Barré de Saint-Venant ligninger

Kvasi-endimensionelle strømme, for eksempel vandløb, er beskrevet af Barré de Saint-Venants ligninger opnået af Adhémar Barré de Saint-Venant i 1871 og afklaret i 1888.

Ved udvidelse er dette navn blevet udvidet til at strømme i lavt vand (på engelsk lavt vand ), der svarer til kvasidimensionelle problemer. De findes i geofysik for eksempel til at beskrive tidevandsstrømme . Til disse fænomener er tilknyttet bølger ( Rossby-bølge , Kelvin-bølge , bølge Poincaré, tidevand , tsunami ), undersøgelsen af ​​nogle af dem er før 1850.

Disse strømme er repræsentative for ikke-spredende medier. Ellers er mediet beskrevet af Boussinesq-ligningerne .

Der strømmer lavt vand

Vi betegner med s ( x , y ) overfladens højde i forhold til geoiden , ved b ( x , y ) den faste overflade, ved H = s - b højden af ​​væsken og g tyngdekraften tælles negativt ned.

Ligningerne for strømme i lavt vand, hvor man antager den lodrette komponent w af den lille hastighed foran de vandrette komponenter, og disse uafhængige af z skrives

∂s∂t+∂∂x(Hu)+∂∂y(Hv)=0,H=s-b{\ displaystyle {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (Hu) + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} (Hv ) = 0 \ ,, \; \; \; \; \; H = sb} ∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+g∂s∂x=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + g {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} = 0} ∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+g∂s∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} + g {\ frac {\ partial s} {\ partial y}} = 0}

Trykket udledes af den hydrostatiske balance i hver lodret akse.

De generaliseres let i det tilfælde, hvor man ønsker at tage hensyn til Coriolis-styrken og sværere, hvis man ønsker at tage hensyn til de tyktflydende virkninger.

Demonstration

Grundlæggende ligninger

De Euler ligninger skrives

• Incompressibilitetsligning for hastighedsvektoren V = ( u , v , w )

∇⋅V=0{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}

• Momentum balance ligning

DVDt=∂V∂t+∇⋅(VV)=-1ρ∇s+g{\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {V}} {Dt}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {\ nabla} p + \ mathbf {g}}

hvor ρ er konstant tæthed, p er tryk og g er tyngdekraften.

Betingelser til det yderste

Højderne tælles i forhold til geoiden .

Grænsebetingelserne er

• på gulvet z = -b ( x , y ) er hastigheden nul

V⋅∇(z+b)=0=w+V⋅∇b{\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ nabla (z + b) = 0 = w + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla b}

• på overfladen z = s ( x , y ) er trykket det ydre tryk p 0 og den normale hastighed w er relateret til s ved

DsDt=∂s∂t+V⋅∇s=w{\ displaystyle {\ frac {Ds} {Dt}} = {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla s = w}

Massebevarelse

Vi introducerer vandhøjden H = s - b og gennemsnitshastighederne

u¯=1H∫-bsudz,v¯=1H∫-bsvdz{\ displaystyle {\ overline {u}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {- b} ^ {s} u \ mathrm {d} z \ ,, \; \; \; {\ overline {v}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {- b} ^ {s} v \ mathrm {d} z}

Ved at integrere ligningen af ​​kontinuitet i z og bruge Leibniz's regel, vi har

0=∫-bs∇⋅Vdz=∫-bs(∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z)dz=∂∂x∫-bsudz⏟Hu¯+∂∂y∫-bsvdz⏟Hv¯-u|z=s∂z∂x-v|z=s∂z∂y+w|z=s⏟w-V⋅∇s=∂s∂t=∂H∂t-(u|z=-b∂b∂x+v|z=-b∂b∂y+w|z=-b)⏟w+V⋅∇b=0{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} 0 & = & \ int _ {- b} ^ {s} \ nabla \ cdot \ mathbf {V} \ mathrm {d} z \\ [0.6em] & = & \ int _ {- b} ^ {s} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} + {\ frac {\ delvis w} {\ partial z}} \ right) \ mathrm {d} z \\ [0.6em] & = & {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ underbrace {\ int _ {- b} ^ {s} u \ mathrm {d} z} _ {H {\ overline {u}}} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ underbrace {\ int _ {- b} ^ {s } v \ mathrm {d} z} _ {H {\ overline {v}}} \ underbrace {- \ left.u \ right | _ {z = s} {\ frac {\ partial z} {\ partial x} } - \ left.v \ right | _ {z = s} {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} + \ left.w \ right | _ {z = s}} _ {w- \ mathbf {V} \ cdot \ nabla s = {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial H} {\ partial t}}} - \ underbrace {\ left (\ left.u \ right | _ {z = -b} {\ frac {\ partial b} {\ partial x}} + \ left.v \ right | _ {z = -b} {\ frac {\ partial b} {\ partial y}} + \ left.w \ right | _ {z = -b} \ right)} _ {w + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla b = 0} \ end {array}}}

Vi opnår således en ny massebevaringsligning

∂H∂t+∂∂x(Hu¯)+∂∂y(Hv¯)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial H} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (H {\ overline {u}}) + {\ frac {\ partial} { \ partial y}} (H {\ overline {v}}) = 0}

Hvis vi desuden antager, at u og v uafhængigt af z bliver denne ligning

∂H∂t+∂∂x(Hu)+∂∂y(Hv)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial H} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (Hu) + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} (Hv ) = 0}

Bevaring af momentum

Langs lodret

Efter hypotese er w meget lille sammenlignet med u og v . Den lodrette komponent i momentumligningen skrives, idet derivaterne af u ved x og v ved y forsømmes

DwDt=-1ρ∂s∂z+g,g<0{\ displaystyle {\ frac {Dw} {Dt}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} + g \ ,, \; \; \ ; \; \; g <0}

Ved at forsømme det lagrangiske derivat af w reduceres momentumligningen i z til hydrostatisk ligevægt

∂s∂z=ρg{\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} = \ rho g}

hvis løsning er øjeblikkelig ( g antages at være konstant på den betragtede højde)

s=ρg(z-s)+s0{\ displaystyle p = \ rho g (zs) + p_ {0}}

hvorfra

∂s∂x=-ρg∂s∂x,∂s∂y=-ρg∂s∂y{\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} = - \ rho g {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} \ ,, \; \; \; \; \; { \ frac {\ partial p} {\ partial y}} = - \ rho g {\ frac {\ partial s} {\ partial y}}}Langs vandret

Ved at forsømme derivaterne i z af u og v og ved at tage hensyn til ovenstående ligninger skrives komponenterne i momentumligningen

∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+g∂s∂x=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + g {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} = 0} ∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+g∂s∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} + g {\ frac {\ partial s} {\ partial y}} = 0}

Dette system er hyperbolsk og indrømmer som sådan karakteristiske bølger kaldet tyngdekraftsbølger. Disse har en hastighed, som man udleder af egenværdierne

vs.=gH{\ displaystyle c = {\ sqrt {gH}}}

En simpel dimensionel analyse er nok til at bekræfte denne værdi.

En beskrivelse af disse bølger kan opnås ved at skrive bevaringsligningen af ​​masse ganget med g ½ og bevaringsligningerne lineariseret og ganget med H ½ . Vi antager, at formeringsretningen er x

∂∂t(sg)+∂∂x(Huvs.)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (s {\ sqrt {g}}) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} ({\ sqrt {H}} uc) = 0} ∂∂t(uH)+vs.∂∂x(sH)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (u {\ sqrt {H}}) + c \, {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (s {\ sqrt {H }}) = 0}

Ved substitution opnår vi en bølgeligning

∂2∂t2(sg)=∂∂x(vs.2∂∂x(sg)){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} (s {\ sqrt {g}}) = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (c ^ {2} \, {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (s {\ sqrt {g}} \ right) \ right)}

Denne ligning beskriver en tidevandsbølge (engelsk tidevandsbølge ).

Saint-Venant ligninger

Disse ligninger blev beskrevet heuristisk og offentliggjort af Saint-Venant i 1871. De beskriver den kvasi-endimensionelle strømning i en kanal eller et vandløb med bredden l ( x ). Strømningens tværsnitsareal er A ( x , t ), og gennemstrømningshastigheden er U ( x , t ). Vandhøjden er h ( y , t ), regnet fra bunden z = 0. Massebevaringsligningen er skrevet

∂PÅ∂t+∂∂x(PÅU)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (AU) = 0}

Den langsgående momentumligning er skrevet

∂∂t(hU)+∂∂x(hU2)+gh∂h∂x=τxρ{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (hU) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (hU ^ {2}) + gh {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} = {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

τ x ( x , t ) er forskydningen, der påføres den våde omkreds P ( x , t ).

Ligningen i z er givet ved den hydrostatiske ligevægt

∂s∂z=ρg{\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} = \ rho g}

Disse ligninger kan fås fra Navier-Stokes ligningerne .

Demonstration Massebevarelse

Som vist i den foregående boks, bevares et punkt i kanalen ved

∂h(y)∂t+∂∂x∫0h(y)u(y,z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial h (y)} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ int _ {0} ^ {h (y)} u (y , z) \ mathrm {d} z = 0}

Ved at integrere i y opnår vi den ønskede relation ved at bemærke det

PÅ=∫0lh(y)dy{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {l} h (y) \ mathrm {d} y}

og indstilling af gennemsnitshastighed

U=1PÅ∫0l∫0hu(y,z)dzdy{\ displaystyle U = {\ frac {1} {A}} \ int _ {0} ^ {l} \ int _ {0} ^ {h} u (y, z) \ mathrm {d} z \ mathrm { D y}Bevaring af momentum

Vi starter fra ligning med lavt vand med viskositet, hvor den gennemsnitlige tværgående hastighed er nul

∂∂t(hU)+∂∂x(hU2)+gh∂h∂x=τxρ{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (hU) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (hU ^ {2}) + gh {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} = {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

hvor τ x er forskydningen på væggen.

Det tror vi

• ∂h∂x{\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ partial h} {\ partial x}}}er uafhængig af y (hældningen i x er den samme for alle punkterne i den lige sektion)
• τ x er også uafhængig af y

Ved at integrere i y kommer det

∂∂t(PÅU)+∂∂x(PÅU2)+gPÅ∂h∂x=Pτxρ{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (AU) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (AU ^ {2}) + gA {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} = {\ frac {P \ tau _ {x}} {\ rho}}}

Vi kan tage hensyn til jordens hældning α ved at erstatte tyngdekraften med dens komponent i z og ved at indføre vægten i x

∂∂t(hU)+∂∂x(hU2)+ghcos⁡a∂h∂x=ghsynd⁡a-τxρ{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (hU) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (hU ^ {2}) + gh \ cos \ alpha {\ frac { \ partial h} {\ partial x}} = gh \ sin \ alpha - {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

Forskydningsvurdering

Denne evaluering udføres generelt ved at indføre en friktionskoefficient Cf for grænselaget på den våde omkreds.

τx=12VSf(h,U)ρU2{\ displaystyle \ tau _ {x} = {\ frac {1} {2}} C_ {f} (h, U) \ rho U ^ {2}}

Denne koefficient repræsenterer den del af momentumstrømmen, der overføres til væggen. Dens form stammer fra lovene om lignelse  : love fra Chézy eller Manning-Strickler

VSf(h)=2gKs2h13{\ displaystyle C_ {f} (h) = {\ frac {2g} {K_ {s} ^ {2} \, h ^ {\ frac {1} {3}}}}}

Koefficienten K er resultatet af erfaring.

Referencer

1. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, "  Teori om den ikke-permanente bevægelse af vand med anvendelse på flodoversvømmelser og introduktion af tidevand i deres senge  ", Ugentlige rapporter om sessioner fra Academy of Sciences , vol. .  73,1871, s.  147–154 og 237–240
2. M. de Saint-Venant, "  Memoir om overvejelsen af ​​centrifugalkraft ved beregningen af ​​bevægelsen af ​​rindende vand og om sondringen mellem torrents og floder  ", Memoirs of the Academy of Sciences ved Institute of France , bind.  44,1888, s.  245-273 ( læs online )
3. M. de Saint-Venant, "  Memoir om tabet af en væskes levende kraft på steder, hvor dens strømningssektion stiger brat eller hurtigt  ", Memoirer fra Academy of Sciences ved Institut de France , bind.  44,1888, s.  193-243 ( læs online )
4. (i) Alex DD Craik, "  The Origins of Water Wave Theory  " , Annual Review of Fluid Mechanics , bind.  36,2004, s.  1-28 ( læs online )
5. (i) David A. Randall, "  The Lavtvands ligninger  "

Arbejder

• (en) Hendrik C. Kuhlmann og Hans-Josef Rath (red.), Free Surface Flows , Springer-Verlag ,1998, 331  s. ( ISBN  978-3-7091-2598-4 , læs online )
• Olivier Thual, Bølger og væsker: multimedieundervisningsartikler , Toulouse, Cépaduès ,2005, 197  s. ( ISBN  2-85428-655-3 )
• Olivier Thual, hydrodynamik i miljøet , Les éditions de l'École Polytechnique,2010( læs online )
• (en) Geoffrey K. Vallis, atmosfærisk og oceanisk væskedynamik , Cambridge University Press ,2017( ISBN  978-1-107-58841-7 )

Se også

• Bølge
• Blæksprutte (hydrodynamisk)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">