Uniformering sætning

I matematik , specielt i geometri , den standardisering sætning af Poincaré siger, at enhver område optager en Riemannske metrik af krumning konstant. Vi kan overveje, at standardiseringsteoremet om Riemann , idet det hævdes, at enhver simpelthen tilsluttet Riemann-overflade er i overensstemmelse med planen, kuglen eller diskdrevet, er et specielt tilfælde, og geometrization-formodningen om Thurston , demonstreret i 2004 af Grigori Perelman er en generalisering af det.

Poincarés ensartede sætning

I sin mest generelle form angiver Poincarés ensartede sætning, at enhver overflade kan reduceres til en overflade med konstant krumning, eller mere præcist, at:

Sætning  -  Enhver Riemannian-manifold med dimension 2 er i overensstemmelse med en Riemannian-manifold med konstant Gauss-krumning .

Dette resultat blev gradvist opnået af Felix Klein 's arbejde omkring 1880, derefter af Paul Koebe og Henri Poincaré omkring 1900, inden Poincaré gav en generel demonstration i 1907 i sin artikel om standardisering af analytiske funktioner; dette er grunden til, at sætningen undertiden er kendt under navnet Klein-Poincaré-ensartningssætning.

Geometrisk klassificering af overflader

Poincarés sætning tillader følgende klassificering af overflader: enhver overflade er kvotient af en af ​​de følgende tre overflader af en diskret undergruppe af gruppen af ​​isometrier på denne overflade:

  1. den sfære (krumningsradius +1);
  2. det euklidiske plan (krumning 0);
  3. det hyperbolske plan (krumning −1).

Det første tilfælde svarer til overfladerne af positiv Euleriansk karakteristik : topologisk er det kuglen og det virkelige projicerende plan (det projicerende plan er kuglens kvotient af to-element-gruppen dannet af identitet og central symmetri); vi siger, at de tilsvarende målinger er elliptiske .

Det andet tilfælde svarer til følgende overflader: den euklidiske plan , den cylinder , den möbiusbånd , den torus , og Klein bottle (de torus for eksempel svarer til kvotienten af planet af gruppen dannet af to ikke-collinear oversættelser; på samme måde er Möbius-striben kvotienten for planet af gruppen, der genereres af produktet af en oversættelse og en aksesymmetri parallelt med denne oversættelse). For kompakte overflader (topologisk ækvivalent med de sidste to) handler det om dem, der er karakteristiske for Euler. Vi siger, at de tilsvarende målinger er parabolske eller flade .

Det tredje tilfælde svarer til overflader med en negativ Euler-egenskab: faktisk er næsten alle overflader i dette tilfælde, og de siges at have en hyperbolsk metrisk .

For kompakte overflader er denne klassificering i overensstemmelse med Gauss-Bonnet-sætningen , hvilket indebærer, at hvis krumningen er konstant, er tegnet på denne krumning det samme som Euler-karakteristikken.

Endelig er denne klassifikation den samme som den, der bestemmes af værdien af Kodaira-dimensionen  (in) for den tilsvarende komplekse algebraiske kurve.

Klassificering af Riemann overflader

Riemanns uniformeringssætning

Når vi går videre til studiet af Riemann-overflader , er det muligt at udlede en komplet klassifikation: Faktisk på en given orienteret overflade inducerer en Riemannian-metrisk naturligvis en næsten kompleks manifoldstruktur som følger: hvis v er en tangentvektor, definerer vi J ( v ) som vektoren af ​​den samme norm, vinkelret på v , og sådan at basen ( v ,  J ( v )) i det tangentplan er orienteret positivt. Da enhver næsten kompleks struktur på en overflade er integrerbar, omdanner dette den orienterede overflade til en Riemann-overflade. Den foregående klassificering svarer således til en klassificering af Riemann-overflader: enhver Riemann-overflade er kvotient af dens universelle dækning ved den frie, korrekte og holomorfe virkning af en diskret undergruppe, og denne universelle dækning er i sig selv i overensstemmelse med svarende til en af ​​de følgende tre kanoniske domæner :

  1. den Riemann sfære
  2. den komplekse plan
  3. den åbne enheds disk i det komplekse plan.

Dette gør det muligt at klassificere alle Riemann-overflader som elliptiske, parabolske eller hyperbolske afhængigt af, om deres universelle dækning er (henholdsvis) sfæren, planet eller enhedsskiven.

Vi udleder især Riemanns ensartningssætning (historisk opnået uafhængigt af sætningen om konform kortlægning ):

Sætning  -  Enhver Riemann-overflade, der blot er tilsluttet, er i overensstemmelse med et (og kun et) af de tre kanoniske domæner inkluderer: drivenheden åbnet, det komplekse plan og Riemann-sfæren

Eksempler

Grafene nedenfor svarer til standardiseringer af komplementerne til Mandelbrot-sættet og segmentet ( Julia-sæt svarende til ).

I disse tilfælde er det muligt eksplicit at konstruere de holomorfe sammenhænge, ​​hvis eksistens bekræftes af Riemanns sætning: man finder flere detaljer i artiklen Holomorf dynamik .

Forholdet til Ricci-strømmen

Ved at introducere Ricci-strømmen viste Richard S. Hamilton , at denne strømning på en kompakt overflade uniformerer metricen, det vil sige, at den konvergerer mod en metric med konstant krumning. Imidlertid var hans bevis baseret på uniformeringssætningen. I 2006 blev der opdaget et uafhængigt bevis for denne konvergens, som gør det muligt at demonstrere ensartningssætningen på denne måde.

Varianter af dimension 3

I dimension 3 er der ligeledes otte geometrier, kaldet Thurston-geometrier . Du kan sætte en af disse geometrier på enhver 3-manifold , men geometrization formodninger af Thurston siger, at enhver lukket 3-manifold kan være skåret i stykker géométrisables; denne formodning blev demonstreret i 2004 af Grigori Perelman .

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen "  Uniformization theorem  " ( se listen over forfattere ) .
  1. Den poincaréformodningen , hvis bevis gjorde Perelman berømt, er i virkeligheden kun et specielt tilfælde af Thurston formodninger
  2. Henri Poincaré , "Om standardisering af analytiske funktioner", i Acta Math. , flyvning. 31, 1907, s.  1-64  ; læse online
  3. (i) Kevin Timothy Chan, ensretning af Riemann overflader , Speciale fra Harvard Matematik Department, April 5, 2004
  4. (i) Xiuxiong Chen, Lu Peng og Gang Tian , "A note on uniformization of Riemann overflades by Ricci flow", i Proceedings of the AMS , bind. 134, 2006, s.  3391-3393

Se også

Relaterede artikler

eksterne links