Baglæns

I matematik er det inverse af et element $x$ (hvis det findes) det element, der ganges med $x$ , giver et . Vi betegner det $x$ −1 eller . $\ scriptstyle {\ frac 1x}$

For eksempel i , det omvendte af er , siden . $\ mathbb {R}$ $3$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0 {,} 333 \ prikker}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ times 3 = 1}$

Definition

Lad være en monoid , dvs. et sæt forsynet med en associerende intern kompositionslov , som vi betegner , og et neutralt element for betegnet . $S$ $\ gange$ $\ gange$ $1$

Et element siges at være inverterbart, hvis der er et element som f.eks . $x \ i S$ ${\ displaystyle y \ i S}$ ${\ displaystyle x \ gange y = y \ gange x = 1}$

Telet , som så er unikt, kaldes det inverse af og bemærkes . $y$ $x$ $x ^ {{- 1}}$

Sammenfattende: det modsatte er navnet på det symmetriske element , når loven bemærkes gentagne gange .

Hovedsager

Når vi taler om invertible elementer, placerer vi os ofte i en gruppe eller i en ring .

Gruppe

I en gruppe er loven om intern sammensætning overvejet og pr. Definition er alle elementerne i inverterbare. $(G, \ gange)$ $\ gange$ $G$

Ring (eller krop)

I en ring er loven om intern sammensætning overvejet, og alle elementerne er ikke nødvendigvis inverterbare. $(A, +, \ gange)$ $\ gange$

De invertible elementer i ringen danner en gruppe til multiplikation af ringen, kaldet gruppen af invertibler i denne ring, og bemærkes ofte U ( A ) eller A × .

En ring, hvor alle elementerne er inverterbare, bortset fra lovens neutralitet (ofte bemærket ), er pr. Definition et felt . $+$ ${\ displaystyle 0}$

Eksempler

Ringe og kroppe

I ringen med relative heltal har kun 1 og –1 en invers: henholdsvis sig selv. ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +, \ times)}$
I feltet med reelle tal og i feltet med rationelle tal er det inverse af 2 1 ⁄ 2 = 0,5 og det inverse af 4 er 0,25. Den inverse funktion er den applikation, der forbinder dens inverse med enhver reel, der ikke er nul. ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, +, \ times)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Q}, +, \ times)}$
På området af komplekse tal , den inverse af den imaginære enhed $i$ er $-i$ fordi $jeg \times (-i) = 1$ . Mere generelt er det omvendte af et ikke-nul komplekst tal antallet ${\ displaystyle (\ mathbb {C}, +, \ times)}$ ${\ displaystyle z = a + \ mathrm {i} b}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ bar {z}} {z {\ bar {z}}}} = {\ frac {\ bar {z}} {\ | z \ | ^ {2}}} = {\ frac {a-bi} {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2} }} - {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} i}$
På området for quaternioner , den inverse af en ikke-nul quaternion er quaternionen , hvor er den kvaterniel konjugat af $q$ , dvs. . Vær forsigtig, multiplikationen af kvaternioner er ikke kommutativ. ${\ displaystyle (\ mathbb {H}, +, \ times)}$ ${\ displaystyle q = a + \ mathrm {i} b + \ mathrm {j} c + \ mathrm {k} d}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ | q \ | ^ {2}}} {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ | q \ | ^ {2}}} {\ bar {q}} = {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}}} \ gange (a- \ mathrm {i} b- \ mathrm {j} c- \ mathrm {k} d)}$
I ringen (ℤ / n ℤ, +, ×) , hvor $n \geq 2$ , er de invertible nøjagtige elementer såsom GCD . Især hvis $n$ er primær, er denne ring et felt. For eksempel i ringen ℤ / 10ℤ, den inverse af 3 er 7 (fordi 3 × 7 = 21 er kongruent til 1 modulo 10), men 2 har ingen invers . ${\ displaystyle {\ overline {m}}}$ ${\ displaystyle (m, n) = 1}$
I ringen af ægte firkantede matricer , hvor $n$ er en fast naturlig, betegnes sættet med invertibler . For eksempel i ringen med 2 × 2 matricer, matrixen ${\ displaystyle (\ operatorname {M} _ {n} (\ mathbb {R}), +, \ times)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {R})}$ $A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ slut {pmatrix}}$ har til invers matrix $B = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}}$ fordi A × B er lig med ordens 2 identitetsmatrix .

Andet

I monoiden (for kompositionen ) af kortlægningerne af et sæt, der er fast i sig selv, er kortlægningerne, der har inverserne til venstre, injektionerne, og de, der har inverserne til højre, er forestillingerne . Det er det samme i ringen af endomorfier i et vektorrum .

Bemærkninger

Vær forsigtig, når $f$ både er en numerisk funktion og en sammenhæng , så du ikke forveksler dens omvendte med dens gensidige sammenhæng $f$ -1 :

{\ displaystyle (f (x)) ^ {- 1} \ neq f ^ {- 1} (x)}

Eksempel : . ${\ displaystyle \ cos: [0, \ pi] \ til [-1,1]}$ ${\ displaystyle (\ cos x) ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ cos x}}, \ quad \ cos ^ {- 1} (x) = \ arccos x}$

Uendelig sum af inverser og interessante egenskaber

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ longrightarrow + \ infty}$ ( harmonisk serie ).

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} = 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + \ dots = \ ln (2)}$ ( skiftevis harmonisk serie ).

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) ^ {2} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ { 2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ dots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$ og mere generelt Riemann zeta-funktionen , hvor er den absolutte værdi af Bernoulli-tallet . ${\ displaystyle \ zeta (2m) = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {k ^ {2m}}} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ { 2k}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2k}}} + \ cdots = {\ frac {| B_ {2m} | (2 \ pi) ^ {2m}} {2 (2m)!} }, m \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle | B_ {2m} |}$

Kun to komplekse tal er imod deres inverse (dvs. ): i og –i (fordi de er løsningerne på ). ${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} = - x}$ $x ^ {2} = - 1$

Dividere med et antal b svarer til multiplikation med den inverse af b , . ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = en {\ frac {1} {b}} (b \ neq 0)}$