Afgrænse algebraisk sort
I algebraisk geometri er en affin manifold en lokal model for algebraiske manifold , det vil sige, de opnås ved limning af affine manifolds. Groft, en affin sort er en affin algebraisk sæt X med en yderligere algebraisk struktur, som er dataene af ringen af almindelige funktioner på hver åbningsdel af X .
Oprindelse
Analytiske og algebraiske synspunkter
Den enkleste synspunkt at beskrive en affin algebraisk sort er det sæt af opløsninger af et system af polynomielle ligninger med koefficienter i en kommutativ felt K . Med andre ord, en affin manifold er en delmængde af K n hvis punkter ophæve polynomier P 1 , ..., P r af K [X 1 , ..., X n ]. Algebraisk geometri tilbyder en rent algebraisk vision af dette begreb affin manifold ved følgende ækvivalens:
{P1(x1,...,xikke)=0⋮Pr(x1,...,xikke)=0≡Spm K[x1,...,xikke](P1,...,Pr){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} P_ {1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = 0 \\\ vdots \\ P_ {r} (x_ {1 }, \ dots, x_ {n}) = 0 \ end {array}} \ right. \ quad \ equiv \ quad {\ text {Spm}} {\ frac {K [X_ {1}, \ dots, X_ { n}]} {\ sqrt {(P_ {1}, \ prikker, P_ {r})}}}
med Spm det maksimale spektrum (dvs. sæt af maksimale idealer), det ideal, der genereres af og √ radikalet for et ideal .
(P1,...,Pr){\ displaystyle (P_ {1}, \ prikker, P_ {r})}
Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}![P_i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba1396129f7be3c7f828a571b6649e6807d10d3)
Synspunktet til venstre siges at være analytisk og det til højre algebraisk . I det algebraiske synspunkt håndterer vi ikke længere punkter på K n, men polynomer med ubestemt n .
Eksempler
- Sættet er en affin algebraisk variation (sted for annullering af nul polynom), det svarer til Spm K [X 1 , ..., X n ] heltal.Kikke{\ displaystyle K ^ {n}}
![K ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d63366b3d00300e06eee81786182062b98775c5)
- Cirklen x² + y² = 1 i ² er en affin sort, ligesom keglerne.
Forklaring til korrespondance ≡
Vi betegner ved A = K [X 1 , ..., X n ] / √ (P 1 , ..., P r ) kvotienten K- algebra, der tjener til at definere affin manifolden.
Denne kvotient gør det muligt at skrive P i (X 1 , ..., X n ) = 0 ved at erstatte det lille x j ∈ K af store ubestemt X j . Vi kan derfor formelt udføre de samme beregninger på X j som på x j .
Den ideelle radikale tillader forenklinger af formen
Q(x1,...,xikke)m=0⇒Q(x1,...,xikke)=0{\ displaystyle Q (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) ^ {m} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad Q (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) = 0}![{\ displaystyle Q (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) ^ {m} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad Q (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7220495940d1e2aec8d5a36fe4b04ed6afa0837c)
med Q et polynomium og m positivt heltal, ligesom hvad der ville ske i at arbejde med små x j ∈ K . Med andre ord er A en reduceret K - algebra i den forstand, at dens eneste nilpotente element er 0.
Operationen Spm anvendes til ekstrakt fra A et sæt, at vi ønsker at identificere sig med Z (P 1 , ..., P r ) ⊂ K n , skæringspunktet af nuller af hele P i , c ', der er, sort ud fra et analytisk synspunkt. Vi har faktisk følgende kanoniske injektion
ϕ:Z(P1,...,Pr)→Spm (K[x1,...,xikke]/(P1,...,Pr))(på1,...,påikke)↦π((x1-på1,...,xikke-påikke)){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ phi: Z (P_ {1}, \ prikker, P_ {r}) & \ til & {\ tekst {Spm}} (K [X_ {1}, \ prikker, X_ {n}] / {\ sqrt {(P_ {1}, \ prikker, P_ {r})}}) \\ (a_ {1}, \ prikker, a_ {n}) & \ mapsto & \ pi (\, (X_ {1} -a_ {1}, \ dots, X_ {n} -a_ {n}) \,) \ end {array}}}![{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ phi: Z (P_ {1}, \ prikker, P_ {r}) & \ til & {\ tekst {Spm}} (K [X_ {1}, \ prikker, X_ {n}] / {\ sqrt {(P_ {1}, \ prikker, P_ {r})}}) \\ (a_ {1}, \ prikker, a_ {n}) & \ mapsto & \ pi (\, (X_ {1} -a_ {1}, \ dots, X_ {n} -a_ {n}) \,) \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b30dce651361816cfb59163b69af32b7cce542b)
med π den kanoniske fremspring i kvotientringen. Hvis feltet K desuden er algebraisk lukket , viser Nullstellensatz , at denne injektion er en sammenhæng. Når K ikke er algebraisk lukket, er kortet generelt ikke længere spekulativt. For eksempel kan det venstre medlem være tomt uden det rigtige.
π{\ displaystyle \ pi}![\ pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
Oplysninger om den affine sorten er kodet i integriteten af A . Overvej især den reelle affine manifold ( x -1) ( x -2) = 0. Ved integritet i de reelle tal udleder vi straks, at x = 1 eller x = 2, hvilket betyder, at manifolden har 2 point. Vi kontrollerer, at Spm A også har 2 point, som det skal. På den anden side kan vi hverken skrive X = 1 eller X = 2 i polynomierne, fordi hver ville reducere sorten til 1 point, A er derfor ikke integreret her. Det sker, at en affin manifold er lavet af et enkelt stykke, hvis og kun hvis dens kvotientalgebra A er integreret, dvs. √ (P 1 , ..., P r ) er et primært ideal . Vi siger i dette tilfælde, at sorten er irreducerbar .
Endelig bemærker vi, at A er en K - algebra af begrænset type ; resten af denne artikel er derfor viet til strukturen for de maksimale spektre af disse algebraer. Vi ser, at dette er lokalt ringede topologiske rum.
Vi definerer nu en affin algebraisk manifold som Spm A , med A en K- algebra af endelig type. En affin manifold er derefter naturligt udstyret med Zariski topologien . Her betragter vi kun det maksimale spektrum og ikke det samlede primærspektrum ; Der er derfor ingen generiske point og de affine mangfoldigheder tilfredsstille adskillelse aksiom T 1 , i stedet for T 0 .
Med Zariskis topologi har vi en god definition af dimensionen, Krull-dimensionen, der falder sammen med intuitionen i enkle tilfælde.
Regelmæssige funktioner bundt
Når er algebraisk lukket og er reduceret , ethvert element af kan identificere med en ansøgning , som et hvilket som maksimal ideal associerer klassen af i . Hvornår er dette kort ingen ringere end det polynomiske kort, der er forbundet med hvornår , identificeres med Hilberts nul-sætning.
k{\ displaystyle k}
PÅ{\ displaystyle A}
f{\ displaystyle f}
PÅ{\ displaystyle A}
Ssm(PÅ)→k{\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A) \ til k}
m{\ displaystyle m}
f{\ displaystyle f}
PÅ/m=k{\ displaystyle A / m = k}
PÅ=k[x1,...,xikke]{\ displaystyle A = k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}
f{\ displaystyle f}
Ssm(PÅ){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
kikke{\ displaystyle k ^ {n}}![k ^ n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d0ca5fd176db2867ec07a961a31f17bc6fb07e)
I analogi kaldes i almindelighed ( vilkårlig og ikke nødvendigvis reduceret) elementerne for regulære funktioner på (i modsætning til rationelle funktioner, som kan have poler). Og da lokalisering har det maksimale spektrum , er det naturligt at kalde elementerne i regelmæssige funktioner på åbent .
k{\ displaystyle k}
PÅ{\ displaystyle A}
PÅ{\ displaystyle A}
Ssm(PÅ){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
PÅf{\ displaystyle A_ {f}}
D(f){\ displaystyle D (f)}
PÅf{\ displaystyle A_ {f}}
D(f){\ displaystyle D (f)}![D (f)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5afbbd0e5cc5450dff4f0de2006936c4bc3acc)
For at definere de almindelige funktioner på alle åbne af , har vi brug for begrebet skiver på .
Ssm(PÅ){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
Ssm(PÅ){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}![{\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5080fd8aa71ccbceee89fcebfed4f3cfec775334)
Proposition - Lad være det topologiske rum . Op til isomorfi, der er en enkelt bundt kommutativ ring på hvilken ringen af afsnittene på enhver vigtigste åbne er identificeret med den lokaliserede ring . For enhver maksimal ideal af , ringen af bakterier regelmæssige funktioner da (set som et punkt i ) identificeres med den lokaliserede af en .
x{\ displaystyle X}
Ssm(PÅ){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
Ox{\ displaystyle O_ {X}}
x{\ displaystyle X}
D(f){\ displaystyle D (f)}
PÅf{\ displaystyle A_ {f}}
m{\ displaystyle m}
PÅ{\ displaystyle A}
m{\ displaystyle m}
x{\ displaystyle X}
PÅm{\ displaystyle A_ {m}}
PÅ{\ displaystyle A}
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
For alt åbent kaldes elementerne for almindelige funktioner til . Parret er et lokalt ringet rum . Og bjælken kaldes den strukturelle bjælke af .
U{\ displaystyle U}
Ox(U){\ displaystyle O_ {X} (U)}
U{\ displaystyle U}
x,Ox{\ displaystyle X, O_ {X}}
Ox{\ displaystyle O_ {X}}
(x,Ox){\ displaystyle (X, O_ {X})}![(X, O_X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acfbd4d1b273c000d677befd7530789c05fc808a)
Eksempler
- Hvis og hvis er et åbent, åbent hovedmøde , hvor er der en gcd af . Vær opmærksom på det generelt.x=Ssm(k[x1,...,xikke]){\ displaystyle X = {\ rm {Spm}} (k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}])}
U{\ displaystyle U}
D(f1),...,D(fm){\ displaystyle D (f_ {1}), \ ldots, D (f_ {m})}
Ox(U)=k[x1,...,xikke]f{\ displaystyle O_ {X} (U) = k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] _ {f}}
f{\ displaystyle f}
fjeg{\ displaystyle f_ {i}}
U≠D(f){\ displaystyle U \ neq D (f)}![{\ displaystyle U \ neq D (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2041aa940623b326849dac74e6e9ff114375b9)
- Antag, at der integreres af brøkfelter . Så enhver lokalisering af er kanonisk nedsænket i . De regelmæssige funktioner på en åben er derefter brøkene således, at for enhver hovedåbning, der er indeholdt i , kan skrives i form af et og et naturligt heltal . Som aldrig forsvinder i (dvs. ikke hører til noget maksimalt ideal i ), er en rationel brøkdel uden pol i en vis forstand.PÅ{\ displaystyle A}
K{\ displaystyle K}
PÅ{\ displaystyle A}
K{\ displaystyle K}
U{\ displaystyle U}
a{\ displaystyle \ alpha}
D(f){\ displaystyle D (f)}
U{\ displaystyle U}
a{\ displaystyle \ alpha}
g/fikke{\ displaystyle g / f ^ {n}}
g∈PÅ{\ displaystyle g \ i A}
ikke{\ displaystyle n}
f{\ displaystyle f}
D(f){\ displaystyle D (f)}
f{\ displaystyle f}
D(f)⊆Ssm(PÅ){\ displaystyle D (f) \ subseteq {\ rm {Spm}} (A)}
a{\ displaystyle \ alpha}
U{\ displaystyle U}![U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
Hvis er en morphism af -algebraer, der inducerer en kontinuerlig kort , så har vi en morphism af lokalt ringmærkede rum , hvis underliggende kontinuerlig kortet er , og ringen morphism er .
ϕ:PÅ→B{\ displaystyle \ phi: A \ til B}
k{\ displaystyle k}
f:Y=Ssm(B)→x=Ssm(PÅ){\ displaystyle f: Y = {\ rm {Spm}} (B) \ til X = {\ rm {Spm}} (A)}
(x,Ox)→(Y,OY){\ displaystyle (X, O_ {X}) \ til (Y, O_ {Y})}
f{\ displaystyle f}
B=OY(Y)→PÅ=Ox(x){\ displaystyle B = O_ {Y} (Y) \ til A = O_ {X} (X)}
ϕ{\ displaystyle \ phi}![\ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
Formel definition
En (algebraisk) sort, der er affineret over et felt, er et lokalt ringet rum af formen, hvor er det maksimale spektrum af en - endelig type algebra udstyret med Zariski topologi, og hvor er skoven med regelmæssige funktioner . Hvis der ikke er nogen mulig forvirring, bemærkes den affine sort simpelthen .
k{\ displaystyle k}
(x,Ox){\ displaystyle (X, O_ {X})}
x{\ displaystyle X}
k{\ displaystyle k}
PÅ{\ displaystyle A}
Ox{\ displaystyle O_ {X}}
x{\ displaystyle X}
(x,Ox){\ displaystyle (X, O_ {X})}
x{\ displaystyle X}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
En morfisme af affine manifolds er en morfisme af lokalt ringede rum .
x→Y{\ displaystyle X \ til Y}
(x,Ox)→(Y,OY){\ displaystyle (X, O_ {X}) \ til (Y, O_ {Y})}![{\ displaystyle (X, O_ {X}) \ til (Y, O_ {Y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91605e154e94d0b49eac092e6906f381f3f4cd6)
Eksempel Affin manifold kaldes det affine rum for dimension over .
Ssm(k[x1,...,xikke]){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}])}
ikke{\ displaystyle n}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Første egenskaber
- En morfisme af affine manifolds bestemmes entydigt af en morfisme af -algebras, og morfismen er den, der er forbundet med som ovenfor. Således en morfismef:Ssm(B)→Ssm(PÅ){\ displaystyle f: {\ rm {Spm}} (B) \ til {\ rm {Spm}} (A)}
k{\ displaystyle k}
ϕ:PÅ→B{\ displaystyle \ phi: A \ til B}
f{\ displaystyle f}
ϕ{\ displaystyle \ phi}![\ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
Ssm(k[x1,...,xikke]/jeg)→Ssm(k[Y1,...,Ym]/J){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I) \ til {\ rm {Spm}} (k [Y_ {1}, \ ldots, Y_ {m}] / J)}
er altid givet af en morfisme af -algebras sådan, at . På det indstillede plan (hvis det er algebraisk lukket) sender morfismen et punkt videre , hvor . Det er et polynomisk kort.
k{\ displaystyle k}
ψ:k[Y1,...,Ym]→k[x1,...,xikke]{\ displaystyle \ psi: k [Y_ {1}, \ ldots, Y_ {m}] \ to k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}
ψ(J)⊆jeg{\ displaystyle \ psi (J) \ subseteq I}
k{\ displaystyle k}
(x1,...,xikke)∈Z(jeg){\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ i Z (I)}
(P1(x1,...,xikke),...,Pm(x1,...,xikke)){\ displaystyle (P_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \ ldots, P_ {m} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}))}
Pjeg(x1,...,xikke)=ψ(Yjeg){\ displaystyle P_ {i} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = \ psi (Y_ {i})}![{\ displaystyle P_ {i} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = \ psi (Y_ {i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00acc4e9cebc6d1c2151c4bdd4bd5120acd15ed)
- Enhver lukket undervariant af en affin sort er en raffineret sort for et ideal .Ssm(PÅ){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
Ssm(PÅ/jeg){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A / I)}
jeg{\ displaystyle I}![jeg](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
- For alt er affin manifolden en åben undervariant, hvis underliggende rum er .f∈PÅ{\ displaystyle f \ i A}
Ssm(PÅf){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A_ {f})}
Ssm(PÅ){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
D(f){\ displaystyle D (f)}![D (f)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5afbbd0e5cc5450dff4f0de2006936c4bc3acc)
- Generelt er der åbne undervarianter, der er affine , der ikke har formen , og der er åbne undervarianter, der ikke er affine.Ssm(PÅ){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
Ssm(PÅf){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A_ {f})}![{\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A_ {f})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd750202c10b66cd81475d0d5e115f8a410635bf)
Da polynomer formelt er afledte (og deres derivater er polynomer), kan vi algebraisere en del af beregningerne af differentiel geometri . Det er især muligt at udføre lineære beregninger på et algebraisk manifold Spm A ved hvert af dets punkter m ved at konstruere et tangent- og cotangentvektorrum der. Disse vektorrum opnås fra den lokaliserede ring A m .
Reference
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">