Neutral element

I matematik , mere præcist i algebra , er et neutralt element (eller identitetselement ) af et sæt til en intern kompositionslov et element i dette sæt, som efterlader alle de andre elementer uændrede, når det er sammensat med dem af denne lov. En magma med et neutralt element siges at være samlet .

Definition

Eller en magma. Et element af siges: $(E, \ stjerne)$ $e$ $E$

neutral til venstre hvis ; $\ forall x \ i E, \ e \ star x = x$
neutral til højre hvis ; $\ forall x \ i E, \ x \ star e = x$
neutral, hvis den er neutral til højre og til venstre.

Eksempler

Et neutralt element vedrører den lov, der betragtes:

0 er det neutrale element af aritmetisk addition såvel som binært " eller ";
1 er det neutrale element i aritmetisk multiplikation såvel som binært " og ";
Den enhed matrix af orden n er den neutrale element i multiplikation af kvadratiske matricer af orden n ;
Det tomme ord er det neutrale element i sammenkædningen af strenge.

Ejendomme

Det er muligt, at det neutrale element til venstre (resp. Til højre) ikke er unikt. Overvej f.eks. Et sæt E, der indeholder mindst to elementer. Vi kan definere en lov G på E med formlen G ( x , y ) = x og en lov D med formlen D ( x , y ) = y . For loven G er ethvert element neutralt til højre og intet neutralt til venstre. For D- loven er ethvert element neutralt til venstre og intet neutralt til højre.
På den anden side, hvis der er et neutralt element til venstre og et neutralt element til højre, så tillader sættet et enkelt neutralt element, og derudover er ethvert neutralt element til venstre (resp. Til højre) lig med det. Ja, for alle elementer e g neutral til venstre og e d neutral til højre, har vi: e d = e g e d = e g .
I denne situation - især når G er en gruppe - det eneste neutrale element G kaldes almindeligvis den neutrale af G .
I en gruppe er det neutrale det eneste idempotente element , det vil sige det eneste element x således at xx = x .

Noter og referencer

N. Bourbaki , Algebra , kap. Jeg, s. I-12 .
Aviva Szpirglas , Algebra L3: Komplet kursus med 400 prøver og korrigerede øvelser [ detalje af udgaven ], Del III: grupper, eksempler 6.2.
Jean-Pierre Marco og Laurent Lazzarini, Matematik L1 , s. 119 , forhåndsvisning på Google Bøger .
Jean-Marie Monier, MPSI Methods and Exercises of Mathematics , s. 213 , forhåndsvisning på Google Bøger .

Se også