Volterra integreret ligning
I analyse er en Volterra- integralligning en integralligning .
Historie
Integrale ligninger vises især i løsning af Cauchy-problemer og lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Ivar Fredholms arbejde med teorien om integrerede ligninger af anden art har gjort det muligt at opnå resultater på opløsningen ( Fredholm-alternativet ).
Definitioner
Integrerede ligninger afhænger af en funktion K , som vi kalder kernen i ligningen. Den største forskel mellem Fredholms integrale ligninger og Volterras ligninger ligger i grænserne for den integrale operator: Fredholms ligninger er faste, mens Volterras ligninger er variable.
Volterra integreret ligning af den første slags
Volterra-integralligningen af den første slags er en integralligning af formen:
g(x)=∫påxK(x,t,f(t))dt{\ displaystyle g (x) = \ int _ {a} ^ {x} K (x, t, f (t)) \ mathrm {d} t}
hvor f er den ukendte funktion, får K og g funktioner.
Volterra integralligning af anden slags
Volterra-integralligningen af den anden slags er et specielt tilfælde af de lineære Fredholm-integralligninger af den anden art:
f(x)=g(x)+λ∫påxK(x,t,f(t))dt,på⩽t⩽x⩽b{\ displaystyle f (x) = g (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x, t, f (t)) \ mathrm {d} t, \ quad a \ leqslant t \ leqslant x \ leqslant b}
hvor f er den ukendte funktion, får K og g funktioner og λ en fast numerisk parameter.
Lineære og homogene former
Ligningen siges at være lineær, hvis kernen har formen
K(x,t,f(t))=K(x,t)f(t){\ displaystyle K (x, t, f (t)) = K (x, t) f (t)}
Ligningen siges at være homogen, hvis g = 0 .
Passage mellem ligningerne af den første slags og den anden
Ved differentiering af en Volterra-integralligning af den første art finder vi:
g′(x)=K(x,x,f(x))+∫påx∂K∂x(x,t,f(t))dt{\ displaystyle g '(x) = K (x, x, f (x)) + \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {\ partial K} {\ partial x}} (x, t, f (t)) \, \ mathrm {d} t}
som er i form af ligningen af den anden slags.
Opløsninger
Ved Picard-iterationsmetoden
Picard-iterationsmetoden består i at konstruere en løsning som grænsen for en række funktioner defineret ved induktion:
∀ikke⩽0, fikke+1(x)=g(x)+λ∫påbR(x,t,fikke(t))dt.{\ displaystyle \ forall n \ leqslant 0, \ f_ {n + 1} (x) = g (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} R (x, t, f_ {n} (t )) \ mathrm {d} t.}
Det fungerer, hvis g og K er kontinuerlige. Vi antager først, at f 0 fortsætter.
Efter metoden fra Fredholm
Løsning efter Fredholms metode giver en løsning på formen
f(x)=g(x)+λ∫påbR(x,t;λ)g(t)dt{\ displaystyle f (x) = g (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} R (x, t; \ lambda) g (t) \ mathrm {d} t}
med R betegner Fredholms beslutning
R(x,t;λ)=D(x,t;λ)D(λ){\ displaystyle R (x, t; \ lambda) = {\ frac {D (x, t; \ lambda)} {D (\ lambda)}}}
hvor funktionerne D er defineret af
D(λ)=∑ikke=1+∞(-1)ikkeikke!VSikkeλikke , D(x,t;λ)=K(x,t)+∑ikke=1+∞(-1)ikkeikke!Bikke(x,t)λikke{\ displaystyle D (\ lambda) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} C_ {n} \ lambda ^ {n } \, \ D (x, t; \ lambda) = K (x, t) + \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n !}} B_ {n} (x, t) \ lambda ^ {n}}
med
VSikke=∫påb∫påb...∫påb⏟ikke tid|K(t1,t1)K(t1,t2)...K(t1,tikke)K(t2,t1)K(t2,t2)...K(t2,tikke)⋮⋮⋱⋮K(tikke,t1)K(tikke,t2)...K(tikke,tikke)|dt1...dtikke , Bikke(x,t)=∫påb∫påb...∫påb⏟ikke tid|K(x,t)K(x,t1)...K(x,tikke)K(t1,t)K(t1,t1)...K(t1,tikke)⋮⋮⋱⋮K(tikke,t)K(tikke,t1)...K(tikke,tikke)|dt1...dtikke.{\ displaystyle C_ {n} = \ underbrace {\ int _ {a} ^ {b} \ int _ {a} ^ {b} \ ldots \ int _ {a} ^ {b}} _ {n \ {\ textrm {times}}} \ left | {\ begin {matrix} K (t_ {1}, t_ {1}) & K (t_ {1}, t_ {2}) & \ ldots & K (t_ {1} , t_ {n}) \\ K (t_ {2}, t_ {1}) & K (t_ {2}, t_ {2}) & \ ldots & K (t_ {2}, t_ {n}) \ \\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ K (t_ {n}, t_ {1}) & K (t_ {n}, t_ {2}) & \ ldots & K (t_ {n}, t_ {n}) \ \\ slut {matrix}} \ højre | \ mathrm {d} t_ {1} \ ldots \ mathrm {d} t_ {n} \, \ B_ {n} (x, t) = \ underbrace {\ int _ {a} ^ {b} \ int _ {a} ^ {b} \ ldots \ int _ {a} ^ {b}} _ {n \ {\ textrm {times}}} \ left | {\ begin {matrix} K (x, t) & K (x, t_ {1}) & \ ldots & K (x, t_ {n}) \\ K (t_ {1}, t) & K (t_ {1}, t_ {1}) & \ ldots & K (t_ {1}, t_ {n}) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ K (t_ {n}, t) & K (t_ {n}, t_ {1}) & \ ldots & K (t_ {n}, t_ {n}) \\\ end {matrix}} \ højre | \ mathrm {d} t_ {1} \ ldots \ mathrm {d} t_ {n}.}
Funktionen D ( x , t ; λ) er Fredholm-determinanten , og D (λ) er Fredholm-minoren .
Referencer
-
Émile Cotton, " Successive approximations and different equations ", Mémorial des sciences mathatique , nr . 28,1928( læs online )
Se også
eksterne links
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">