Konvergenshastighed

I numerisk analyse repræsenterer konvergenshastigheden for en sekvens den hastighed, hvormed sekvensens vilkår nærmer sig sin grænse. Selvom denne størrelsesorden af ​​konvergenshastighed ikke giver information om nogen endelig del af sætets sætningsbetingelser, har dette koncept stor praktisk betydning, når vi arbejder med en sekvens af successive tilnærmelser opnået fra en iterativ metode, fordi i generelle få iterationer er nødvendige for at give en interessant tilnærmet værdi, når konvergenshastigheden er høj.

Definition af konvergensens hastighed

Antag, at sekvensen ( x k ) konvergerer til tallet ξ.

Vi siger, at denne sekvens konvergerer lineært mod ξ, hvis den eksisterer sådan μ∈]0,1[{\ displaystyle \ mu \ in {}] 0.1 [}

limk→∞|xk+1-ξ||xk-ξ|=μ(1){\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {| x_ {k + 1} - \ xi |} {| x_ {k} - \ xi |}} = \ mu \ quad \ quad (1 )}

Antallet μ kaldes konvergenshastighed .

Hvis (1) holder μ = 0, siges konvergensen af ​​sekvensen at være superlinear . Vi siger også, at sekvensen konvergerer superlinjært . Tværtimod siger vi, at konvergenshastigheden for sekvensen er sublinear, når (1) ikke er verificeret for nogen μ <1.

Følgende definition bruges til at skelne mellem de forskellige superlinjære konvergenshastigheder.

Vi siger, at grænsesekvensen ξ er konvergent af rækkefølgen q for q > 1, hvis den findes sådan μ>0{\ displaystyle \ mu> 0}

limk→∞|xk+1-ξ||xk-ξ|q=μ(2){\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {| x_ {k + 1} - \ xi |} {| x_ {k} - \ xi | ^ {q}}} = \ mu \ quad \ quad (2)}

I særdeleshed :

• konvergens af orden 2 siges at være kvadratisk ,
• konvergens af rækkefølge 3 siges at være kubisk ,
• konvergens af rækkefølge 4 siges at være kvartisk .

Kommentarer

I praksis håber vi sjældent at opnå mere end kvadratisk konvergens, hvilket allerede er meget tilfredsstillende. En sådan konvergenshastighed svarer til en fordobling af antallet af præcise cifre ved hvert trin og derfor typisk en tilnærmelse af grænsen til 30 korrekte decimaler efter kun 5 trin, hvis den oprindelige værdi er passende valgt. Et berømt eksempel på en metode, der konvergerer kvadratisk, er Newtons metode .

Relaterede artikler

• Asymptotisk sammenligning
• Konvergenshastighed af suiter

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">