Kompakt stabling

Den kompakte stak er den måde at arrangere kugler i rummet for at have den største tæthed af kugler, uden at de overlapper hinanden.

Dette er et problem, som man generelt stiller i euklidisk geometri i et tredimensionelt rum, men det kan også generaliseres til det euklidiske plan (de "kugler", der derefter er cirkler ), i et euklidisk rum med n- dimensioner ( n > 3 ), med hypersfærer eller i et ikke-euklidisk rum .

Kompakt arrangement af cirkler i et plan

På et plan kan maksimalt seks cirkler med radius r placeres omkring en cirkel med samme radius. Centrene i tre cirkler i kontakt definerer en ligesidet trekant, da de er 2 r fra hinanden. Hver vinkel er lig med 60 ° ( π / 3 ), så vi kan sætte 6 trekanter med et toppunkt til fælles for at danne en regelmæssig sekskant .

Vi kan let se, at det er den mest kompakte organisation, der er ved at opbevare kugler med samme volumen i et kabinet af passende størrelse.

Overfladetætheden af ​​dette arrangement er:

Demonstration

Overvej fire cirkler i kontakt to og to. Centrene i disse cirkler danner en rombe med side 2 r . Det er således muligt at skære planet i en tessellation af diamanter, der definerer et netværk.

Hver rombe består af to dele af en vinkelskive i midten 2π / 3 og to dele af en vinkelskive i midten π / 3 . Summen af ​​disse fire vinkler i midten er således lig med 2π , så summen af ​​arealerne på de fire diskdele er lig med arealet af en komplet disk, dvs. π r 2 .

Selve romben har areal . Diskene optager derfor en andel af arealet, der er lig med .

Joseph-Louis Lagrange beviste i 1773, at intet regelmæssigt arrangement er mere tæt. Dette er ikke tilfældet, når cirklerne ikke har samme størrelse (se arrangementet af citrusskiver).

Kompakt stak af kugler

Overvej tre kugler med samme diameter i kontakt med et plan (plan A). Vi kan placere en fjerde kugle, altid med samme diameter, placeret på hulen mellem de første tre, hvor kuglerne danner en regelmæssig tetraeder .

Ved således at placere kugler i hulene i kompaktplanet A opnår vi et andet kompakt plan (plan B). Når vi tilføjer et tredje plan, kan vi sætte kuglerne enten i overensstemmelse med dem i det første plan (plan A) eller i en tredje mulighed for placering, der definerer et nyt kompakt plan (plan C). Og så videre: overlejring (regelmæssig eller ej) af plan A, B eller C (to på hinanden følgende bogstaver skal altid være forskellige).

I 1611 formoder Johannes Kepler, at dette er det mest kompakte rumlige arrangement. I 1831 demonstrerede Carl Friedrich Gauss Keplers formodning forudsat at arrangementet er regelmæssigt (på et netværk). Den generelle sag demonstreres af Thomas Hales i 1998 (efterfulgt af fire års verifikationer af matematikere) og formelt bevist i 2014, stadig af Thomas Hales.

Der er således tre typer kompakte plan A, B og C, som ved at kombinere genererer en uendelighed af typer kompakte stablinger, som udgør et eksempel på polytypisme  :

Uanset arrangementet er hver kugle omgivet af 12 andre kugler, og lydstyrken er i alle tilfælde:

Demonstration  - Beregningen kan udføres på en enkel måde på en ansigtscentreret kubisk stablingog på en kompakt sekskantet stabling (se det eksterne link til beregning af kompaktheden). For de andre kompakte stakke er det tilstrækkeligt at skære strukturen i grupper på tre plan for at ende i et af de ovennævnte tilfælde.

Højere dimensioner

I euklidiske rum med en dimension, der er større end 3, generaliserer det kompakte stablingsproblem til hypersfærer . Tæthederne for de mest kompakte regelmæssige arrangementer kendes op til dimension 8 og for dimension 24 (se artiklen "  Eremitkonstant  ").

I 2016 meddelte Maryna Viazovska , at E-netværket 8  (in) giver den optimale stak (ikke nødvendigvis regelmæssig) i størrelse 8, og kort efter producerede det i samarbejde med andre matematikere lignende bevis, der viste, at netværket de Leech er optimalt til dimension 24.

Asymptotisk falder tætheden af det mest kompakte arrangement (almindeligt eller ikke) eksponentielt som en funktion af dimension n . Der er ingen grund til at tro, at de tætteste ordninger generelt er regelmæssige. Den bedst kendte vejledning om er dog den samme i begge tilfælde:

Anvendelse i krystallografi

I krystallografi kan atomer eller ioner organisere sig i kompakte lag. Dette er især tilfældet for metalliske strukturer, hvor krystallerne kun er dannet af en type partikler. Hvis de er modelleret af kugler, er stakken kompakt, når kuglerne er i kontakt.

De to hovedtyper af kompakt stak er:

Eksempler:

Volumendensiteten kaldes kompakthed . Fyldningshastigheden er ca. 74  % (26% vakuum).

Struktur vs. netværk

I den kompakte kubiske struktur er atomerne placeret i overensstemmelse med noderne i det ansigt-centrerede kubiske gitter, og af denne grund kaldes den kompakte kubiske struktur ofte også en ansigt-centreret kubisk struktur.

På den anden side er atomerne i den kompakte sekskantede struktur ikke på knudepunkterne i netværket, men i position ⅓, ⅔, ¼ og ⅔, ⅓, ¾, som er ækvivalente i rumgruppen ( P 6 3 / mmc , n ° 194). Det netværk af den kompakte sekskantede struktur er en primitiv sekskantet netværk.

Referencer

  1. Conway og Sloane 1999 , kap. 1, s. 8.
  2. (i) Frank Morgan, "  Sphere Packing in size 8  " , på The Huffington Post ,21. marts 2016(adgang til 10. april 2016 )
  3. (de) Andreas Loos, "  Mathematik: So stapeln Mathematiker Melonen  " , Die Zeit ,21. marts 2016( ISSN  0044-2070 , læst online , adgang til 10. april 2016 )
  4. (en-US) Lisa Grossman , "  Nyt matematisk bevis viser, hvordan man stabler appelsiner i 24 dimensioner  " , på New Scientist ,28. marts 2016(adgang til 10. april 2016 )
  5. (i) Erica Klarreich , "  Sphere Emballage Løst i højere dimensioner  " , Quanta Magazine ,30. marts 2016( læs online , hørt 23. marts 2021 )
  6. Conway og Sloane 1999 , kap. 1, s. 20.

Se også

Bibliografi

Relaterede artikler

eksterne links