Dimensionsanalyse

Den dimensionsanalyse er en bekvem måde at kontrollere homogenitet af en formel fysisk gennem sine ligninger dimensioner , dvs. nedbrydning af fysiske størrelser det indebærer i et produktmængder grundlag: længde , varighed , masse , elektrisk intensitet , etc. , irreducerbare for hinanden.

Dimensionsanalyse er baseret på det faktum, at vi kun kan sammenligne eller tilføje mængder med samme dimension; man kan føje en længde til en anden, men man kan ikke sige, at den er større eller mindre end en masse. Intuitivt kan en fysisk lov ikke ændre sig, undtagen i den numeriske værdi af dens konstanter, af den enkle grund, at den udtrykkes i andre enheder. Den Vaschy-Buckingham teorem viser dette matematisk.

I grundlæggende fysik gør dimensionel analyse det muligt på forhånd at bestemme formen for en ligning ud fra hypoteser om de størrelser, der styrer tilstanden i et fysisk system , før en mere komplet teori validerer disse hypoteser. I anvendt videnskab er det grundlaget for modellen efter model og studiet af skalaeffekter .

Ansøgninger

Dimensionsanalyse kan finde applikationer i mange problemer, især til at bestemme dimensionsløse tal involveret i fysiske fænomener, som bruges til at modellere fænomenet ved modeller eller til på forhånd at bestemme skalaeffekterne . Det kan for eksempel findes i følgende områder:

de aerodynamik for de aerodynamiske egenskaber luftfartøjet, og mere generelt opførslen af legemet i en væske bevægelse (optimering af hængebroer);
strømningsmodstand og tryk dråbe i strømmen af et fluid gennem rør;
bølgedannelse og -formering i forskellige grænseflader;
varmediffusion og transport;
detonik , undersøgelseseksplosioner og deres virkninger
test materialestyrke og kollisionstest;
mock-up af virkningen af jordskælv (f.eks. for højhuse)
aldring og bosættelse i jord til undersøgelse af bygningsfundamenter eller jordskred og laviner
hydraulik af kanaler, transport af sedimenter i floder;
inden for medicin og biologi , skalaeffekt i bionik , udvikling af blodcirkulation eller plantevækst.

Dimensionsanalyse af disse fænomener giver nyttige proportionalitetsregler . Det gør det muligt at specificere kalibreringen af de eksperimentelle modeller og at styre variationens studier. I mange tilfælde hjælper det med at identificere funktionelle afhængigheder. Under alle omstændigheder bidrager det til en bedre forståelse af problemet.

Dimensionsanalyse er grundlaget for systemer af naturlige enheder .

Mål, enheder og dimensioner

Homogene formler

I en fysisk formel er de tilstedeværende variabler ikke ”kun” tal, men repræsenterer fysiske størrelser.

En fysisk størrelse er en målbar parameter, der bruges til at definere en tilstand, et objekt. For eksempel er længden, temperaturen , energien , hastigheden , trykket, en kraft (som vægten ), inertien (massen), mængden af stof (antal mol ) ... fysiske størrelser. En fysisk måling udtrykker værdien af en fysisk størrelse ved dens relation til en konstant mængde af samme art som reference måleenhed ( standard eller enhed).

Størrelsen udtrykkes derefter med et rationelt tal, der multiplicerer måleenheden. Derfor vedrører operationerne mellem fysiske størrelser ikke kun tal, men også enheder. Disse enheder til stede i de fysiske formler begrænser den form, som disse formler kan have, fordi visse mulige operationer på enkle tal bliver umulige, når disse tal er forbundet med enheder. Disse begrænsninger er dem, der gør en fysisk formel kvalificeret som "homogen":

multiplikation (eller opdeling) er mulig mellem alle enheder eller med dimensionsløse konstanter, men det er praktisk talt den eneste handling tilladt uden begrænsning; multiplikation eller opdeling af fysiske størrelser er også mulig og vedrører både de numeriske værdier og enhederne af disse størrelser;
tilføjelsen (eller subtraktionen) af fysiske størrelser af forskellig art giver ikke mening; tilføjelse eller subtraktion af fysiske størrelser af samme art er mulig, forudsat at de udtrykkes med den samme enhed (jf. næste afsnit);
Med undtagelse af at hæve til en magt (en generalisering af multiplikation og division), kan en matematisk funktion (såsom sinus eller eksponentiel ) kun vedrøre "rene", dimensionsløse tal.

Sådan kontrol kan automatiseres. Allerede i 1976 bemærkede Michel Sintzoff, at man kan styrke pålideligheden af beregningsprogrammer i fysik ved at erklære de fysiske variabler som sådan og ved at kode deres dimension derefter med eksponenter, der vedrører de grundlæggende dimensioner taget i en fast rækkefølge. Det er derefter muligt at kontrollere deres dimensionelle homogenitet under kompilering ved symbolsk evaluering . Til dette bemærker vi især, at:

dimensionerne af de forskellige størrelser danner en multiplikativ gruppe med de grundlæggende dimensioner som generatorer;
tilføjelsen, subtraktionen, kombinationerne min / max, tildelingen af størrelser antager operander og resultater af den samme dimension;
dimensionen af resultatet af produktet (resp. kvotient) af to mængder er produktet (resp. kvotient) af deres dimensioner.

Lignende enheder

Hvis tilføjelsen af enheder ikke giver mening, forbliver den af fysiske størrelser af samme art mulig, forudsat at de bringes tilbage til en fælles enhed.

Eksempel:

Det er muligt at tilføje to varigheder, en på to timer og den anden på ti minutter, selvom de to enheder er forskellige. Men i dette tilfælde er resultatet åbenlyst ikke "to plus ti er lig med tolv", der tilbageholder tal for at ignorere dem. Du skal først oversætte timerne til minutter (1 t = 60 min ):

{\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ \ mathrm {h} +10 \ \ mathrm {min} = 2 \ \ mathrm {h} \ times 60 \ {\ frac {\ mathrm {min}} {\ mathrm {h}}} +10 \ \ mathrm {min} = 130 \ \ mathrm {min}}

Eller på en tilsvarende måde kan vi omdanne minutterne til timer, inden vi kan tilføje dem:

{\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ \ mathrm {h} +10 \ \ mathrm {min} = 2 \ \ mathrm {h} +10 \ \ mathrm {min} \ times 1/60 \ {\ frac {\ mathrm {h }} {\ mathrm {min}}} = 2 + 10/60 \ \ mathrm {h} = 2.1666 ... \ \ mathrm {h}}

I det første tilfælde vil vi have forenklet timerne i tælleren mod timer i nævneren for at opnå mere end minutter i tælleren, og i det andet vil vi have forenklet minutterne i tælleren mod minutter i nævneren, for kun at beholde timer i tælleren.

Et fysisk mål, der er et tal, der er knyttet til en enhed , har vi på den ene side to tal, der er forbundet med (forskellige) enheder, og på den anden side resultatet, et tal, der er knyttet til en enhed.

I det omfang fysiske størrelser legitimt kan formere sig eller dele sig mellem dem, kan vi også formelt manipulere dem som bogstavelige konstanter og omskrive den foregående transformation som følger:

{\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ \ mathrm {h} +10 \ \ mathrm {min} = 2 \ gange {\ frac {\ mathrm {h}} {\ mathrm {min}}} \ \ mathrm {min} +10 \ \ mathrm {min} = \ left (2 \ times {\ frac {\ mathrm {h}} {\ mathrm {min}}} + 10 \ right) \ \ mathrm {min} = \ left (2 \ times { \ frac {60} {\ mathrm {1}}} + 10 \ right) \ \ mathrm {min} = 130 \ \ mathrm {min}}

I denne form ser vi, at omskrivningen af det fysiske udtryk i "et tal tilknyttet en enhed" viser på talesiden forholdet "h / min", som er konverteringsfaktoren mellem timer og minutter, hver anden enhed for den samme dimension, tid. Alle ved naturligvis, at dette tal er værd 60 (der er tres minutter på en time, og ligestillingen 1 h = 60 min kan omskrives h / min = 60/1), og vi kan derfor erstatte h / min med 60/1, da det er en lighed, men det vigtige punkt her er, at dette tal nu er et rent, dimensionsløst tal. Dette er kun muligt, fordi både fundamentet og timen og minut begge beskriver en varighed , dvs. den samme fysiske størrelse og således har den samme dimension, selvom den er af forskellig enhed.

Bemærk: "Konverteringsfaktoren" for temperaturer har en absolut reference, absolut nul . De sædvanlige skalaer for temperatur, grader Celsius såvel som grader Fahrenheit , starter fra forskellige nuller, så konverteringen fra en enhed til en anden er en affin transformation , i stedet for at være en proportionalitet. Derfor er der kun kan være en omregningsfaktor mellem temperatur- forskelle . Fysiske formler udtrykker temperatur i Kelvin .

"Natur" og enhed

Anatomi af fysisk størrelse: 1.852 m

1.852	Målt	Antal målt	Størrelsesforhold til reference.
m	Konverteringsfaktor	Konventionelt konstant antal	Genspejler vilkårlighed i praktisk enhed.
$L$	Størrelse	Egen fysisk natur	Naturlig enhed?

En "måleenhed" er en fysisk størrelse, der gør det muligt at udtrykke værdien af et fysisk mål ved dets forhold til en konstant størrelse af samme art. Således, hvis " timen " er en måleenhed for tid, er det fordi man kan sammenligne tidsmæssige størrelser med den bestemte størrelse, der er "en time": enhver fysisk måling vurderer kun et tidsforhold mellem to størrelser af samme art .

Disse måleenheder er i sig selv målelige fysiske størrelser, så et tal, der er knyttet til en enhed og tager "en time" eller "et minut" som reference, er grundlæggende et vilkårligt valg. Den vilkårlige karakter af dette valg kan være frustrerende, fordi det ikke fanger, hvad en enheds "natur" er: selvom et mål er et tal, der er forbundet med en enhed (hvilket derfor giver dette mål dets karakter), kan vi i virkeligheden kun oprette rapporter og få adgang til dimensionsløse tal.

Idéen om et system af naturlige enheder reagerer på denne idé om at eliminere den vilkårlige del af måling: hvis der er en naturlig enhed "T", der kan tjene som en universel reference til måling af tid, kan minut og time beskrives som henholdsvis nT og tres gange nT . Hvis enheden er naturlig, kan vi overveje, at "T" koncentrerer essensen af denne mængde og er dens natur, hvilket får et tal til at ændre dets natur og blive et fysisk mål: den vilkårlige enhed, som daglig brug således adskilles i en væsentlig fysisk størrelse, der giver den sin "natur" og en konverteringsfaktor, der er specifik for denne enhed, som understøtter al dens vilkårlighed.

I denne tilgang indebærer en måling af en fysisk størrelse derefter konceptuelt tre enheder: en naturlig enhed, der giver målingens "natur", en konverteringsfaktor, der stammer fra den mængde, der anvendes som en praktisk enhed, og et målt tal, der repræsenterer forholdet mellem den målte mængde og den praktiske enhed. At den naturlige enhed ikke er klart defineret (den eneste klart naturlige enhed er lysets hastighed ) har ingen praktisk betydning. En konverteringsfaktor, hvis den skal beregnes, har altid form af et forhold mellem to målinger af samme art og afhænger derfor ikke af den nøjagtige værdi af den naturlige enhed.

Fysiske formler og størrelser

Uanset hvad en naturlig enheds værdi skal være, kan vi i dette perspektiv overveje, at et fysisk udtryk oversætter operationer på komplekse objekter, der forbinder et tal, en enhed og en konverteringsfaktor.

Der er de numeriske operationer, der udføres på tal, som de praktiserende læger, der bruger formlen, fokuserer på. Dette er hvad der gør den praktiske interesse for formlen.

På den anden side er der samtidige operationer på mængder, der repræsenterer "karakteren" af de involverede fysiske målinger - og dette uafhængigt af valget af en enhed; dette er hvad teoretikeren fokuserer på, når han undersøger "dimensionel ligning".

Endelig er der operationer på konverteringsfaktorerne, der skyldes valget af et system af potentielt vilkårlige enheder . Dette er hvad der skal tages i betragtning, når man flytter fra et enhedssystem til et andet. I en fysisk formel oversættes dette valg i virkeligheden aldrig undtagen med en konverteringsfaktor uden dimension (ændrer derfor ikke udtrykets "natur"). Og da denne faktor kun afspejler et vilkårligt valg, arrangerer man i veldesignede systemer (som det metriske system) at vælge enhederne, så konverteringsfaktoren er "en" og forsvinder fra formlen.

Den dimensionelle ligning af en fysisk formel er en "størrelsesligning", som har samme form som den oprindelige fysiske formel, men hvor hverken tallene eller konverteringsfaktorerne eller de numeriske konstanter tages i betragtning. størrelser. Vi repræsenterer fænomenerne målt ved et symbol; for eksempel er et slag repræsenteret der af bogstavet "T", en længde er repræsenteret af bogstavet "L". Det er denne formel, der gør det muligt at bestemme den dimension, hvor resultatet af en fysisk formel skal udtrykkes, uafhængigt af de tal, der er resultatet af målingerne.

Konverteringsfaktor

De fysiske ligninger forbinder fysiske størrelser, derfor tal og enheder og potentielt konverteringsfaktorer afhængigt af valget af disse enheder.

Eksempel:

En fysisk kinematikformel fortæller os, at hastighed (når konstant) måles som tilbagelagt længde divideret med rejsetid. Dette er tilfældet, hvis vi måler længde i ligaer , tid i timer og hastighed i knob , skal formlen også omfatte en konverteringsfaktor.

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {node}} = k _ {\ rm {\ left (node ​​{\ frac {league} {hour}} \ right)}}. D _ {\ mathrm {league}} / T _ {\ mathrm {hours}}}

, med:

{\ displaystyle k _ {\ rm {\ left (node ​​{\ frac {league} {hour}} \ right)}} = 2.317 \ 336 \ 792}

Beregning af konverteringsfaktoren

Generelt er det en kompleks operation at bestemme denne konverteringsfaktor. Ved at tage et moderne og rationelt enhedssystem som reference det internationale system til enheder som beregning, er beregningen noget forenklet:

1 knude = 0,514 m s −1
1 time = 3600 s
1 liga = 4 288 m (liga fra stolpen)

Og i dette tilfælde ved at gøre de oprindelige enheder til ICU'er:

{\ displaystyle k _ {\ rm {\ left (node ​​{\ frac {league} {hour}} \ right)}} = (D _ {\ mathrm {SI}} / 4288) / (T _ {\ mathrm {SI}} / 3600) / (V _ {\ mathrm {SI}} / 0.514)}

Men som i det internationale enhedssystem , som er et rationelt system, har vi det

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {SI}} = D _ {\ mathrm {SI}} / T _ {\ mathrm {SI}}}

Vi kan udlede:

{\ displaystyle k _ {\ rm {\ left (node ​​{\ frac {league} {hour}} \ right)}} = {\ frac {1} {0.514}} \ times {\ frac {4288} { 3600}} = 2.317}

I disse gamle regimenheder er hastigheden (i knob ) derfor lig med afstanden (i ligaer ) divideret med tiden (i timer ) ganget med en konverteringskoefficient 2.317336792, som afspejler det vilkårlige valg af enheder.

Omvendt ved at kende denne formel V = D / T og få tidsenheder og længdenheder (den anden og måleren, i det metriske system), kan vi vælge hastighedsenheden for at eliminere konverteringsfaktoren: denne "afledte" enhed er derefter måleren pr. sekund i det metriske system.

Enhedens størrelse

Basestørrelse

Generelt er det ved at gå fra en fysisk lov til en anden muligt gradvist at udtrykke dimensionen af alle de fysiske størrelser som en funktion af syv grundlæggende dimensioner.

Det internationale enhedssystem foretager følgende valg og anbefaler de tilsvarende notationer, som er meget udbredt:

Basemængder og dimensioner af SI

Basestørrelse	dimension symbol
Længde	${\ displaystyle {\ mathsf {L}}}$
Masse	${\ displaystyle {\ mathsf {M}}}$
Tid eller varighed	${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$
Elektrisk intensitet	${\ displaystyle {\ mathsf {I}}}$
Termodynamisk temperatur	${\ displaystyle {\ mathsf {\ Theta}}}$
Mængde stof	${\ displaystyle {\ mathsf {N}}}$
Lysintensitet	${\ displaystyle {\ mathsf {J}}}$

Valget af disse syv variable er en historisk bygning, blev størrelserne udvalgt fra XVIII th århundrede til de behov og standarder, der kunne gøre en enkel og præcis måde. De er på forhånd den mest grundlæggende, og "de tre grundlæggende enheder" er den eneste direkte adgang til mål for fysik af XVIII th århundrede, ville det have været svært at forestille sig gøre valget af andre uædle mængder.

Vi kan dog vælge andre referencemængder, for eksempel for at definere hastigheden som basemængde og for at definere standardlængden i henhold til standardhastigheden og standardtiden: det er det, der desuden nu gøres implicit i det metriske system, hvor hastighedsstandarden er lysets hastighed i vakuum. Ligeledes kan et alternativ til elektrisk strøm være at opretholde elektrisk ladning som basisenhed. Disse alternative valg fører derefter til alternativer med hensyn til enhedssystemet.

Valget af basismængderne sammenlignet med de afledte størrelser er relativt vilkårligt. I de fleste tilfælde, mekanik, faktisk anvendte mængder er begrænset til "tre grundlæggende enheder" af Maxwell, delsystemet $L, M, T$ . Men det ville være muligt at basere et system på kraft i stedet for masse ( $L, F, T$ ). Faktisk udtrykker enheder i N m- 2 eller i N rad -1 en måde at overveje, at newtonen kunne være en basismængde til at definere disse afledte størrelser. Vi kunne også erstatte tiden med en hastighed eller en frekvens eller stole på energi eller vælge en hvilken som helst anden kombination af tre mekaniske størrelser, så længe disse tre størrelser er uafhængige. Dette valg er kun et spørgsmål om bekvemmelighed. Dimensionsanalysen afhænger ikke af de mængder, der bevares som grundlag.

Afledte mængder

Som angivet ovenfor inkluderer en fysisk lov i det generelle tilfælde (for ikke-rationelle enhedssystemer) et konstant udtryk, der afspejler konvertering af enheder mellem inputmængder og outputmængder. Omvendt i et rationelt system vælges enheden for outputmængden på en sådan måde, at dens konverteringsfaktor er lig med enheden, dvs. forsvinder fra formlen, der beskriver den fysiske lov : denne faktor har ingen fysisk betydning.

Gradvist af fysisk lov i fysisk lov kan dette princip bestemme alle mulige "afledte størrelser" for at kende dimensionen og om muligt at fastsætte en sammenhængende enhed med de tidligere valgte enheder, for hvilke "konverteringsfaktoren" vil være lig med en .

En afledt størrelse er således en størrelse, hvis dimension er relateret til mindst en af de syv basismængder. En fysisk lov udtrykker forbindelsen mellem en afledt mængde og basismængderne (eller andre afledte størrelser). Dens udsagn pålægger dimensionerne en vis ligning .

Dimensionen af en afledt størrelse siges at være "enkel", når den kun er knyttet til en af de syv basismængder. For eksempel er områdets dimension enkel: den er kun relateret til længden og svarer til kvadratet i en længde. Dimensionen af en afledt størrelse siges at være "sammensat", når den er relateret til mindst to af de syv basismængder. For eksempel er hastighed forholdet mellem en længde og en varighed.

Dimensionsligning

Den dimensionelle ligning er ligningen, der relaterer dimensionen af en afledt størrelse til dimensionerne for de syv basismængder. I en dimensionel ligning betegnes dimensionen af den afledte størrelse eller . $x$ ${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {X}}$ ${\ displaystyle [X]}$

Den generelle form for en dimensionel ligning er:

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {X} = {\ mathsf {L}} ^ {\ alpha} {\ mathsf {M}} ^ {\ beta} {\ mathsf {T}} ^ {\ gamma } {\ mathsf {I}} ^ {\ delta} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {\ epsilon} {\ mathsf {N}} ^ {\ zeta} {\ mathsf {J}} ^ {\ eta} }

eller:

${\ displaystyle {\ mathsf {L, M, T, I, \ Theta, N}}}$ og er de respektive dimensioner af de syv basismængder; ${\ displaystyle {\ mathsf {J}}}$
${\ displaystyle {\ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta, \ varepsilon, \ zeta}}$ og er de respektive eksponenter for de syv basismængder. ${\ displaystyle {\ eta}}$

Disse kaldes ”dimensionelle eksponenter”. En sådan dimensionel eksponent er et relativt heltal. Det kan være (strengt) positivt, nul eller (strengt) negativt. En dimensionsløs størrelse eller størrelse af dimension 1 er en størrelse, for hvilken alle dimensionelle eksponenter er nul.

Således er dimensionen af en størrelse den måde, hvorpå den er sammensat af de syv grundlæggende dimensioner.

Hastighedens størrelse:

Vi siger, at "dimensionen af en hastighed er en længde divideret med en varighed " eller at "hastigheden er homogen i en længde divideret med en varighed". Dimensionsligningen bemærker dette på en forkortet måde:

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {V} \; = \; {\ mathsf {\ frac {L} {T}}}}

(eller igen ).

{\ displaystyle {\ rm {\ {\ mathsf {V}} \; \ equiv \; {\ mathsf {\ frac {L} {T}}}}}}

Sammensætningen kan blive mere kompleks.

Dimension af en kraft:

Den anden af Newtons bevægelseslove siger, at kraft er proportional med produktet af masse og acceleration. Acceleration er en stigning i hastighed, dermed kvotienten af hastighed efter varighed . En hastighed er en længde divideret med en varighed, så acceleration har dimensionen af en længde divideret med en varighed i kvadrat. Vi udleder kraftens dimension:

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {F} \; = \; {\ mathsf {M}} \ cdot {\ mathsf {\ frac {L} {T ^ {2}}}} \; = \ ; {\ mathsf {M}} \ cdot {\ mathsf {L}} \ cdot {\ mathsf {T}} ^ {- 2}}

som vi også kan bemærke

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {F} = {\ frac {{\ mathsf {M}} \ cdot {\ text {dim}} ~ {V}} {\ mathsf {T}}}.}

Systemudvidelser

Notation af vinkler

Den radian og dens sfæriske modstykke den steradian indtager et separat sted i enhederne, hverken helt en basisenhed eller virkelig homolog med en afledt enhed. I lang tid blev det kaldt en "yderligere enhed"; den 20 th generalkonference for Internationale Bureau for Mål og Vægt trak dette koncept. Den radian er nu en "dimensionsløs enhed, hvis navn og symbol kan anvendes, men ikke nødvendigvis, i udtryk for andre afledte SI-enheder, som er relevant" .

Den særlige status for denne enhed kommer fra den dimension, der betragtes som "dimensioneløs" af planvinklen . En vinkel måles faktisk ved forholdet mellem buens længde (AB), som den skærer på en cirkel med radius r og radius r af denne cirkel. Disse to målinger foretages i en længdeenhed, vi konkluderer, at dimensionen af radianen er nul, $L 1-1 = L 0$ (og på samme måde for steradianen , forholdet mellem det opfangede areal og kvadratet i radiusen , $L -2- 2 = L 0$ ). Paradoksalt nok deler den fjerde mængde, der umiddelbart kan måles i den daglige oplevelse, ikke de privilegerede status for de "tre grundlæggende enheder": dens enhed er valgfri, og den betragtes ikke engang som en effektiv mængde.

Den "vinkelmængde" er ikke desto mindre vigtig for at tydeliggøre notationen af nogle enheder, hvilket retfærdiggør dens valgfri anvendelse i det internationale enhedssystem . Det er således, at vinkelhastigheden $ω$ er noteret i rad ⋅ s -1 og således adskiller sig fra hertz og becquerels , a priori af samme dimension $T -1$ . Ligeledes skrives vinkelacceleration $α$ normalt i rad ⋅ s -2 .

Selvom dette ikke er den sædvanlige praksis, er det også korrekt at bemærke den vinklede komponent i de størrelser, der beskriver rotationen, som simpelthen kan identificeres trin for trin gennem de dimensionelle ligninger:

det arbejde af et par er , og er i kg ⋅ m 2 ⋅ s -2 . Den par $C$ er derfor i kg ⋅ m 2 ⋅ s -2 ⋅ rad -1 , således at adskille den fra energienhed kg ⋅ m 2 ⋅ s -2 ; ${\ displaystyle W = {\ vec {C}} \ cdot {\ vec {\ alpha}}}$
ligningen udtrykker den kinetiske energi i et roterende legeme. $E$ i kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 , inerti-øjeblikket $I$ er i kg ⋅ m 2 ⋅ rad −2 ; ${\ textstyle E = {\ frac {1} {2}} \, I \, \ omega ^ {2}}$
det udledes, at den konservative størrelsesorden i rotation, den impulsmoment , har dimension kg ⋅ m 2 ⋅ rad -2 × rad ⋅ s -1 = kg ⋅ m 2 ⋅ s -1 ⋅ rad -1 . ${\ textstyle {\ vec {L}} = I \, {\ vec {\ omega}}}$

Men grundlæggende, for dimensionel analyse, kan vinkler ikke betragtes som en variabel af problemet, fordi deres klassiske definition ikke giver dem deres egen dimension. Lad os for eksempel tage et projektil, som vi leder efter et udtryk for området $P$ som en funktion af vinklen $θ$ og $skudets$ hastighed $v$ og tyngdekraftens tiltrækning $g$ . I denne form har problemet fire variabler afhængigt af tre størrelser og bør derfor være godt poseret til at løse $P$ som en funktion af de andre tre, op til en konstant. Men vinklen $θ,$ der betragtes som dimensionsløs, måden, hvorpå den forekommer i et monomium, kan kun være vilkårlig: denne "variabel" viser sig at være ubrugelig i en klassisk tilgang, hvor den ikke kan skelnes fra en vilkårlig konstant.

Dette særlige problem vil blive behandlet nedenfor ved projektion ved at skelne komponenterne $v x$ og $v z$ af den indledende hastighed i to retninger, men denne løsning ved projektion er ikke en generel behandling og løser ikke rigtig det specifikke problem med vinkler.

Træningsmasse og alvorlig masse

I termodynamik eller fluidmekanik er det undertiden interessant at skelne mellem masse som et mål for inerti (inertiemasse) og masse som et mål for mængden af stof (gravmasse) efter et forslag de Huntley. Der er faktisk to masser til hver krop:

den inerte masse er en dynamisk egenskab af stof, der manifesteres af kroppens inerti. Konkret modstår en masse på 20 kg acceleration dobbelt så meget som en masse på 10 kg ;
den bruttomasse (latin gravis , tung) er en statisk egenskab af stof, der manifesterer sig ved gravitation af organer. En masse på 20 kg skaber et tyngdefelt omkring det dobbelt så intens som en masse på 10 kg ; desuden vil massen på 20 kg under tilstedeværelse af det samme ydre tyngdefelt (f.eks. Jordens) gennemgå en kraft (vægten) dobbelt så stor som massen på 10 kg .

Gravmassen er ifølge Newtons gravitationslov, hvad elektrisk ladning er for Coulombs lov : det er på en måde en tyngdekraftsladning . Selvom seriøs masse og inertiemasse er konceptuelt forskellige, ser vi i praksis, at de altid er proportionale, hvilket retfærdiggør, at vi kan bruge den samme enhed til begge (dette er ækvivalensprincippet ). Men hvis det er muligt at bruge den samme masseenhed, er det ikke en nødvendighed, og det er fortsat muligt at skelne de to i en dimensionel ligning: i sin analyse viser Huntley, at en fysisk ligning, der involverer de to typer masser, skal være homogen for hver massetype.

Retningsfremskrivninger

Huntley tilbyder en anden udvidelse. Det består i at overveje, at de tre komponenter i en vektor skal betragtes som relateret til forskellige mængder. I dette tilfælde, i stedet for kun at have en udifferentieret længde $L$ , vil vi have en længde $L x$ i $x-$ retning osv.

For at illustrere denne idé, kan vi forsøge at beregne på, hvad afstand vil være det punkt faldet af en kanonkugle affyret fra et vandret plan, med en vertikal hastighed $V z$ og en vandret hastighed $V x$ .

Hvis man ikke tager højde for $rumets$ dimensioner, vil de eneste interessante størrelser være $V x$ og $V y$ , begge i $L\cdotT -1$ , området $P$ , af dimension $L$ og $g$ tyngdeaccelerationen af dimension $L\cdotT -2$ . Disse fire størrelser afhænger kun af to uafhængige størrelser, og det er derfor muligt at definere to dimensionsløse størrelser.

Ligningen, der søges for omfanget, har formen:

{\ displaystyle R \ propto V_ {x} ^ {a} \, V_ {y} ^ {b} \, g ^ {c}}

Eller i form af en dimensionlig ligning:

L = (L / T) a + b (L / T 2 ) c

Herfra kan vi udlede, at $a + b + c = 1$ og $a + b + 2 c = 0$ , hvorfra vi kan udlede, at $c = -1$ , men to eksponenter forbliver ubestemte. Dette er normalt, da der er to uafhængige størrelser og fire størrelser for en enkelt ligning.

Men hvis vi skelne mellem de forskellige retninger af rummet, derefter $V x$ har dimensionen $L x \cdotT -1$ , $V y$ er i $L y \cdotT -1$ , $R$ er i $L x$ og $g$ er i $L y \cdotT -2$ . Den dimensionelle ligning bliver derefter:

L x = (L x / T) a (L y / T) b (L y / T 2 ) c

Nu med tre uafhængige størrelser og fire størrelser for to ligninger er det muligt at løse systemet for at finde $a = 1$ , $b = 1$ og $c = -1$ ; også :

{\ displaystyle R \ propto {\ frac {V_ {x} .V_ {y}} {g}}}

Hvis vi betegner $θ$ affyringsvinklen sammenlignet med starthastigheden $V, har$ vi $V x = V cos ( θ )$ og $V y = V sin ( θ )$ , derfor:

{\ displaystyle R \ propto {\ frac {V ^ {2}} {g}} \, \ sin (\ theta) \, \ cos (\ theta) = {\ frac {V ^ {2}} {g} } \, \ sin (2 \ theta)}

Vi kan straks se i dette eksempel den gevinst, der er forårsaget af introduktionen af retningsbestemte forskellige længder.

Den underliggende begrundelse for en sådan tilgang er, at hver komponent i en dimensionel konsistent ligning selv skal være dimensionel konsistent, uanset om ligningen er skalær, vektor eller tensor. Derfor kan man (undertiden) identificere uafhængige ligninger ved at projicere problemet på en af dets symmetrielinjer (undertiden), og hver yderligere ligning løser en ny variabel.

Denne tilgang består i at reducere et problem i dimensionen tre til flere problemer i lineære rum i dimension 1. Selvom det ofte er nyttigt, har denne udvidelse af den metode, der er foreslået af Huntley, stadig nogle mangler:

det håndterer ikke godt situationer, der involverer vektorprodukter;
det gør det ikke muligt at styre de vinkler, der betragtes som fysiske variabler;
det er ikke altid let at tildele disse størrelser $L$ , $L x$ , $L y$ og $L z$ til de forskellige variabler i problemet , det vil sige at identificere relevante projektionsakser.

Orienteringsalgebra

I stedet for kun at indføre tre dimensioner af længden $L x$ med forskellig orientering, som foreslået af Huntley, foreslog Donald Siano at repræsentere vektorkarakteren af visse størrelser for at bevare som en fuldgyldig mængde "størrelsesorientering" $1 x$ , $1 y$ og $1 z$ i dimensionen ligning, symbolet $1 0$ repræsenterer på sin side en skalar størrelse uden orientering. Med denne tilgang bliver den projicerede dimension $L x$ foreslået af Huntley en sammensat afledt størrelse $L1 x$ , hvor $L$ oversætter karakteren af "længde", og $1 x$ oversætter karakteren af "orientering" i en bestemt retning, så det væsentlige vektormæssig karakter af denne mængde.

I de dimensionale formler, de skalære mængder så have en dimension på $1 0$ uanset retningen af det rum, hvor de er projiceret, men vektoren mængder modtager en dimension af ikke-nul orientering - hvis valg i $x$ , $y , zer relativt vilkårlig, så længe disse valg forenkles i den dimensionelle ligning. Retningen kan f.eks. Være "den for problemet" 1 x, når kun en retning er involveret, men bliver "den anden retning af planet" 1 y, når et sekund forekommer, og "retningen vinkelret på de andre to" 1 z, som krævet.$

Denne konvention fører især til at postulere, at vinkelafvigelsen oversætter en rotation i et tredimensionelt rum :

En rotation har dimension

1 z

Denne samme resultat kan opnås direkte ved at bemærke, at i polære koordinater $( r , α )$ , en elementær variation $d α$ fører til en ortogonal forskydning $d x = r d α$ : $d x$ er af orientering $1 y$ i forhold til afstanden $r$ stillet af orientering $1 x$ , homogeniteten af formlen pålægger, at dα er af orientering $1 z$ , hvilket er derfor dimensionen af radianen . Vi kan også vise (gennem Taylor-udvidelsen ), at synd (θ), ligesom enhver ulige funktion, har den samme orienteringsstørrelse som dens argument $θ$ ; og at $cos ( x )$ , som enhver lige funktion, altid har en størrelse af skalær orientering - hverken lige eller ulige funktioner kan kun tage skalargumenter.

Lad os som et eksempel på anvendelse vende tilbage til problemet med rækkevidden af et projektil under hensyntagen til orienteringsmængden . Med hensyn til anslagspunktets retning er tyngdekraften orientering $1$ $z$ , og affyringsvinklen $θ, der$ er i et plan $xz,$ vil have en vinkelret dimension, det vil sige $1$ $y$ . Omfanget $P$ har derefter formen: ${\ displaystyle 1_ {x}}$

{\ displaystyle P \ propto g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c}}

Dette indebærer, at: .

{\ displaystyle \ mathrm {L} \, 1_ {x} \ sim \ left ({\ frac {\ mathrm {L} \, 1_ {z}} {\ mathrm {T} ^ {2}}} \ højre) ^ {a} \ left ({\ frac {\ mathrm {L}} {\ mathrm {T}}} \ right) ^ {b} \, 1_ {y} ^ {c}}

Den dimensionelle homogenitet pålægger derefter korrekt, at $a = -1$ og $b = 2$ ; og med hensyn til orienteringsmængden skal $c$ derefter være et ulige heltal (kan derfor tages lig med enhed). En supplerende analyse viser, at funktionen søges i $θ$ , nødvendigvis ulige for at opnå ensartethed, er periodisk med perioden $2 π$ (derfor af formen $sin ( nθ )$ ) og forsvinder for $θ = 0$ og $θ = π / 2$ : derfor $n = 2$ og den søgte funktion er $synd (2 θ )$ . Så vi har:

{\ displaystyle P \ propto {\ frac {v ^ {2}} {g}} \, \ sin (2 \, \ theta)}

Eksempler på applikationer

"Nul princip" for teoretisk fysik

Kraften i den forudsigelige kraft i dimensionel analyse sammenlignet med dens enkelhed førte Wheeler til at foreslå følgende generelle princip:

" Udfør aldrig beregninger, før du kender resultatet ".

Denne erklæring, som kan virke paradoksal på forhånd , betyder konkret: ikke at gå i gang med en kompliceret beregning uden først at have fundet den kvalitative form af resultatet med dimensionalanalysen.

Dimensionsanalyse gør det faktisk muligt at finde formen til løsningen på visse problemer uden at skulle løse ligninger takket være Buckinghams sætning (undertiden kaldet " Pi- sætning "). Denne type beregning er kun gyldig, hvis et lille antal parametre styrer løsningen på et problem (2 eller 3).

Dimensionsanalyse gør det kun muligt at finde den fysiske ligning, der styrer fænomenet, op til en numerisk konstant $k$ nær, dimensioneløs, og som denne metode derfor ikke kan bestemme. Det kræver en fuldstændig eksplicit beregning for at finde den (eller en eksperimentel måling for at bestemme den). Erfaringen viser imidlertid, at i et system af enheder, der er tilpasset det undersøgte problem, denne konstant $ker altid i størrelsesordenen 1 (i den forstand, at π ~ e ~ 1), derfor er relevansen af dimensionel analyse for at forudsige formen på resultatet af en beregning såvel som dens størrelsesorden.$

Men at konstruere homogene ligninger er ikke nok til at identificere relevante fysiske love. Den berømte ligning $E = m c 2$ er perfekt homogen og uforanderlig ved ændring af enheder; men denne homogenitet var ikke nok til alt dette for at forudse det.

To berømte eksempler beregner styrken af den første atombombe og modellen Kolmogorov af turbulens homogen isotrop , som i høj grad påvirkede hele væskemekanikken .

Lov om faldende kroppe

Galileo og kroppens fald

Galileo havde oprindeligt antaget (fejlagtigt), at for så vidt tyngdekraften, der udøves på et legeme (dets vægt), afhænger af dets masse, loven om organernes fald, dvs. højden h som en funktion af tiden t og tyngdekraften g , kunne også afhænge af massen m af denne krop. I dette tilfælde ville vi have:

{\ displaystyle h = f (g, m, t)}

Højden h har tydeligvis dimension , massen m er i , og t har dimension ; og dimensional analyse giver mulighed for g- størrelse . Den eneste kombination, der giver en dimensionsløs mængde, er da: $\ scriptstyle L$ $\ scriptstyle M$ $\ scriptstyle T$ ${\ displaystyle \ scriptstyle LT ^ {- 2}}$

{\ displaystyle {\ frac {h} {gt ^ {2}}} = Cte}

En funktion af masse kan ikke gøres dimensionsløs ved hjælp af variablerne g , t og h , hvilket viser, at ideen om at gøre denne lov afhængig af masse er fysisk forkert. I virkeligheden griber massen kun ind i beskrivelsen af banen, når der tages højde for luftens modstand, fordi luftens viskositet derefter betyder dimensionen af en masse.

Galileo havde ikke den differentielle beregning og antog, at hastigheden v (hvis dimension er ) var proportional med faldhøjden h , det vil sige det . Hvis han kunne have anvendt dimensionel analyse, kunne han have set, at den eneste dimensionsløse størrelse, der kan opnås fra v , h og g, er: ${\ displaystyle \ scriptstyle LT ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle v \ sim h}$

{\ displaystyle {\ frac {gh} {v ^ {2}}} = Cte}

Der kan derfor ikke være nogen lineær afhængighed mellem h og v , som derfor kan bestemmes uden differentiel beregning.

Frekvens af et massefjedersystem

Pendlende vægt

Det tilstræbes at bestemme perioden T for svingning af massefjedersystemet som en funktion af fjederens stivhed k og af vægten p, der er ophængt deri. Disse tre fysiske størrelser har henholdsvis dimension:

T : s ;
k : kg ⋅ s −2 ;
p : kg ⋅ m ⋅ s −2 .

Vi ser, at i denne form er problemet uopløseligt: vægten er den eneste fysiske størrelse, der har en komponent i længden, og kan derfor ikke gribe ind i en faktor uden dimension; og stivheden er så den eneste størrelse, der har en komponent i masse, og kan således heller ikke gribe ind.

Ved at nedbryde vægten i produkt af massen ved tyngdeacceleration, forsøger man derefter at bestemme denne periode med svingning T af en masse m, der er fastgjort til en ideel fjeder af stivhed k i et tyngdefelt g . Disse fire fysiske størrelser har henholdsvis dimension:

T : s ;
m : kg ;
k : kg ⋅ s −2 ;
g : m ⋅ s −2 .

Fra disse fire variabler er det muligt at danne en enkelt forbindelse dimensioneløs . Ingen kombination har en faktor g , for her er den eneste, der har en længdekomponent. ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ frac {k \, T ^ {2}} {m}}}$

Faktisk kan dimensionel analyse pålægge stærke begrænsninger for relevansen af en fysisk størrelse i løsningen på et problem eller for behovet for at indføre komplementære parametre. Her er der nok variabler til at give en korrekt beskrivelse af problemet, og konklusionen er, at i virkeligheden er svingningsperioden for en masse knyttet til en fjeder ikke afhængig af tyngdekraften g : det ville være det samme på overfladen af jorden eller på månen.

Den dimensionsløse faktor, der er fundet, er a priori en "lille konstant", og ligningen kan omskrives i den ækvivalente form (ved at stille ): ${\ displaystyle \ pi _ {2} = {\ sqrt {\ pi _ {1}}}}$

{\ displaystyle T = \ pi _ {2} {\ sqrt {m \ over k}}}

Dimensionsanalyse alene kan ikke bestemme konstanten . Vi finder på andre måder end . $\ pi _ {2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2} = 2 \ pi}$

Synchrotron puls

Overvej et materialepunkt med masse m og elektrisk ladning q udsat for et ensartet magnetfelt . Det materielle punkt animeret med en hastighed udsættes for Lorentz-styrken : ${\ vec {B}}$ ${\ vec {vb}}$

{\ vec {F}} = q {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}}

Når materialepunktet beskriver en cirkel i planet vinkelret på magnetfeltet ved konstant vinkelhastighed ω . Denne vinkelhastighed skal afhænge af parametrene m , q og af problemet. ${\ vec {v}} \ perp {\ vec {B}}$ ${\ vec {B}}$

Vi kan se efter, om der er et simpelt forhold, som et produkt, mellem disse parametre:

\ omega = km ^ {{\ alpha}} q ^ {\ beta} B ^ {\ gamma}

hvor k , α, β og γ er ukendte konstanter og dimensionsløse tal.

Dimensionsligninger bruges til at bestemme disse tal. Faktisk har vi:

{\ rm {\ left [F \ right] = M \ cdot L \ cdot T ^ {{- 2}} = \ left [q \ cdot v \ cdot B \ right] = Q \ cdot L \ cdot T ^ { {-1}} \ venstre [B \ højre]}}

dermed ligningen for dimensionerne af et magnetfelt:

{\ rm {\ left [B \ right] = M \ cdot T ^ {{- 1}} \ cdot Q ^ {{- 1}}}}

Vi udleder deraf ligningen med dimensioner af ω :

\ left [\ omega \ right] = \ left [k \; m ^ {{\ alpha}} \; q ^ {{\ beta}} \; B ^ {{\ gamma}} \ right] = {\ rm {M ^ {{\ alpha}} \; Q ^ {{\ beta}} \; \ left [B \ \ right] ^ {{\ gamma}} = M ^ {{\ alpha + \ gamma}} \; Q ^ {{\ beta - \ gamma}} \; T ^ {{- \ gamma}}}}

Desuden vinkelhastigheden ω er forholdet mellem en vinkel divideret med en tid T 0 (perioden med rotation):

\ omega = {\ frac {2 \ pi} {T_ {0}}}

En vinkel er dimensioneløs, den kommer:

{\ rm {\ left [\ omega \ right] = T ^ {{- 1}} = M ^ {{\ alpha + \ gamma}} \ cdot Q ^ {{\ beta - \ gamma}} \ cdot T ^ {{- \ gamma}}}}

Vi udleder, at: γ = 1; a + y = 0 → a = -1; og β-γ = 0 → β = 1. Derfor er formen af ω : $\ omega = k \ cdot {\ frac {qB} {m}}$

Vi kalder " cyclotron pulsation " størrelsen: $\ omega _ {c} = {\ frac {qB} {m}}$

For dette præcise eksempel viser løsning af Newtons ligning af dynamik, at k = 1 nøjagtigt.

Derudover er B den eneste fysiske størrelse af dette monomium, der har en orienteringskarakter (det er en pseudovektor ). Forholdet kan derfor skrives i vektorform:

{\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}} _ {c} = {q \ over m} \ cdot {\ overset {\ hookrightarrow} {B}}}

Atombombenes energi

Ifølge legenden tillod dimensionel analyse Geoffrey Ingram Taylor i 1950 at estimere den energi, der frigives ved eksplosionen af en atombombe , da disse oplysninger blev klassificeret som hemmeligste . Til dette observerede han en film af en nuklear eksplosion i New Mexico, som det amerikanske militær havde frigivet i 1949. Energien blev trukket fra udvidelsen af atomsvampen.

Taylor antager på forhånd, at gaskugleudvidelsesprocessen i det mindste afhænger af følgende parametre:

tid t ;
energien E frigivet ved eksplosionen
tætheden af luften ρ .

Dimensionsanalysen fører den derefter for gassfeltets radius på tidspunktet t til ligningen:

r = k \; E ^ {{1/5}} \; \ rho ^ {{- 1/5}} \; t ^ {{2/5}}

hvor k er en dimensionsløs konstant. Taylor finder således igen den eksperimentelle lov til udvidelse af svampen

r (t) \ propto t ^ {{2/5}}

hvilket synes at validere hans valg af parametre. Han bestemmer derefter r og t ud fra filmen, og idet k antages at være af enhedens orden og ρ er kendt, opnår han endelig:

E \ sim {\ frac {\ rho \; r ^ {5}} {t ^ {2}}}

I virkeligheden brugte Taylor ikke denne forenklede ræsonnement. I sin første publikation på 15 sider bruger han dimensionel analyse til at forenkle de differentialligninger, der beskriver strømmen. Efter mange beregninger fik han endelig følgende meget enkle formel:

$r = k (\ gamma) \; E ^ {{1/5}} \; \ rho ^ {{- 1/5}} \; t ^ {{2/5}}$

hvor den numeriske størrelse griber ind, som afhænger af konstanten, der er lig med 1,4 ved omgivelsestemperatur, men som falder ved høj temperatur. Taylor er således overrasket i sin anden artikel om den meget gode overensstemmelse mellem formlen og værdierne målt på billederne og specificerer, at han forventede en mindre god aftale. $k (\ gamma)$ $\ gamma$

Det er derfor kun a posteriori takket være Taylors beregninger og den eksperimentelle observation, at temperatur ikke griber ind, at vi meget elegant kan finde udtryk for kernens svampens radius som en funktion af tid og af energien fra bomben.

Geoffrey Ingram Taylor og John von Neumann offentliggjorde denne elegante løsning uafhængigt under Anden Verdenskrig sammen med tre andre efter krigen, LI Sedov , R. Latter og J. Lockwood-Taylor.

Udtrykket af energi i eksemplet ovenfor (atombombe) kan opnås mere generelt uden at henvise til udvidelsen af en gassfære. Da det er et spørgsmål om hurtigt at finde det monomiale, der griber ind i forholdet , er enhver metode egnet: $E = f (\ rho, r, t)$

For eksempel og derfor hvorfra $E = mc ^ {2} \ Rightarrow [E] = {\ rm {M \ cdot L ^ {2} \ cdot T ^ {{- 2}}}}$ $\ rho = {\ frac mV} \ Rightarrow [\ rho] = {\ rm {M \ cdot L ^ {{- 3}}}}$ ${\ frac {[E]} {[\ rho]}} = {\ rm {L ^ {5} \ cdot T ^ {{- 2}}}}$ $E \ sim {\ frac {\ rho \; r ^ {5}} {t ^ {2}}}$

Generalisere metode: vi ser ud med , , og (se tabellen nedenfor ) ${\ displaystyle (a, b, c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle E = \ rho ^ {a} r ^ {b} t ^ {c}}$ ${\ displaystyle [E] = ML ^ {2} T ^ {- 2}}$ ${\ displaystyle [\ rho] = ML ^ {- 3}}$ ${\ displaystyle [r] = L}$ ${\ displaystyle [t] = T}$

${\ displaystyle E = \ rho ^ {a} r ^ {b} t ^ {c} \ Rightarrow [E] = [\ rho] ^ {a} \ times [r] ^ {b} \ times [t] ^ {c} \ Leftrightarrow M ^ {1} L ^ {2} T ^ {- 2} = M ^ {a} L ^ {- 3a + b} T ^ {c} \ Leftrightarrow (a, b, c) = (1,5, -2) \ Rightarrow E = \ rho r ^ {5} t ^ {- 2}}$

Sedimentationshastighed

En måde at udføre partikelstørrelsesanalysen af et fint sediment på er at anbringe det i en homogen suspension og derefter måle sedimentets højde som en funktion af tiden. Denne metode antager, at vi kender sedimentationshastigheden for en partikel som en funktion af dens diameter . Denne sedimenteringshastighed afhænger naturligvis også af tyngdeacceleration , væskens viskositet og den relative densitet , forskellen i densitet mellem sedimentet og væsken. Da der er fem parametre her for kun tre grundlæggende dimensioner, er det på forhånd kun muligt at bestemme en delvis afhængighed mellem parametrene. $v$ $d$ $g$ $\ mu$ $\ rho$

Det er imidlertid muligt at skelne i længdedimensionen mellem længderne målt i lodret retning i 1 z , retning af hastighed, acceleration og af effekten af viskositeten og dem målt i vandret i 1 x , retning hvor diameteren af den effektive sektion skal måles. Volumenet af en partikel kombinerer både en lodret retning og to vandrette.

Dimensionerne på disse variabler er derefter:

$v$ : Hastighed i L · T -1 · 1 z $\,$
$d$ : Diameter L · 1 x
$g$ : Gravitationsacceleration i L · T -2 · 1 z $\,$
$\ mu$ : Dynamisk viskositet M · L -1 · T -1 $\,$ $\,$ 1 z -1
$\ rho$ : Densitet M · L -3 $\,$ 1 z -1 1 x -2

Formelens homogenitet pålægger derefter:

{\ displaystyle \ mathrm {Cte} = {v \ mu \ over \ rho gd ^ {2}}}

Dette svarer til Stokes lov , for hvilken konstanten er lig med 2/9.

Kosmologi: Hubble-radius

I dette eksempel, der gælder for kosmologi, bruger vi dimensionalanalysen (længde, masse og tid) fra de tre konstanter, G ,, og produktet af masserne af de 3 vigtigste atompartikler (elektron, proton og neutron) mest præcist bestemt ( præcision 10 -10 se CODATA 2018): $\ hbar$

${\ displaystyle m ^ {3} = m_ {e} \ times m_ {p} \ times m_ {n}}$
dimensionel analyse giver afstanden: Milliarder lysår; ${\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {Gm ^ {3}}} = 6.900}$
på den anden side, den karakteristiske længde af horisonten af en Schwarzschild sort hul er , R H er den radius af Hubble , vi opnår R H = 13,80 milliarder lysår svarende til 70,84 km / r af Mega parsec ${\ displaystyle {\ frac {R_ {H}} {2}}}$

Dette resultat er i overensstemmelse med de seneste skøn, bortset fra at det ikke kan relateres til en alder, da de fysiske og matematiske konstanter er uforanderlige i tid og rum.

Historisk

Oprindelsen til dimensionel analyse debatteres blandt historikere. Matematikerne Leonard Euler og Joseph Fourier og fysikeren Rayleigh citeres generelt for at have ydet vigtige bidrag under den antagelse, at fysiske love, som ikke bør afhænge af de enheder, der bruges til at måle de fysiske størrelser, der vises i formlen. Dette krav fører til den konklusion, at en fysisk lov skal danne en "homogen" ligning mellem disse forskellige enheder; resultatet blev endelig formaliseret med Vaschy-Buckingham-sætningen . Men den første anvendelse af en dimensionel analyse synes at skyldes Savoyard-matematikeren François Daviet de Foncenex (1734–1799) i et værk, der blev offentliggjort i 1761, 61 år før Fouriers arbejde. Under alle omstændigheder etablerer James Clerk Maxwell den moderne tilgang til dimensional analyse ved at stille, at masse, længde og tid var grundlæggende enheder og ved at kvalificere de andre som "afledte". ${\ textstyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$

Selvom Maxwell definerede tid, længde og masse som "de tre grundlæggende enheder", bemærkede han ikke desto mindre, at tyngdekraftsmassen kunne være en størrelse afledt af tid og længde, hvilket førte til afledningen $M = L 3 \cdotT -2$ , forudsat at i Newtons universelle gravitationslov tages tyngdekonstanten $G$ lig med enhed. Ligeledes ved at skrive Coulombs lov i en form, hvor konstanten $k e$ er sat lig med én, bestemmes Maxwell at dimensionen af det elektrostatiske enhed bør være $Q = L 3/2 \cdotM 1/2 \cdotT -1$ , og under hensyntagen at han desuden betragtede massen som en afledt størrelse $M = L 3 \cdotT -2$ , den elektriske ladning havde derefter den samme dimension som en masse, dvs. $Q = L 3 \cdot T -2$ .

Dimensionsanalyse gør det også muligt at udlede den form, der skal have forholdet mellem de fysiske størrelser, der griber ind i et fænomen, som man søger at inkludere / forstå og karakterisere. Rayleigh ser ud til at have brugt det i denne forstand den første i 1872 for at forsøge at forklare, hvorfor himlen er blå. Rayleigh offentliggjorde sin metode i 1877 i sin bog om The Theory of Sound .

Det er i sit arbejde Théorie de la Chaleur, at Joseph Fourier introducerer "dimensionen", som han oprindeligt assimilerede med de numeriske værdier taget af eksponenterne for basisenhederne. For ham er accelerationen derfor f.eks. Af dimension 1 i forhold til længdeenheden og dimension -2 i forhold til tidsenheden. For Maxwell er accelerationens "dimension" hele udtrykket $L\cdotT -2$ og ikke serien af eksponenter; det er denne terminologi, der bruges i dag.

Modellering

Fra slutningen af 19 th og begyndelsen af 20 th århundrede, med den yderligere undersøgelse af egenskaberne for væsker og krop bevæger sig i væsker, fysikere som Ludwig Prandtl , Theodore von Karman , Albert Shields , Johann Nikuradse og Rayleigh brugte dimensionsanalyse at reproducere i laboratoriet og under kontrollerbare forhold opførsel af fysiske fænomener, men med forskellige hastigheder eller tætheder, baseret på de love om lighed, der gælder for modeller af forskellige skalaer. Dette lighedsprincip, som gør det muligt at studere fysiske fænomener på forskellige skalaer, er grundlaget for teorien om lignelse, også kaldet modelteori.

Dimensionsanalyse er faktisk underliggende modellering og lighed. De Vaschy-Buckingham sætningen viser, at for enhver fysisk formel involverer $n$ uafhængige dimensionale variable, afhængigt af $k$ grundlæggende enheder, med formlen kan omdannes til en tilsvarende formel afhængigt nk dimensionsløse variable udledt fra de første variable. Denne transformation gør det muligt at anvende den samme lov og derfor reproducere det samme fænomen i forskellige skalaer, så længe disse dimensionsløse tal er identiske i begge tilfælde. I et vigtigt særligt tilfælde, når $n = k$ , er der ingen fri variabel uden dimension, og sætningen antyder, at det dimensionsløse udtryk, som variablerne kan danne, er konstant for det betragtede fænomen.

Omvendt er det kun nødvendigt at studere systemets opførsel i studiet af et fysisk fænomen, når disse dimensionsløse variabler varierer, mens resten udledes af proportionalitet. En dimensionel analyse gør det derefter muligt at identificere de relevante variabler til undersøgelse af det betragtede fænomen, hvilket kræver en god fornemmelse af fysisk virkelighed, men derefter gør det muligt at begrænse den eksperimentelle plan til kun disse dimensioner. Alle resultatdiagrammer, hvor akserne er dimensionsløse tal, stammer fra dimensional analyse.

Noter og referencer

(en) / (de) / (it) Denne artikel er helt eller delvist taget fra artikler med titlen på engelsk " Dimensional analysis " ( se listen over forfattere ) , på tysk " Dimensionsanalyse " ( se listen over forfattere ) og på italiensk ” Analisi dimensionale ” ( se listen over forfattere ) .

Bemærkninger

Det logaritmiske afledte er en tilsyneladende undtagelse: vi tillader os at skrive , selv når $x$ ikke er dimensionsløs (i stedet for hvor $x$ $0$ er en konstant med samme dimension som $x$ ), fordi de to operationer formelt giver det samme resultat . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (\ ln x)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (\ ln {\ frac {x} {x_ {0}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {d} \ left (\ ln {\ frac {x} {x_ {0}}} \ right) = {\ frac {x_ {0}} {x}} \ mathrm {d} \ left ({\ frac {x} {x_ {0}}} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}}$
" Begynder tilsyneladende med Maxwell begyndte masse, længde og tid at blive fortolket som havende en privilegeret grundlæggende karakter og alle andre størrelser som afledte, ikke kun med hensyn til måling, men også med hensyn til deres fysiske status " .
Sådanne overvejelser, der sigter mod at definere disse enheder på en sådan måde, at visse grundlæggende konstanter er værd at enheden, er faktisk i bunden af systemerne for naturlige enheder . Imidlertid er en reduktion i baseenheder ikke ønskelig i praksis, selv om det er teoretisk muligt. Fortsætter vi i denne logik, kan vi vælge, at lysets hastighed er ens, yderligere reducere længden til en afledt enhed, og så ... Men hvis alle de fysiske størrelser endelig kommer ned til en tids dimension, er dimensionalanalysen nej giver længere information og har ikke længere en grund til at eksistere. ${\ displaystyle \ scriptstyle c = 1}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle T = L = M = Q}$

Referencer

H.Sidhoum, M.Babout, L.Frécon, “Ampère2, et programmeringssprog for fysik”, The European Journal of Physics , bind 11, 1990, s. 163-171 .
David Rouvel "Scolia on the International System of Units (SI)," Bulletin of the Union of physicists , nr . 911, februar 2009, side 212.
Green Book of IUPAC , 3 e ed. , 2007, side 4
" Resolution 8 i 20 th GFCM - Fjernelse af klassen af supplerende enheder i SI " på bipm.org , Internationale Bureau for Mål og Vægt ,1995.
Huntley, HE (1967), Dimensionsanalyse, Dover, LOC 67-17978
Introduktion til dimensionel analyse for geografer . Robin Haynes, 1982, s.33-34.
Donald Siano , orienteringsanalyse - et supplement til dimensionel analyse - I , bind. 320, koll. "Journal of the Franklin Institute",1985, 267-283 s. ( DOI 10.1016 / 0016-0032 (85) 90031-6 ) , kap. 6
Donald Siano , Orienteringsanalyse, Tensoranalyse og SI-supplerende enheders gruppeegenskaber - II , bind. 320, koll. "Journal of the Franklin Institute",1985, 285–302 s. ( DOI 10.1016 / 0016-0032 (85) 90032-8 ) , kap. 6
Pietro-Luciano Buono, " Enheden i matematisk modellering ", Accromath , vol. 12. sommer-efterår 2017 ( læs online [PDF] )
Taylor, Sir Geoffrey Ingram, "Dannelsen af en eksplosionsbølge ved en meget intens eksplosion. II. Atomeksplosionen fra 1945," Proceedings of the Royal Society of London. Serie A, matematiske og fysiske videnskaber , bind. 201, nr. 1065, s. 175-186 (22. marts 1950). [ læs online ]
Taylor, Sir Geoffrey Ingram, "Dannelsen af en eksplosionsbølge ved en meget intens eksplosion. I. Teoretisk diskussion," Proceedings of the Royal Society of London. Serie A, matematiske og fysiske videnskaber , bind. 201, nr. 1065, s. 159-174 (22. marts 1950). [ læs online ]
Neumann, John von, "Punktkildeløsningen," John von Neumann. Samlede værker , redigeret af AJ Taub, bind. 6 [Elmsford, NY: Permagon Press, 1963], side 219-237.
Sedov, LI, "Formering af stærke stødbølger", Journal of Applied Mathematics and Mechanics , Vol. 10, side 241-250 (1946).
Latter, R., "Lignelsesløsning til en sfærisk stødbølge", Journal of Applied Physics , bind. 26, s. 954-960 (1955).
Lockwood-Taylor, J., "En nøjagtig løsning på det sfæriske eksplosionsbølgeproblem," Philosophical Magazine , bind. 46, side 317-320 (1955).
Batchelor, George, The Life and Legacy of GI Taylor , [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1996], side 202 - 207. [ læs online ]
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/CCValue?me
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mp
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mn
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt .
(i) Jean Maruani , Den Dirac Electron: Fra kemi til Quantum Cosmology Holistisk i Journal of bind 63 spørgsmålet den kinesiske Chemical Society 1 , Taipei, Wiley-VCH Verlag GmbH,2016, 33-48 s. ( DOI https://doi.org/10.1002/jccs.201500374 )
http://www.ptep-online.com/2019/PP-57-12.PDF
Denne beregning blev deponeret den 4. marts 1998 af Francis M. Sanchez under forseglet dækning nr. 17367 på videnskabsakademiet (Frankrig) under referencen: DC / n ° 17367 attesteret af Jack BLACHERE den 11. marts 1998.
(i) John Claude_Pecker og Jayant_Narlikar (redaktører), aktuelle emner i kosmologi , Cambridge, Cambridge University Press ,2006, 257-260 s. ( ISBN 978-1-107-40343-7 )
Henri Poincaré , videnskab og hypotese , Paris, Flammarion Library of Scientific Philosophy ,1902
(in) Enzo O. Macagno , " Historisk-kritisk gennemgang af dimensionel analyse " , Journal of the Franklin Institute , bind. 292, nr . 6,1971, s. 391–40 ( DOI 10.1016 / 0016-0032 (71) 90160-8 , læs online )
(en) Roberto De A. Martins , " The origin of dimensional analysis " , Journal of the Franklin Institute , bind. 311, nr . 5,nitten og firs, s. 331–7 ( DOI 10.1016 / 0016-0032 (81) 90475-0 , læs online )
Afhandling om solid mekanik, 1765 apud Dic. Phys. .
Analytisk teori om varme , 1822 apud Dic. Phys. .
Theory of Sound , 1877 apud Dic. Phys. .
Stephen Finney Mason , En videnskabshistorie , New York, Collier Books,1962( ISBN 0-02-093400-9 ) , s. 169
John J Roche , Matematikens matematik: En kritisk historie , Springer,1998, 330 s. ( ISBN 978-0-387-91581-4 , læs online ) , s. 203.
James Clerk Maxwell , en afhandling om elektricitet og magnetisme ,1873, s. 4
James Clerk Maxwell , en afhandling om elektricitet og magnetisme ,1873, s. 45
Baron John William Strutt Rayleigh , Theory of Sound , Macmillan ,1877( læs online )
Joseph J Fourier , Theory of Heat ,1822( læs online ) , s. 156
James Clerk Maxwell , A Treatise on Electricity and Magnetism, bind 1 ,1873( læs online ) , s. 5

Se også

Bibliografi

Richard Taillet , Loïc Villain og Pascal Febvre , Dictionary of Physics , Bruxelles, De Boeck ,2013, s. 25
Bernard Diu , fysikens matematik , Paris, Odile Jacob ,2010, s. 109-256 (Tredje del "Dimensionsanalyse", fjerde og femte del).

Relaterede artikler

eksterne links

(en) Fysiske enheder og matematisk repræsentation . Chester H. Page, tidsskrift for forskning fra National Bureau of Standards-B. Matematik og matematisk fysik. Vol 65B, nr. 4, oktober-december 1961.
(fr) N-Category Café : John Baez's blog om dimensional analyse.
(en) En udforskning af fysik ved dimensionel analyse
SI på bipm.org
Jean Villey. Temperatur i dimensionel analyse . J. Phys. Radium, 1944, 5 (8), s. 164-172 . <10.1051 / jphysrad: 0194400508016400>. <jpa-00233879>.
Det fysiske grundlag for dimentional analyse , Ain A. Sonin, MIT, 2001.
13 Dimensionelle analyserelaterede PDF-filer .
(en) Det fysiske grundlag for dimensionel analyse , Ain A. Sonin, 2. udgave, 2001.