Faktorring

I matematik er en faktorring et specielt tilfælde af en integreret ring . Ligesom heltal er der en ækvivalent med den grundlæggende sætning af aritmetik for en sådan struktur. Ethvert element i en faktorring brydes ned i et produkt af et inverterbart element og irreducerbare elementer , hvor denne nedbrydning er unik bortset fra inverterbare elementer. For eksempel i Z , ringen med relative heltal , -2 er irreducerbar.

Eksempler på en faktorring er ikke ualmindelig. Enhver hovedring (det vil sige integreres, og hvor ethvert ideal er principiel ) er faktoriel. Det omvendte er ikke sandt. Således er en ring af polynomer med koefficienter i en faktorring k altid også faktoriel, men er kun principiel, hvis ringen k er et felt . I denne forstand generaliserer begrebet faktorring begrebet hovedring. Det kan igen generaliseres ved at opgive unikke hypotesen om nedbrydning til et produkt af irreducerbare faktorer. Vi opnår således den større klasse af atomringe .

Nogle sædvanlige resultater af elementær aritmetik gælder for en faktorring. Således lemma af Euclid er markeret, og det er muligt at definere en største fælles divisor og mindste fælles multiplum fordel næsten sædvanlige egenskaber Z .

Definitioner

I hele dette afsnit betegner A en integreret ring . Den enheder gruppe består af elementer, som har en invers i A .

Begrebet faktorring er baseret på tre definitioner:

et element af A siges at være irreducerbart, hvis det hverken er inverterbart eller produkt af to ikke-invertible elementer;
to ikke-nul- elementer a og b af A siges at være associerede, hvis der findes et inverterbart element u, således at a = ub (denne relation er en ækvivalensrelation );
et element p af A siges at være primært, hvis det ikke er nul og ikke-inverterbart og tilfredsstiller Euclids lemma , dvs. hvis for et produkt ab, som er multipel af p , er a eller b multiplum af p .

Den mest almindelige definition af en faktorring er:

A siges at være faktorielt, hvis den opfylder følgende to egenskaber:

For ethvert ikke-nul og ikke-inverterbart element a af A findes der en endelig sekvens p 1 , ..., p n af irreducerbare elementer af A, hvoraf a er produktet:

a = p_ {1} \ cdots p_ {n} \;

Hvis vi for et sådant element a har to sådanne sekvenser p 1 ,…, p n og q 1 ,…, q m , så er m = n, og der findes en permutation σ af sættet {1,…, n } som såvel som inverterbare elementer u 1 ,…, u n således at p i = u i q σ ( i ) for alle i (nedbrydningen af a er unik ned til rækkefølgen af faktorer og op til associering).

Det er denne definition, der bruges i det følgende, men vi vil takket være de første egenskaber nedenfor se , at den svarer til en enklere definition:

A siges at være faktorielt, hvis ethvert ikke-nul og ikke-inverterbart element i A er et produkt af primære elementer.

Eksempel: Ringen Z for relative heltal er faktisk. Dens inverterbare elementer er –1 og 1, så to ikke-nul heltal er associeret, når de er lige eller modsatte. Dets irreducerbare elementer er helt tal først og deres modsætninger. Ethvert ikke-nul element af Z nedbrydes til et produkt af irreducerbare elementer. F.eks. Nedbrydes –28 til (–2) .2.7. Man kunne også nedbryde den for eksempel i (–7) .2.2, men denne sidste nedbrydning betragtes som den samme som den første, fordi den udledes af den ved at tillade faktorerne og ved at multiplicere dem med invertibler.

Nogle ringe har særlige irreducerbare elementer, så et irreducerbart og positivt element i Z kaldes et primtal. I K [ X ] (hvis K er et felt) er de bestemte elementer de enheds irreducerbare polynomer , det vil sige hvis koefficient for det dominerende monomial er lig med 1. Hver ækvivalensklasse indeholder et unikt irreducerbart element. Denne tilgang gør det muligt at normalisere nedbrydningen til irreducerbare faktorer, så det unikke er absolut og ikke længere bare op til permutation og associering.

Det er altid muligt at etablere en standardisering af denne art. Det er tilstrækkeligt at definere en familie ( p i ), i irreduktible elementer, således at hvis jeg er forskellig fra j derefter p jeg ikke forbundet med p j og enhver ureducerbart element er forbundet med en p i . Den udvalgsaksiomet viser, at det altid er muligt at finde en maksimal familie af irreducible elementer to og to som ikke er forbundet: vi tager en repræsentant pr klasse af sammenslutning af irreducible elementer. Denne standardisering bruges i resten af artiklen: det er ikke nødvendigt, men gør det muligt at lette udsagnene. En ikke-nul element en af en faktoriel ring er således skrives på en unik måde:

a = u \ prod _ {{i \ in I}} p_ {i} ^ {{v _ {{p_ {i}}} (a)}} ~,

hvor u er et inverterbart element. Funktionen v p i , fra A til sæt N af naturlige heltal, kaldes en p -adisk værdiansættelse . Værdien v p i ( a ) kaldes også rækkefølgen af mangfoldigheden af p i i et .

I den resterende del af artiklen betegner A en faktorring og ( p i ) en sådan familie af irreducerbare elementer (medmindre andet udtrykkeligt er angivet).

Motivering

Den aritmetiske i ringen af relative heltal tillader beviset for mange teoremer. Demonstrationer bruger det faktum, at denne ring er euklidisk og derfor principiel. På den anden side er mange ringe ikke for eksempel polynomer med koefficienter i relative heltal eller endda polynomer i flere ubestemte på et kommutativt felt.

Dette sidste eksempel er vigtigt: algebraiske manifolder defineres som rødderne til et ideal af polynomer med flere variabler. Således er den virkelige sfære defineret som de fælles rødder af polynomer med tre ubestemte multipla af X 2 + Y 2 + Z 2 - 1. Ringen af polynomfunktioner defineret på sfæren er hverken euklidisk eller endda principiel. På den anden side er det faktisk.

På en faktorring forbliver nogle grundlæggende sætninger af hovedringene sande. Således forbliver Euclids lemma, egenskaberne for de mindste fælles multipler og af de største fælles skillevægge eller endda den grundlæggende sætning for aritmetik gyldig (sidstnævnte bekræftes pr. Definition).

Ikke alle gælder længere, så et primært ideal er ikke altid maksimalt. I Z [ X ], ringen af polynomer med koefficienter i ringen Z for relative heltal, den ideelle 2 Z [ X ] er ikke maksimal, og Z [ X ] / 2 Z [ X ] er ikke et felt, fordi klassen X er ikke inverterbar. Den identitet Bezout er ikke altid rigtigt: i Z [ X ], punkt 2 og X har ingen fælles faktor, men den ideelle genereret med 2 og X er ikke hele ringen. Faktisk er en faktorring, hvor Bézouts identitet er tilfreds , en hovedring.

Eksempler og modeksempler

Z- ringen er et simpelt eksempel på en faktorring. Et andet eksempel er Z [i] -ringen af Gaussiske heltal : de komplekser, der er skrevet i form a + i b, hvor a og b er relative heltal.
Hvis K er et felt, er ringen K [ X ] af polynomer med koefficienter i K faktisk. Mere generelt, så snart A er faktorielt, er det det samme for A [ X 1 ,…, X n ].
Vi beviser, at enhver hovedring (endnu mere enhver euklidisk ring ) også er en faktor.
En ikke-faktoriel (skønt den er helt lukket ) kvadratisk heltal er Z [i √ 5 ]. For eksempel nedbrydes 6 både i 2 x 3 og i (1 + i √ 5 ) x (1 - i √ 5 ).
Blandt Z [ζ] hvor ζ er en rod af enhed , er kun tredive faktorielle . For eksempel er Z [ $e i2π / n$ ] faktor for 1 ≤ n ≤ 22, men ikke for n = 23. For at finde en meget generel løsning på denne vanskelighed skaber Ernst Kummer ideelle tal , nu formaliseret af Richard Dedekinds arbejde gennem konceptet med Dedekind-ringen .
Alle sub-ring strengt mellem Z og Z [ $e i2π / 3$ ] er ikke-factorial (fordi ikke helt lukket). En berømt modeksempel er underringen Z [i √ 3 ], hvor 4 har to forskellige nedbrydninger: 4 = 2 × 2 = (1 + i √ 3 ) (1 - i √ 3 ). Vi har stærkt mistanke om, at Leonhard Euler implicit påberåbte sig Z [i √ 3 ] for et vigtigt og ubegrundet argument for hans bevis for Fermats sidste sætning i sagen n = 3 ( Algebra 1770).
En "geometrisk" modeksempel er kvoten af K [ X , Y , Z ] ved det ideal, der genereres af X 2 - YZ . Lad p være anvendelsen af passage til kvotienten; p ( X 2 ) indrømmer to forskellige nedbrydninger i irreducerbare faktorer: vi har p ( X 2 ) = p ( X ) p ( X ) men også p ( X 2 ) = p ( Y ) p ( Z ).
En lignende modeksempel er ringen af trigonometriske polynomer , hvor sin 2 = (1 + cos) (1 - cos). Det er isomorft til kvotienten af K [ X , Y ] ved det ideal, der genereres af X 2 + Y 2 - 1 = Y 2 - (1 + X ) (1– X ) eller igen, til kvotienten i den foregående modeksempel ved det ideal, der genereres af p ( Y + Z - 2).
Et mere anekdotisk modeksempel er Z / 4 Z- ringen : ethvert ikke-nul og ikke-inverterbart element skrives der på en unik måde (bortset fra en tilknytning) som et produkt af irreducerbare elementer, men Z / 4 Z n 'er ikke faktorielt på grund af manglende integritet.

Ejendomme

Første egenskaber

Enhver faktorring er en GCD-ring .
Se det næste afsnit for flere detaljer. En sådan ring tilfredsstiller Gauss's lemma . Derfor :
- I en faktorring er ethvert irreducerbart element prime.
- Enhver faktorring A er helt lukket.
  Med andre ord, de eneste elementer i kroppen af fraktionerne , der er hele tal af A (dvs. rødderne af en monic polynomium med koefficienter i A ) er de elementer af A .

En integreret ring er faktisk, hvis og kun hvis den opfylder følgende to egenskaber:

(1) Enhver stigende sekvens af hovedidealer er stationær. (2) Hvert irreducerbart element er prime. Demonstration

Hvis A opfylder de to egenskaber (1) og (2), er det faktisk: se for eksempel Antoine Chambert-Loir , " Commutative algebra " , University of Rennes 1 ,2005, s. 66-68 eller afsnittet ”Faktoritet af A , primær nedbrydning” i lektionen om ringe på Wikiversity .
Hvis ringen er faktoriel, så tilfredsstiller den egenskaberne (1) og (2):
Lad σ være funktionen af A \ {0} i sæt N af naturlige heltal, som til en associerer antallet af ikke-invertible faktorer i nedbrydningen ind i irreducerbare faktorer af a . Det unikke ved nedbrydningen i en faktorring viser, at funktionen σ er veldefineret.
Enten en og b to ikke-nul elementerne i A . Dekompositionens entydighed viser også, at σ ( ab ) = σ ( a ) + σ ( b ). Så hvis c strengt deler a , så er σ ( a ) strengt større end σ ( c ).
- Enhver stigende sekvens af hovedidealer er stationær:
  Lad ( a n A ) være en stigende sekvens af hovedidealer. Hvis sekvensen ( a n ) er konstant lig med 0, er sekvensen stationær. Ellers skal du antage, at et 0 ikke er nul , selvom det betyder at indeksere sekvensen igen . At sige, at idealet a n +1 A strengt indeholder idealet a n A betyder, at et n +1 strengt deler et n . Dette kan kun ske for et endeligt antal (mindre end eller lig med σ ( a 0 )) af heltal n , hvilket viser, at sekvensen er konstant fra en bestemt rang, det vil sige stationær.
- Hvert irreducerbart element er prime:
  Dette er Euclids lemma.

Vi udleder for eksempel:

Hver store ring er fakultetsværdien.

Derudover demonstrerer vi i artiklen " Hovedring ":

Enhver factorial Dedekind-ring er principiel .

Fælles skillevæg og multipel

Lad ( en n ) en familie af ikke-nul elementer af A .

Den største fælles skillevæg af disse elementer er blandt skillerne, der er fælles for en n , den, der er multipel af alle de andre. Det er unikt bortset fra produktet af en invertibel: Det er produktet af alle irreducibles p i stede i nedbrydning i irreduktible faktorer af hver en n , hver tildelt en eksponent lig med den mindste af sine ordrer af mangfoldigheden i en n .
Det mindst almindelige multiplum af et n er blandt de multipler, der er fælles (hvis nogen) for disse elementer, det, der er skilleværdien for alle de andre. Det er unikt bortset produkt ved en invertibel hvis den eksisterer (hvilket altid er tilfældet, hvis sættet af en n er endelig): Det er produktet af faktorer p i stede i nedbrydning i irreduktible faktorer minus en af en n , hver tildelt en eksponent svarende til den største af dens mangfoldighedsordrer i a n .
Den a n siges at være prime indbyrdes , eller prime indbyrdes som helhed , hvis deres største fælles divisor lig med 1. De siges at være prime indbyrdes to og to , hvis for ethvert par { m , n } af indekser, en m og en n er indbyrdes primiske.

Disse definitioner generaliserer forestillingerne om mindst fælles multipel og største fælles skiller . I denne sammenhæng gælder nogle af de egenskaber, der gælder for en hovedring, stadig, andre ikke. Den delvise rækkefølge, der anvendes her (eller mere præcist: delvis forudbestilling ) er delbarhed: a er mindre end b, hvis det er en skillevægge af b . Det udtrykkes i form af idealer ved den omvendte rækkefølge af inklusion: a er mindre end b, hvis det ideal, der genereres af a, indeholder det ideal, der genereres af b .

Lad ( en n ) en familie af ikke-nul elementerne i A og en , b to ikke-nul elementer af A .

Der findes et inverterbart element u sådan, at ${\ text {pgcd}} (ba_ {n}) = u ~ b ~ {\ text {pgcd}} (a_ {n}).$
Hvis familien ( a n ) er endelig, eksisterer der et inverterbart element u sådan, at ${\ text {ppcm}} (ba_ {n}) = u ~ b ~ {\ text {ppcm}} (a_ {n}).$
Hvis familien ( a n ) er endelig, og hvis a n er coprime mellem dem to og to, eksisterer der et inverterbart element u sådan, at ${\ text {ppcm}} (a_ {n}) = u ~ \ prod _ {n} a_ {n}.$
Der findes et inverterbart element u sådan, at $ab = u ~ {\ text {ppcm}} (a, b) ~ {\ text {pgcd}} (a, b).$
Det mindste hovedideal, der indeholder alt a n, er det ideal, der genereres af den største fælles skiller af a n .

Faktisk er det tilstrækkeligt at bemærke, at et hovedideal, genereret af et element d , indeholder alt a n hvis og kun hvis d deler alle a n , det vil sige deler deres største fælles skiller, ellers siger hvis dette ideal indeholder det genereret af den største fælles skiller. Dette mindste principal ideal som indeholder alle de en n indeholder det ideelle genereret af familien, men når sidstnævnte ikke principal, optagelsen er strenge. Således i Z [ X ] er det ideal, der genereres af 2 og X, sæt af polynomer, hvis konstante sigt er jævnt, men det mindste hovedideal, der indeholder det, er hele ringen. I en hovedring er de to idealer ens. Dette resultat er kendt som Bachet-Bézout-sætningen .

Hvis a n indrømmer et mindst fælles multiplum, er skæringspunktet mellem idealerne genereret af a n det vigtigste ideal, der genereres af dette mindst almindelige multiple.
Hvis R betegner ækvivalensrelationen forenings- defineret i ”Definitioner” afsnit og A * sættet af ikke-nul elementer af ringen, så kvotienten sæt A * / R af associerings- klasser, der følger med GCD og ppcm operatører , danne et gitter .

Ringe af polynomer

De polynomium ringe repræsenterer den første historiske motivation for de faktorielle ringe. Hvis koefficienterne vælges i et kommutativt felt, har ringen en euklidisk division , ellers vises en anden aritmetik . I 1801 offentliggjorde Carl Friedrich Gauss en afhandling i starten, hvor han viste en ejendom, i dag kaldet Gauss 'lemma om polynomer , hvilket er det specielle tilfælde for ringen Z i nedenstående lemma om "indhold".

I dette afsnit betegner A en faktorring og K dens brøkfelt . Det er nyttigt at studere polynomer med koefficienter i A at forklare to definitioner:

Et polynom P af A [ X ] siges at være primitivt, hvis de eneste elementer i A, der deler alle koefficienterne af P på samme tid, er de invertible, med andre ord hvis P ikke kan deles med et konstant ikke-invertibelt polynom .
Det indhold af et polynomium P ikke-nul-koefficienter i K er et element et af K således at der er et primitivt polynomium Q af A [ X ], således at aQ er lig med P . I denne artikel betegner vi indholdet af P ved fortsat ( P ) :

P = {\ text {cont}} (P) Q, \ quad {\ text {cont}} (P) \ i K, \ quad Q \ i A [X], \ quad Q \ {\ text {primitive} }.

Blandt følgende egenskaber giver de to første betydning for denne definition af indhold:

Ethvert ikke-nul polynom med koefficienter i A (resp. K) har et indhold, der hører til A (resp. K).
Indholdet af et polynom er unikt op til produktet af et inverterbart element af A.
Lad P og Q være to ikke-nul polynomer med koefficienter i K, følgende ligestilling er verificeret, bortset fra produktet af et inverterbart element i A: ${\ text {cont}} (PQ) = {\ text {cont}} (P) {\ text {cont}} (Q).$

Følgende resultat er kendt som det Gaussiske lemma i det tilfælde, hvor A er ringen ℤ af relative heltal:

Et ikke-konstant polynom med koefficienter i A er irreducerbart i A [ X ], hvis og kun hvis det er primitivt i A [ X ] og irreducerbart i K [ X ].

Vi udleder følgende resultat:

For hvert naturlige tal n er ringen af ubestemte n polynomer A [ X 1 ,…, X n ] faktisk.

Demonstrationer

Ethvert ikke-nul polynom P med koefficienter i A (resp. K ) har et indhold, der hører til A (resp. K ):
Hvis P har koefficienter i A , er det tilstrækkeligt at indstille cont ( P ) = gcd af dets koefficienter: kvotienten af P ved dette element af A vil være ret primitiv. Hvis nu koefficienterne for P kun er i K , dvs. er fraktioner af grundstoffer af A , vender vi tilbage til det forrige tilfælde ved at reducere disse fraktioner til en fællesnævner b (for eksempel produktet af deres respektive nævnere): P skrives R / b med b ikke-nul element af A og R polynom med koefficienter i A , som begyndelsen på ræsonnementet gælder for. Fra R = fortsat ( R ) Q med primitiv Q udleder vi således P = (forts. ( R ) / b ) Q , som viser propositionen.
Indholdet af et ikke-nul polynom er unikt bortset fra produktet af et inverterbart element i A :
Hvis P har koefficienter i A , kan dets indhold kun være gcd for dets koefficienter. Det bestemmes derfor på en unik måde op til produktet af en inverterbar. Hvis nu P = R / b med de samme notationer som før, udleder vi fra P = fortsat ( P ) Q R = b. Kont ( P ) Q derfor fortsætter ( R ) = b. Kont ( P ), så indholdet af P , lig med kvotienten af b af den for R , bestemmes ligesom ham på en unik måde op til produktet af en inverterbar.
Lad P og Q være to ikke-nul polynomer med koefficienter i K , følgende ligestilling er verificeret, bortset fra produktet af et inverterbart element i A : ${\ text {cont}} (PQ) = {\ text {cont}} (P) {\ text {cont}} (Q)$ Efter definition af indholdet kan vi antage, at P og Q har koefficienter i A , og det er tilstrækkeligt at vise, at så er deres produkt, hvis de er primitive. Hvis p nu er et irreducerbart element i A, og hvis r (resp. S ) er den største af indekserne for koefficienterne for P (resp. Q ), der ikke kan deles med p , så er koefficienten for indeks r + s for PQ en summen af produkter, hvoraf alle undtagen er delelige med p , så denne sum ikke kan deles med p . (En mere abstrakt variant af denne ræsonnement er: p er prime i A, da A er faktorielt, så A / pA er integreret, så ringen ( A / pA ) [ X ] er også. Da P og Q er primitive, er deres billeder af den kanoniske morfisme fra A [ X ] til ( A / pA ) [ X ] er ikke-nul, derfor er billedet af PQ , produkt af disse to billeder, også ikke-nul.) Således er intet element irreducerbart p af A er ikke en divisor, der er fælles for alle koefficienterne for PQ , og dette producerede polynom er derfor ret primitivt.
Lad P være en ikke-konstant polynomium med koefficienter i A . Polynomet er irreducerbart i A [ X ], hvis og kun hvis det er primitivt i A [ X ] og irreducerbart i K [ X ]:
Det er et spørgsmål om at bevise, at hvis P er irreducerbart i A [ X ], er det primitivt, og at hvis P er primitiv, så er irreducerbarheden (eller reducerbarheden) i A [ X ] ækvivalent med den i K [ X ].
Antag at P ikke kan reduceres i A [ X ] og observer nedbrydningen P = fortsat ( P ) Q : de to faktorer er i A [ X ], så en af de to skal være inverterbar, men det kan ikke være Q (som er af det samme grad som P ). Derfor er cont ( P ) inverterbar i A [ X ] derfor i A , således at P er primitiv.
Antag nu at P er primitiv og viser, at det er reducerbart i K [ X ], hvis og kun hvis det er reducerbart i A [ X ]. Hvis P er reducerbar i K [ X ] derefter eksisterer der to polynomier B og C i K [ X ], ikke null og reversible, og derfor ikke konstante, såsom P = B . C . Det foregående forslag viser eksistensen i A [ X ] af to polynomer Q og R af de samme respektive grader som B og C , derfor ikke inverterbare, såsom: $P = {\ text {cont}} (BC) QR = {\ text {cont}} (P) QR = QR,$ således at P kan reduceres i A [ X ]. Omvendt, hvis P kan reduceres i A [ X ], det vil sige produkt af to ikke-invertible elementer i A [ X ], så (da P er primitiv) er de to faktorer ikke konstante, derfor ikke inverterbare i K [ X ] , således at P kan reduceres i K [ X ].
Ringen A [ X ] er faktoriel:
Den sædvanlige metode til at demonstrere eksistensen og "entydigheden" (undtagen permutation og associering) af nedbrydningen af et ikke-nul-element P af A [ X ] i produkt d 'irreducerbart består i at bruge dets nedbrydning i ringen K [ X ], som vi ved er faktoriel (og endda euklidisk ).
Lad P = P 1 ... P m være en nedbrydning af P i et produkt af irreducible elementer P i af K [ X ]. For hvert indeks i , vi betegne som c i ”” indholdet (op til produkt ved en enhed af A ) af P i , og Q i det primitive polynomium P i / c i . Ifølge den tidligere forslag vil den Q jeg er irreducible i A [ X ]. Nu P = c Q 1 ... Q m , angiver c produktet af c i . Dette element c er lig med indholdet af P , så det hører til A . Bemærk derefter c = s 1 ... p n "hans" irreducible nedbrydning i A . Vi opnår en nedbrydning af P i produktet af irreducibles af A [ X ]: P = p 1 ... p n Q 1 … Q m .
Hvis P = r 1 ... r n ' S 1 ... S m' er en anden (ved på samme måde at skelne mellem faktorerne ved forskellige notationer, konstante og ikke-konstante polynomer), så ved "unikhed" af nedbrydningen af P i K [ X ], m '= m og (selv om det betyder genbestilling den S i ) S i = u i Q i hvor u jeg er a priori i K , men er i virkeligheden lig med indholdet af S i , derfor er et element tilbageførsel af A . Ved at fjerne de to produkter p 1 ... p n og r 1 ... r n ' er derfor forbundet i A . Ved faktoralitet af A har de derefter (samme antal faktorer, n '= n og) samme faktorer (op til permutation og associering), hvilket slutter beviset for entydighed i nedbrydning af P i A [ X ].
Lad n være et naturligt heltal, ringen A [ X 1 ,…, X n ] er en faktor:
Dette udsagn (øjeblikkeligt for n = 0, da det da er ringen A ), trækkes fra det forrige ved induktion på tallet n af ubestemte, ved anvendelse af den naturlige isomorfisme af ringe mellem A [ X 1 ,…, X n - 1 ] [ X n ] og A [ X 1 ,…, X n ].

Den tidligere egenskab indrømmer en omvendt, hvis bevis er let: hvis en ring A er sådan, at A [ X ] er en faktor, så er A en faktor.

Noter og referencer

I en Noetherian-ring findes nedbrydningen, men er generelt ikke unik.
(i) Pierre Samuel , " Unik faktorisering " , Amer. Matematik. Måned. , Vol. 75, nr . 9,November 1968, s. 945-952 ( læs online )bevis det som et eksempel på anvendelse af en Nagata- sætning (delvis omvendt af det faktum, at enhver ring af fraktioner af en faktorring er faktoriel).
Denne karakterisering er angivet i øvelse 6 i kapitel 2 i Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detalje af udgaver ], s. 61 med den præcision, at hypotesen om ikke-æteritet ikke er nødvendig.
(i) Hale F. Trotter , " Et eksempel på overset ikke-unik faktorisering " , Amer. Matematik. Måned. , Vol. 95, nr . 4,April 1988, s. 339-342 ( læs online ).
Se for eksempel afsnittet "Factorialité of A , primary decomposition" i lektionen om ringene på Wikiversity ..
Carl Friedrich Gauss , Disquisitiones arithmeticae ,1801[ detaljer om udgaver ], § 42 .
Disse to definitioner findes for eksempel på siden Faktoritetens permanente sætning (Gauss) på webstedet les-mathematiques.net. Nogle forfattere vælger kun at definere indholdet af et polynom med koefficienter i A [ X ], for eksempel Chambert-Loir 2005 , s. 73.
Denne sætning strækker sig til enhver ring af polynomer i en uendelighed af ubestemte, ved at bruge, at en sådan ring er foreningen af dens underringe af polynomer til et endeligt antal ubestemte: jf. N. Bourbaki , Matematiske elementer , AC VII § 3, øvelse 2.
Demoen er taget fra (i) Serge Lang , Algebra , Addison-Wesley ,1965, s. 127.
De sidste to demonstrationer er inspireret af Lang 1965 , s. 126-128.

Se også

(en) PM Cohn , " Unikke faktoriseringsdomæner " , Amer. Matematik. Måned. , Vol. 80, nr . 1,Januar 1973, s. 1-18 ( DOI 10.2307 / 2319253 ) - Generel information om faktoralitet, herunder tilfældet med ikke-kommutative ringe.