Napoleons problem

I flyet geometri , Napoleons problem består i at konstruere centrum af en given cirkel med en kompas alene . Tilskrives ofte dette problem og dets demonstration Napoleon I er , men det er ikke sikker på, at denne demonstration af det. Bestemt er han kendt for sin smag for matematik, og hans træning som kanon giver ham mulighed for at mestre tandhjulene. På samme tid offentliggjorde imidlertid den italienske Lorenzo Mascheroni sin Geometry of the Compass , et værk, hvor han studerede konstruktioner med et kompas alene . Men i den tiende bog, kapitel "om centrene", behandler kun problem 143, der forklarer og demonstrerer, hvordan man finder centrum for en given cirkel, spørgsmålet, og dette på en meget anden måde end Napoleons udsatte her.

Konstruktion

Lad være den cirkel, hvis centrum vi vil bestemme (hel sort cirkel i figur 1) . Lad være et punkt A i denne cirkel (i bunden af den sorte cirkel i figur 1) . $\ matematisk C$ $\ matematisk C$

En cirkel centreret ved A møder denne cirkel ved B og B ' (en cirkelbue i rødt i figur 1) . ${\ mathcal C} _ {1}$ $\ matematisk C$

To cirkler centreret ved B og B 'og passerer gennem A mødes ved punkt C (to lodrette cirkelbuer i grønt i figur 1) . ${\ mathcal C} _ {2}$

En cirkel centreret på C og passerer gennem A møder ved D og D ' (stor cirkelbue i mørk magenta i bunden af figur 1) . ${\ mathcal C} _ {3}$ ${\ mathcal C} _ {1}$

To cirkler centreret ved D og D 'og passerer gennem A mødes i midten af (to lodrette buer af cirkler i blåt i figur 1) . ${\ mathcal C} _ {4}$ $\ matematisk C$

Bemærk : For at konstruktionen er mulig, er det nødvendigt at tage cirkelens radius , en størrelse, der hverken er for stor eller for lille . Mere præcist skal denne radius være mellem halv og dobbelt cirkelens radius . ${\ mathcal C} _ {1}$ $\ matematisk C$

Demonstrationer

Brug af rigtige trekantegenskaber

Princippet for demonstrationen er muligheden for med et kompas alene at konstruere længden, hvis længderne og er kendte (notationer i figur 2). Beviset er baseret på egenskaberne for den rigtige trekant. ${\ displaystyle b ^ {2} / a}$ $på$ $b$

I vedhæftet figur 2 er trekanten retvinklet ved ; er foden af dens højde som følge af , kan vi derfor skrive følgende ligestilling: ${\ displaystyle ABA '}$ $B$ $H$ $B$

AH.AA '= AB ^ {2}

Derfor :

AH = {\ frac {b ^ {2}} {2a}}

AC = {\ frac {b ^ {2}} {a}}

Imidlertid finder vi i den tidligere konstruktion (figur 1) to gange en konfiguration af denne type:

punkter , og er på den kreds af centrum og radius , afstande , , og værd , så: $PÅ$ $B$ $B '$ $O$ $r$ $AB$ ${\ displaystyle AB '}$ $F.Kr.$ ${\ displaystyle B'C}$ $R$

AC = {\ frac {R ^ {2}} {r}}

punkter , og (ikke tegnet) er på midtercirklen og radius , afstande , , og værd , så: $PÅ$ $D$ $Af$ $VS$ ${\ displaystyle {\ frac {R ^ {2}} {r}}}$ $DA$ ${\ displaystyle D'A}$ ${\ displaystyle DX}$ ${\ displaystyle D'X}$ $R$

AX = {\ frac {R ^ {2}} {R ^ {2} / r}} = r

Pointen er derfor centrum for cirklen, der passerer igennem , og CQFD $x$ $O$ $PÅ$ $B$ $B '$

Brug af en inversion

Segmenternes lodrette halveringslinjer, og hvis ender er cirkelpunkter , skærer hinanden i det ønskede centrum af denne cirkel. I inversionen af centrum, der efterlader cirklen uændret, er disse vinkelrette halveringslinjer de to inverses inverser . Pointen er derfor det omvendte af punktet . Segmenternes vinkelrette halveringslinjer, og hvis ender er cirkelpunkter , krydser i midten af denne cirkel. I den samme inversion er de cirkler, hvis centre er på cirklen , omvendt af disse to vinkelrette halveringslinjer. De krydser derfor ind . $AB$ ${\ displaystyle AB '}$ $\ matematisk C$ $O$ $PÅ$ ${\ mathcal C} _ {1}$ ${\ mathcal C} _ {2}$ $VS$ $O$ $AD$ ${\ displaystyle AD '}$ ${\ mathcal C} _ {3}$ $VS$ ${\ mathcal C} _ {4}$ ${\ mathcal C} _ {1}$ $O$

Noter og referencer

fordi i inversionen af centrum og forholdet er den lodrette halvdel af segmentet og den cirkel af centrum, der passerer igennem , omvendte af hinanden. $P$ ${\ displaystyle | PQ | ^ {2}}$ ${\ displaystyle PQ}$ $Q$ $P$

Se også