsluttede komponenter i X ”den største” kvotient af X, som er fuldstændig diskontinuerlig, i den forstand at den er initial blandt sådanne kvoter.

Noter og referencer

• (fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen "  Helt frakoblet rum  " ( se listen over forfattere ) .
• (en) Stephen Willard , generel topologi , Dover ,2012( 1 st  ed. 1970), 384  s. ( ISBN  978-0-486-13178-8 , læs online )

1. (en) Lynn Arthur Steen og J. Arthur Seebach, Jr. , modeksempler i topologi , Dover ,1995( 1 st  ed. Springer , 1978) ( læses online ) , s.  32-33.
2. (in) P. Erdős, "  Dimensionen af ​​det rationelle punkt i Hilbert-rummet  " , Ann. Matematik. , 2 nd serier, vol.  41,1940, s.  734-736 ( læs online ).
3. (i) Michel Coornaert, Topologiske Dimension og dynamiske systemer , Springer,2015( DOI  10.1007 / 978-3-319-19794-4 , læs online ) , kap.  5.1.
4. (i) Jan J. Dijkstra, "  Et kriterium for Erdős rum  " , Proc. Edinb. Matematik. Soc. , 2 nd serier, vol.  48, nr .  3,2005, s.  595-601 ( læs online ).
5. Steen og Seebach , modeksempler 127 (Roys gitterunderrum) .
6. (i) Andrew M. Gleason , "  projektive topologiske rum  " , Illinois J. Math. , Vol.  2, n o  4A,1958, s.  482-489 ( læs online ).

Relateret artikel

Helt afbrudt gruppe  (en)