Tsiolkovsky ligning

Den Tsiolkovsky ligning er den grundlæggende ligning af Astronautics vedrørende stigningen i hastighed under en fase af fremdrift af rumfartøj med en jetmotor til forholdet af den oprindelige masse til dens endelige masse.

Vi skylder det Constantin Tsiolkovsky og uafhængigt Hermann Oberth .

Historie

Den ligning Tsiolkovsky betragtes som den grundlæggende ligning af Astronautics . Hans eponym er Constantin Tsiolkovsky (1857-1935) der afledte det og derefter offentliggjorde det i 1903.

En form for ligningen vises allerede i en afhandling af den britiske matematiker Williams Moore ( fl. C.1806-1823) offentliggjort i 1813 derefter i en artikel af den belgiske generalmajor Casimir-Érasme Coquilhat (1811-1890) offentliggjort i 1873.

The Boat Experience, af Tsiolkovsky

For at forstå princippet om jetfremdrivning tilbød Constantin Tsiolkovski sin berømte oplevelse "af båden".

En person befinder sig uden årer i en båd væk fra kysten. Han vil nå denne bred. Han bemærker, at båden er fyldt med en vis mængde sten og har ideen om at kaste disse sten en efter en og hurtigst muligt i den modsatte retning af kysten. Effektivt svarer til momentet af stenene, der kastes i den ene retning, et lige momentum for båden i den anden retning.

Stater

Tsiolkovskys ligning er skrevet:

{\ displaystyle \ Delta {\ vec {v}} = {\ vec {v}} _ {f} - {\ vec {v}} _ {i} = - {\ vec {v}} _ {e} \ , \ ln {\ frac {m_ {i}} {m_ {f}}}}

, vektorielt eller digitalt

\ Delta v = v_e \, \ ln \ frac {m_i} {m_f}

eller:

$\ Delta v$ er rumfartøjets hastighedsvariation mellem slutningen og starten af den fremdrevne fase betragtet
$v_e$ er gasudstødningshastigheden;
$midt}$ er den samlede masse af rumfartøjet ved starten af den fremdrevne fase (indeks i for initial);
$m_f$ er rumfartøjets samlede masse ved slutningen af den fremdrevne fase (indeks f for endelig) udtrykt i den samme enhed som ; $midt}$
$\ ln$ er den naturlige logaritmefunktion .

Etablering

Demonstration

Denne ligning etableres ved at integrere bevarelsesligningen af momentum mellem starten og slutningen af den fremdrevne fase under følgende antagelser:

studiet af bevægelse er lavet i en referenceramme for inerti ;
rumfartøjet udsættes kun for den kraft, der leveres af dets motorer, der tages ikke hensyn til nogen anden ekstern handling (tyngdekraft, aerodynamiske kræfter) (se slutningen af artiklen for at tage hensyn til tyngdekraften);
gasudstødningshastigheden er konstant.

På et hvilket som helst tidspunkt, når massefartøjet bevæger sig med hastighed, skubber en lille mængde drivmiddel ud ved hastighed , noteres dets masseændring og hastighedsændring. Variationen i momentum for det isolerede system (skib + udstødt drivmiddel) er nødvendigvis nul, så det kommer fra: $m$ ${\ vec {vb}}$ $\ vec {v_e}$ $dm$ $d \ vec {vb}$

m \ cdot d \ vec {v} + (-dm) \ cdot \ vec {v_e} = \ vec {0}

For at opnå rumfartøjets hastighedsvariation, når dens masse går fra til , kan vi integrere denne lille hastighedsvariation: $\ Delta \ vec {vb}$ $midt}$ $m_f$

{\ displaystyle \ Delta {\ vec {v}} = \ int _ {{\ vec {v}} = {\ vec {v_ {i}}}}} ^ {\ vec {v_ {f}}} d { \ vec {v}} = \ int _ {m = m_ {i}} ^ {m_ {f}} {\ frac {\ vec {v_ {e}}} {m}} dm = {\ vec {v_ { e}}} \ int _ {m_ {i}} ^ {m_ {f}} {\ frac {dm} {m}} = {\ vec {v_ {e}}} \ ln {\ frac {m_ {f }} {m_ {i}}} = - {\ vec {v_ {e}}} \ ln {\ frac {m_ {i}} {m_ {f}}}}

Da , fartøjets hastighed variation den derfor som forventet samme retning som projektionen af drivmiddel og i modsatte retninger. ${\ displaystyle m_ {i}> m_ {f}}$ ${\ displaystyle \ ln (m_ {i} / m_ {f})> 0}$

Kommentarer

Det siges ofte, at for at finde denne ligning skal drivmassens strømningshastighed være konstant under fremdrivningsfasen; men det er ikke obligatorisk, selvom det i første omgang forenkler integrationsarbejdet.

Ligningen er gyldig både under en accelerationsfase (tryk er i retning af hastigheden, er positiv: det er en stigning i hastighed) eller deceleration (tryk er i den modsatte retning af hastigheden., Er negativ: det er er en reduktion i hastighed). $\ Delta v$ $\ Delta v$

Forskellen mellem den indledende masse og den endelige masse svarer til den masse, som raketten skød ud under dens fremdrift; denne udkastede masse kaldes støttemasse ("støtte", fordi det er den masse, som raketten hvilede på for at drive sig selv). $midt}$ $m_f$

Den bærende fremspring masse er i virkeligheden den eneste måde at bevæge sig i rummet (samme drevne sol sejl fremstilles ved at ændre mængden af bevægelse af solvinden ).

For termokemiske raketter (Ariane, Soyuz, shuttle osv.) Er støttemassen drivmidlets masse (pulver eller ilt og brint), og denne støttemasse er også en kilde til kemisk energi: c Det er derfor støttemassen sig selv, der indeholder den energi, der vil blive brugt til sin egen udstødning.

Dette er ikke længere tilfældet for ioniske motorer (som uden tvivl repræsenterer fremtiden for erobring af rummet). Disse styres på samme måde af Tsiolkovskys ligning, men deres støttemasse består af en neutral gas (xenon); det er den meget høje udstødningshastighed for denne støttemasse, der gør disse motorer meget økonomiske i støttemasse (de har dog brug for en energikilde for at udføre udstødningen). Som sådan er driften af ioniske motorer sammenlignelig med den for vandraketter , hvor vand kun bruges til dets masse (den energi, der findes i trykluften).

I det tilfælde hvor den fremdrevne fase udføres ved hjælp af flere trin, der fungerer successivt, kan den samme Tsiolkovski-ligning bruges til flyvning af hvert trin. Vi kan således vise interessen for sådanne flertrins-raketter. Se eksemplet i det næste afsnit.

På trods af den ligelige enkelhed af denne ligning og de underliggende antagelser udgør den en nyttig tilnærmelse til beregning af kredsløbsændringsmanøvrer , idet disse manøvrer er kvalificerede som impulsive, dvs. forbliver omtrent gyldig.

Nødvendig tid

Hvis skibet bruger en konstant massestrøm af drivmiddel, kan vi skrive: $q$

\ Delta t = \ frac {\ Delta m} {q}

Nu kan Tsiolkovskys ligning skrives:

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta v} {v_ {e}}} = \ ln {\ frac {m_ {i}} {m_ {i} - \ Delta m}}}

Det vil sige ved at ændre tegnet og videregive til det eksponentielle:

{\ displaystyle {\ frac {m_ {i} - \ Delta m} {m_ {i}}} = e ^ {- \ Delta v / v_ {e}}}

Vi får udtryk for, at vi overfører til : $\ Delta m$ $\ Delta t$

{\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {m_ {i}} {q}} \, \ left (1-e ^ {- \ Delta v / v_ {e}} \ right)}

Eksempel

Formålet med eksemplet, der følger, er at vise raketter med flere faser.

Overvej en to-trins raket med følgende egenskaber:

massen af drivmidler belastet af hvert trin (første trin: 100 tons; anden fase: 20 tons) repræsenterer 10 gange dens tomme masse
gasudstødningshastigheden er 4000 m / s .

og antag, at den bærer en nyttelast på 2 t . Lad os sammenfatte disse data i en tabel:

Etage	Masse af drivmidler (t)	Tom masse (t)	Samlet masse (t)	Gasudstødningshastighed (m / s)
Første sal	$m_ {e \ mathfrak {1}} = 100$	$m_ {v \ mathfrak {1}} = 10$	$m_ {t \ mathfrak {1}} = 110$	$v_e = 4 \, 000$
Anden sal	$m_ {e \ mathfrak {2}} = 20$	$m_ {v \ mathfrak {2}} = 2$	$m_ {t \ mathfrak {2}} = 22$	$v_e = 4 \, 000$
Nyttelast			$m _ {{cu}} = 2$
Samlet raket	$m_ {e \ mathfrak {}} = 120$	$m_ {v \ mathfrak {}} = 12$	$m_ {t \ mathfrak {}} = 134$

Vi kan derefter udføre hastighedsforøgelsesberegningerne som følger ved hjælp af Tsiolkovskys ligning to gange i trin 3 og 6:

Beregningstrin		Formel	Masse (t)	Hastighed (m / s)
1	Tændingsjord i første fase	$m_ {i \ mathfrak {1}} = m_ {t \ mathfrak {}}$	$134$
2	Slukningsmasse i første fase	$m_ {f \ mathfrak {1}} = m_ {i \ mathfrak {1}} - m_ {e \ mathfrak {1}}$	$34$
3	Højde i første trin	$\ Delta v_1 = v_e \ ln {\ tfrac {m_ {i \ mathfrak {1}}} {m_ {f \ mathfrak {1}}}}$		$5 \, 486$
4	Andet trin tændingsjord	$m_ {i \ mathfrak {2}} = m_ {f \ mathfrak {1}} - m_ {v \ mathfrak {1}}$	$24$
5	Andet trin slukningsmasse	$m_ {f \ mathfrak {2}} = m_ {i \ mathfrak {2}} - m_ {e \ mathfrak {2}}$	$4$
6	Andet trin hastighedsforøgelse	$\ Delta v_2 = v_e \ ln {\ tfrac {m_ {i \, 2}} {m_ {f \, 2}}}$		$7 \, 167$
7	Endelig hastighed	$\! \, \ Delta v = \ Delta v_1 + \ Delta v_2$		$12 \, 653$

Til sammenligning vil en raket med et enkelt trin med den samme samlede mængde drivmidler (120 t ) og den samme samlede tomme masse (12 t ) give en nyttelast med den samme masse (2 t ) en hastighed, der er ca. 30% lavere.

Beregningstrin		Formel	Masse (t)	Hastighed (m / s)
1	Jord, når scenen er tændt (enkelt)	$m_ {i \ mathfrak {}} = m_ {t \ mathfrak {}}$	$134$
2	Masse når scenen er slukket	$m_ {f \ mathfrak {}} = m_ {i \ mathfrak {}} - m_ {e \ mathfrak {}} = m_ {v \ mathfrak {}} + m_ {cu \ mathfrak {}}$	$14$
3	Endelig hastighed	$\ Delta v = v_e \ ln {\ tfrac {m_ {i}} {m_ {f}}}$		$9 \, 034$

Tab ved tyngdekraften

Beregningerne blev udført under antagelse om fravær af tyngdekraft (manøvrer i kredsløb). Når denne tyngdekraft virker, skal der tilføjes et simpelt udtryk til Tsiolkovskys ligning. Dette bliver:

{\ displaystyle \ Delta {\ vec {v}} = - {\ vec {v}} _ {e} \, \ ln {\ frac {m_ {i}} {m_ {f}}} + {\ vec { g}} \, \ Delta t}

, vektorielt, eller hvis vi projicerer ligningen radialt.

{\ displaystyle \ Delta v = \ v_ {e} \, \ ln {\ frac {m_ {i}} {m_ {f}}} - \ g \, \ Delta t}

g er den lokale tyngdeacceleration og fremdriftens varighed (hvilket også er den tid, hvor denne tyngdekraft virker). Udtrykket kaldes tyngdekraftstab. Vi antager, at g er konstant under fremdrift (hvorimod g falder lidt med højden). I virkeligheden under en start er det fornuftigt hurtigt at have en tangent bane til tyngdekraften, så sidstnævntes arbejde bliver nul. $\ Delta t$ ${\ displaystyle {\ vec {g}} \, \ Delta t}$

Noter og referencer

Bemærkninger

Den ligning Tsiolkovsky er også kendt som den formel Tsiolkovsky eller lov Tsiolkovsky .
Fra hastigheden af gasudkast definerer vi en afledt enhed, der ofte bruges i astronautik, kaldet den specifikke motorimpuls , ved forholdet , hvor er tyngdeacceleration ( ). Den specifikke impuls har dimensionen af en tid og udtrykkes derfor i sekunder. $v_e$ $I _ {{sp}} = \ frac {v_e} {g_0}$ $g_ {0}$ $9,81 m / s ^ 2$
kursus . Massen af drivmiddel udstødes derfor . $dm <0$ $-dm$

Referencer

Bonnal et al. 2014 , § 8.2.3 , s. 168, col. 1 .
Bouchez 2010 , § 1.2 , s. 3, kol. 2 .
Rax 2005 , § 1.2.3 , s. 29.
Macdonald, Norris og Spencer 2014 , § 1.1.1 , s. 2, kol. 1 .
Macdonald, Norris og Spencer 2014 , ref., P. 24, 1.
Tsiolkovsky 1903 .
Macdonald, Norris og Spencer 2014 , § 1.1.1 , s. 2, kol. 1-2 .
Macdonald, Norris og Spencer 2014 , ref., P. 24, 2.
Moore 1813 .
Macdonald, Norris og Spencer 2014 , § 1.1.1 , s. 2, kol. 2 .
Macdonald, Norris og Spencer 2014 , ref., P. 24, 3.
Coquilhat 1873 .

Se også

Originale publikationer

[Moore 1813] (da) Williams Moore , en afhandling om bevægelse af raketter: hvortil tilføjes et essay om navlepistoler, i teori og praksis; designet til brug af hæren og flåden og overalt i militær, flåde og videnskabelig instruktion , London,1813.
[Coquilhat 1873] Casimir-Erasme Coquilhat , ” baner flyvende raketter i det tomrum ”, Memoires de la Société royale des sciences de Liege , 2 nd serie, t. V ,Nov 1873, kunst. n o 5, [2] −33 s. ( OCLC 248870034 , læs online ), repr. :
- [Coquilhat 2018] Casimir-Érasme Coquilhat , baner med flyvende raketter i tomrummet:1873, Dijon, Nielrow, Januar 2018, 1 st ed. , 1 vol. , 51 s. , syg. og fig. ( ISBN 978-2-9559619-5-7 , EAN 9782955961957 , OCLC 1043726396 , note BNF n o FRBNF45456511 ).
[Tsiolkovsky 1903] (ru) Konstantin Èduardovič Ciolkovskij , " Исследовние мировых пространств реактивными приборами " [ "The udforskning af det ydre rum ved hydrojetvaskemaskiner"], Научное обозрение , vol. 7, nr . 5,1903, s. 45-75 ( resumé ) - oprindelig offentliggørelse af Tsiolkovskys artikel om astronautikens grundlæggende ligning.

Bibliografi

: dokument brugt som kilde til denne artikel.

[Bouchez 2010] Marc Bouchez , " Aerospace fremdrift: forenklede love til størrelse og anvendelse øvelser ", Techniques de l'Ingénieur ,10. juli 2010, kunst. BM 3 003, § 1.2 ("Tsiolkovskys formel: tilfælde af en konstant acceleration i niveau"), s. 3 , kol. 2 ( resumé , læs online ).
[Feodosiev og Siniarev 1959] (da) VI Feodosiev og GB Siniarev ( oversat fra russisk af SN Samburof), Introduktion til raketteknologi , New York og London, Academic Press ,Jan 1959( genoptryk. Maj 2014), 1 st ed. , 1 vol. , X -344 s. , syg. og fig. I-8 o (15,2 × 23,5 cm ) ( ISBN 978-1-4832-3201-0 , EAN 9781483232010 , OCLC 840.470.516 , varsel BNF n o FRBNF44667202 , DOI 10,1016 / C2013-0-12448-8 , online præsentation , læse online ) , kap. I st ( OCLC 7333041790 , DOI 10.1016 / B978-1-4832-3201-0.50006-1 , resumé ) , sek. B ("Tsiolkovski-ligning for den ideelle hastighed af en raket") ["Tsiolkovsky-ligning for den ideelle hastighed for en raket"], s. 16-22.
[Macdonald og Badescu 2014] (da) Malcolm Macdonald og Viorel Badescu ( red. ), Den internationale håndbog om rumteknologi , Heidelberg og Chichester, Springer og Praxis, al. "Praxis bøger / astronautisk teknik",Feb. 2014, 1 st ed. , 1 vol. , XV -731 s. , syg. og fig. , 21,6 × 27,9 cm ( ISBN 978-3-642-41100-7 og 978-3-662-50608-0 , OCLC 958.469.721 , note BNF n o FRBNF44707981 , DOI 10,1007 / 978-3-642-41101 -4 , SUDOC 199104573 , online præsentation , læs online ) :
- [Macdonald, Norris og Spencer 2014] (in) Malcolm Macdonald , Pat Norris og David B. Spencer , "Introduction" , i op. cit. , kap. 1 st [ ”Introduction (generelt)”], s. 1-24 ( OCLC 7327569974 , DOI 10.1007 / 978-3-642-41101-4_1 , resumé ).
- [Bonnal et al. 2014] (en) Christophe Bonnal , Alessandro Ciucci , Michael H. Obersteiner og Oskar Haidn , "Launch systems" , i op. cit. , kap. 8 , s. 165-195 [“Launch systems”] ( OCLC 7326880462 , DOI 10.1007 / 978-3-642-41101-4_8 , resume ).
[Rax 2005] Jean-Marcel Rax ( pref. Af Bernard Bigot ), plasmafysik: kurser og applikationer , Paris, Dunod , coll. "Højere videnskaber",August 2005, 1 st ed. , 1 vol. , XII -426 s. , syg. og fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-007250-7 , EAN 9782100072507 , OCLC 77.230.441 , varsel BNF n o FRBNF40025642 , SUDOC 090.320.409 , online præsentation , læse online ).
[Serra, Jung og Picard 2013] (da) Jean-Jacques Serra , Philippe Jung og Théo Pirard , ”Casimir Coquilhats teori om raketbevægelse: raketligningen etableret i1871 ! " I John Harlow ( red. ), Historie raketter og Rumfart (Proceedings of the 42 th af historie symposium for Internationale Akademi for Astronautics , afholdt i Glasgow2008), San Diego, Univelt, koll. "AAS historie-serie" ( nr . 39) og al. "IAA historie symposier" ( nr . 28),2013, 1 st ed. , 1 vol. , XII -345 s. , syg. , 25 cm ( ISBN 978-0-87703-589-3 og 978-0-87703-590-9 , EAN 9780877035893 , OCLC 840.430.825 , online præsentation ) , 2 nd del. , kap. 7 , s. 121-134 ( resumé ).