Tilfældig vektor

En tilfældig vektor kaldes også en multidimensionel tilfældig variabel .

Definition

En tilfældig vektor er en n- dimensionel generalisering af en reel tilfældig variabel . Mens en reel tilfældig variabel er en funktion, der matcher et reelt tal til hver beredskab, er den tilfældige vektor en X- funktion, der matcher en vektor af : $\ mathbb {R} ^ {n}$

X: \ omega \ mapsto X (\ omega) = (X_ {1} (\ omega), X_ {2} (\ omega), \ prikker, X_ {n} (\ omega))

hvor $ω$ er det generiske element i $Ω$ , rummet for alle mulige eventualiteter.

Ansøgninger $X 1 , ..., X n$ er tilfældige variable kaldes komponenter af den tilfældige vektor X . Vi betegner derefter med $X = ( X 1 , ..., X n )$ .

Et kort $X$ af (defineret på $Ω$ ) med værdier i rummet udstyret med den borelianske stamme er en tilfældig vektor, hvis den er målbar. $(\ Omega, \ mathcal {F})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Distributionsfunktion

Lad være en tilfældig vektor. Dens fordelingsfunktion er defineret som følger: $X = (X_ {1}, \ prikker, X_ {n})$ $F: \ R ^ n \ til \ R$

F (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ mathbb {P} ((X_ {1} \ leq x_ {1}) \ cap \ cdots \ cap (X_ {n} \ leq x_ {n }))

Uafhængighed af tilfældige vektorer

Definition

To tilfældige vektorer er uafhængige, hvis og kun hvis sandsynligheden for, at disse vektorer tager en given værdi, er lig med produktet af sandsynlighederne for, at hver vektor tager en given værdi. Desuden hvis kovariansen af de to vektorer er nul.

Eksempel

Lad være et sandsynligt rum. Vi indstiller tre tilfældige vektorer. $(\ Omega, \ mathcal {T}, \ mathbb {P})$

{\ displaystyle X (\ Omega) = \ {x_ {1}, ..., x_ {p} \}, \, Y (\ Omega) = \ {y_ {1}, ..., y_ {q} \}, \, Z (\ Omega) = \ {z_ {1}, ..., z_ {r} \}.}

Ved deres uafhængighed har vi:

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = x_ {i}, Y = y_ {j}, Z = z_ {k}) = \ mathbb {P} (X = x_ {i}) \ cdot \ mathbb {P } (Y = y_ {j}) \ cdot \ mathbb {P} (Z = z_ {k}), \ \ forall i \ i [\! [1; p] \!], J \ i [\! [ 1; q] \!], K \ i [\! [1; r] \!].}

Gaussisk vektor

Definition

En tilfældig vektor med dimension $n$ er en Gaussisk vektor, hvis en lineær kombination af dens komponenter er en Gaussisk variabel .

Definition - Lad $X = ( X 1 , ..., X n ) være$ en tilfældig vektor. $X$ er Gaussisk hvis og kun hvis den tilfældige variabel for en hvilken som helst sekvens $( a 1 , ..., a n )$ af reelle tal

Z = a_ {1} X_ {1} + a_ {2} X_ {2} + \ cdots + a_ {n} X_ {n}

er en Gaussisk variabel .

Ejendomme

Lad være en Gaussisk vektor med værdier i . Vi betegner dens forventning og dens kovariansmatrix . Enten og . Derefter er den tilfældige vektor Gaussisk, dens forventning er og dens kovariansmatrix . ${\ displaystyle \ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle m \}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ displaystyle A \ i M_ {n, p} (\ mathbb {R}) \}$ ${\ displaystyle \ displaystyle b \ \ i \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle AX + b}$ ${\ displaystyle \ displaystyle Am + b}$ ${\ displaystyle \ displaystyle A \ Sigma A ^ {T}}$
Givet en Gaussisk vektor følger hver af dens komponenter en Gaussisk lov, for for alt kan vi skrive :, hvor er Kronecker-symbolet . ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ ${\ displaystyle \ displaystyle i \ i [\! [1, n] \!]}$ ${\ displaystyle X_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ delta _ {ij} X_ {j}}$ $\ delta_ {ij}$
På den anden side er det omvendte falsk: hvis og er uafhængige tilfældige variabler af respektive reducerede centrerede Gaussiske og Rademacher love , indrømmer som atom og følger derfor ikke en Gaussisk lov. Imidlertid og følg en reduceret centreret Gaussisk lov. $x$ $\ varepsilon$ ${\ displaystyle X + \ varepsilon X}$ ${\ displaystyle 0}$ $x$ ${\ displaystyle \ varepsilon X}$
Lad være en familie af uafhængige gaussiske reelle tilfældige variabler . Derefter er den tilfældige vektor Gaussisk. ${\ displaystyle \ displaystyle (X_ {i}) _ {1 \ leqslant i \ leqslant n}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle (X_ {1}, ..., X_ {n})}$

Konstruktion af en Gaussisk vektor fra dens kovariansmatrix

Det er bemærkelsesværdigt, at en hvilken som helst positiv bestemt matrix er kovariansmatrixen for en Gaussisk vektor. Desuden kan man bestemme en enkelt Gaussisk vektor ud fra denne matrix og fra en reel vektor (svarende til vektoren for midlerne til den Gaussiske vektor).

Ejendom - Lad $Γ være$ en positiv bestemt reel matrix af størrelse $d \times d$ og $μ$ en vektor med størrelse $d$ .

Der er en unik Gaussisk vektor $X = ( X 1 , ..., X n ),$ hvoraf $Γ$ er kovariansmatrixen og $μ$ er den gennemsnitlige vektor.

{\ displaystyle \ Gamma = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {Var} (X_ {1}) & \ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {2}) & ... & \ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {n}) \\\ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {2}) & ... & ... & \\ ... &&& \\\ mathrm {Cov } (X_ {1}, X_ {n}) & ... & ... & \ mathrm {Var} (X_ {n}) \\\ end {pmatrix}} {\ text {and}} \ mu = {\ begin {pmatrix} \ mathbb {E} (X_ {1}) \\\ mathbb {E} (X_ {2}) \\ ... \\\ mathbb {E} (X_ {n}) \ end {pmatrix}}}

Vi betegner den Gaussiske vektor associeret med $μ$ og $Γ$ . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

Derudover kan vi beregne tætheden af denne Gaussiske vektor.

Ejendom - Enten . Dens densitet $f$ $X$ $($ $u$ $)$ udtrykkes (med og $d$ dimensionen $X$ ): ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ cfrac {1} {\ sqrt {(2 \ pi) ^ {d} \ mathrm {det} (\ Gamma _ {X})}}} \ exp \ left (- {\ dfrac {1} {2}} (x- \ mu) ^ {t} \ Gamma ^ {- 1} (x- \ mu) \ højre)}

Endelig kan vi bemærke dette forhold mellem $X$ Gaussisk vektor og en vektor med uafhængig reduceret centreret normalfordeling :

Ejendom - Enten . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

{\ displaystyle X = AZ + \ mu}

med $en$ kvadratrodmatrix på $Γ$ , $μ-$ vektor af middel og $Z-$ tilfældig vektor, hvis komponenter er uafhængige og følger en normalfordeling ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$

Karakteristisk funktion

Vi kan beregne den karakteristiske funktion af en Gaussisk vektor:

Ejendom - Enten . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

Dens karakteristiske funktion $Φ X ( u )$ udtrykkes (med ): ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ displaystyle \ Phi _ {X} (u) = \ exp \ left (iu ^ {t} \ mu - {\ frac {1} {2}} u ^ {t} \ Gamma u \ right)}

Især kan karakteristikaene for en Gaussisk vektor læses direkte på dens Fourier-transformation. Faktisk, hvis er en Gaussisk vektor med karakteristisk funktion defineret af: ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$

{\ displaystyle \ forall (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ Phi _ {X} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) = \ exp \ left (i \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu _ {i} - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n } \ Gamma _ {i, j} x_ {i} x_ {j} \ højre)}

Derefter sin middelvektor er givet ved og dens kovarians matrix ved . ${\ displaystyle \ mu = (\ mu _ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}$ ${\ displaystyle \ Gamma = (\ Gamma _ {ij}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}$

Noter og referencer

Gaussiske vektorer, forberedelse til aggregering Bordeaux 1, Jean-Jacques Ruch

Bibliografi

Patrick Bogaert, sandsynligheder for forskere og ingeniører, De Boeck University, 2006, Bruxelles
Alain Combrouze , Probabilities1, Presses Universitaires de France, 1996, Paris
Yves Ducel, Introduktion til den matematiske sandsynlighedsteori, Ellipses, 1998, ( ISBN 2-7298-9820-4 )
Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Korrigerede øvelser i sandsynlighedsteori, Ellipses, 1996, ( ISBN 2-7298-4688-3 )

Interne links

eksterne links