Einstein-Hilbert-handling

Den Handling Einstein-Hilbert , så der er udpeget til ære for Albert Einstein og David Hilbert , er en matematisk objekt ensartet til arbejde . Det bruges til at udlede de feltligninger generelle relativitetsteori af Einstein gennem et princip kaldes variationsregning princip om mindst mulig indsats .

Einstein-Hilbert-handlingen, bemærket , er givet af: S{\ displaystyle S}

S=12κ∫R-gd4x{\ displaystyle S = {1 \ over 2 \ kappa} \ int R {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

eller:

• g{\ displaystyle g}er den afgørende faktor for den metriske tensor  :  ;g=det(gμv){\ displaystyle g = \ det (g _ {\ mu \ nu})}
• R{\ displaystyle R}er Ricci skalar krumning  ;
• κ{\ displaystyle \ kappa}er konstant Einstein  : ,κ=8πGvs.-4{\ displaystyle \ kappa = 8 \ pi Gc ^ {- 4}}

med:

• π{\ displaystyle \ pi}, antallet pi  ;
• G{\ displaystyle G}, tyngdekonstanten  ;
• vs.{\ displaystyle c}, lysets hastighed i vakuum.

Afledning af Einsteins ligninger

Antag, at vores teori kun indeholder Einstein-Hilbert-handlingen samt et udtryk, der beskriver ethvert felt af stof. Den samlede handling er derfor: LM{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}

S=∫[12κR+LM]-gd4x{\ displaystyle S = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} R + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ right] {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.

Handlingens variation med hensyn til det inverse af metricen skal være nul for løsningerne, hvilket giver ligningen:

0=δS=∫[12κδ(-gR)δgμv+δ(-gLM)δgμv]δgμvd4x=∫[12κ(δRδgμv+R-gδ-gδgμv)+1-gδ(-gLM)δgμv]δgμv-gd4x{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ delta S \\ & = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g} } R)} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} højre {\ delta g ^ {\ mu \ nu} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ & = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left ({\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {\ sqrt {-g}}} { \ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} højre) + {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac { \ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ højre] \ delta g ^ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ end {justeret}}}.

Da denne ligning gælder for enhver variation , indebærer det det δgμv{\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu}}

δRδgμv+R-gδ-gδgμv=-2κ1-gδ(-gLM)δgμv{\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt { -g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 \ kappa {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {- g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}}}

er ligningen af ​​bevægelse for metricen. Højre side af ligningen er (pr. Definition) proportional med energimomentstensoren ,

Tμv: =-2-gδ(-gLM)δgμv=-2δLMδgμv+gμvLM{\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}: = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L} } _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} { \ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + g _ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}.

for at beregne den venstre side af ligningen har vi brug for variationerne i Ricci-skalæren og determinanten for metricen. De kan beregnes på en elementær måde som angivet nedenfor, en metode, der primært er inspireret af Carroll 2004 . R{\ displaystyle R}

Variation af Riemann tensor, Ricci tensor og Ricci skalar

For at beregne variationen i Ricci-krumningen starter vi med at beregne variationen af Riemann-tensoren , derefter af Ricci-tensoren . Husk at Riemann-tensoren er lokalt defineret af

Rρσμv=∂μΓvσρ-∂vΓμσρ+ΓμλρΓvσλ-ΓvλρΓμσλ{\ displaystyle {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}}.

Da Riemann-tensoren kun afhænger af Christoffel-symboler , kan dens variation beregnes som Γμvλ{\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}

δRρσμv=∂μδΓvσρ-∂vδΓμσρ+δΓμλρΓvσλ+ΓμλρδΓvσλ-δΓvλρΓμσλ-ΓvλρδΓμσλ{\ displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ delta \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda } + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}}.

Da forskellen mellem to forbindelser er, er det nu en tensor, hvoraf vi kan beregne det covariante derivat , δΓvσρ{\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}}

∇μ(δΓvσρ)=∂μ(δΓvσρ)+ΓμλρδΓvσλ-ΓμvλδΓλσρ-ΓμσλδΓvλρ{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) = \ partial _ {\ mu} (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}) + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ lambda \ sigma} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho }}.

Vi kan derefter observere, at variationen af ​​Riemann-tensoren ovenfor er nøjagtigt lig forskellen på to sådanne udtryk,

δRρσμv=∇μ(δΓvσρ)-∇v(δΓμσρ){\ displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ højre) - \ nabla _ {\ nu} \ venstre (\ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} \ højre)}.

Vi kan nu opnå variationen af ​​Ricci-tensoren ved blot at trække to indekser i udtrykket for variationen af ​​Riemann-tensoren, og vi opnår derefter Palatini-identiteten :

δRσv≡δRρσρv=∇ρ(δΓvσρ)-∇v(δΓρσρ){\ displaystyle \ delta R _ {\ sigma \ nu} \ equiv \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ rho \ nu} = \ nabla _ {\ rho} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ højre) - \ nabla _ {\ nu} \ venstre (\ delta \ Gamma _ {\ rho \ sigma} ^ {\ rho} \ højre)}.

Ricci-krumningen defineres derefter som

R=gσvRσv{\ displaystyle R = g ^ {\ sigma \ nu} R _ {\ sigma \ nu}}.

Derfor er dens variation fra det inverse af metricen givet af gσv{\ displaystyle g ^ {\ sigma \ nu}}

δR=Rσvδgσv+gσvδRσv=Rσvδgσv+∇ρ(gσvδΓvσρ-gσρδΓμσμ){\ displaystyle {\ begin {justeret} \ delta R & = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + g ^ {\ sigma \ nu} \ delta R _ {\ sigma \ nu } \\ & = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ højre) \ slut {justeret}}}

I anden linje brugte vi metrikkens kompatibilitet med forbindelsen og resultatet opnået tidligere på variationen af ​​Ricci-tensoren. ∇σgμv=0{\ displaystyle \ nabla _ {\ sigma} g ^ {\ mu \ nu} = 0}

Den sidste periode,

∇ρ(gσvδΓvσρ-gσρδΓμσμ){\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ højre)}, dvs. med ,∇ρPÅρ≡PÅλ;λ{\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} A ^ {\ rho} \ equiv A ^ {\ lambda} {} _ {; \ lambda}}PÅρ=gσvδΓvσρ-gσρδΓμσμ{\ displaystyle A ^ {\ rho} = g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu}}

ganget med , bliver til [total afledt], for for enhver vektor og enhver tensordensitet har vi: -g{\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}PÅλ{\ displaystyle A ^ {\ lambda}}-gPÅλ{\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}}

-gPÅ;λλ=(-gPÅλ);λ=(-gPÅλ),λ{\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A _ {; \ lambda} ^ {\ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {; \ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {, \ lambda}} guld -g∇μPÅμ=∇μ(-gPÅμ)=∂μ(-gPÅμ){\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, \ nabla _ {\ mu} A ^ {\ mu} = \ nabla _ {\ mu} \ left ({\ sqrt {-g}} \, A ^ { \ mu} \ højre) = \ delvis _ {\ mu} \ venstre ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ mu} \ højre)}

og således efter Stokes 'sætning er der ingen grænsebegrænder tilbage efter integrationen. Udtrykket ikke kant er generelt ikke nul, da integranden ikke kun afhænger af, men også af dets delvise derivater ; se artikel om Gibbons - Hawking - York om vilkår for detaljer. Men når variationen af ​​metricen varierer i nærheden af ​​kanten, eller når der ikke er nogen kanter, bidrager dette udtryk ikke til variationen i handlingen. Så vi får δgμv,{\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu},}∂λδgμv≡δ∂λgμv{\ displaystyle \ partial _ {\ lambda} \, \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ delta \, \ partial _ {\ lambda} g ^ {\ mu \ nu}}δgμv{\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu}}

δRδgμv=Rμv{\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = R _ {\ mu \ nu}}.

uden for kanterne.

Variation af determinanten

Vi husker differentieringen af determinanten

δg=δdet(gμv)=ggμvδgμv{\ displaystyle \ delta g = \ delta \ det (g _ {\ mu \ nu}) = gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu}},

at vi for eksempel kan beregne via den eksplicitte formel for determinanten og af en begrænset ekspansion

. Takket være dette resultat opnår vi

δ-g=-12-gδg=12-g(gμvδgμv)=-12-g(gμvδgμv){\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} \ delta g = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ venstre (g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ højre)}

I det sidste uafgjort brugte vi det faktum

gμvδgμv=-gμvδgμv{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu}}

som følger af differencen af ​​det inverse af en matrix

δgμv=-gμa(δgaβ)gβv{\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ alpha} \ left (\ delta g _ {\ alpha \ beta} \ right) g ^ {\ beta \ nu}}.

Således konkluderer vi det

1-gδ-gδgμv=-12gμv{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu}}.

Bevægelsesligning

Nu har vi alle de variationer, der er nødvendige for at få ligningen af ​​bevægelse. Vi indsætter de beregnede ligninger i bevægelsesligningen for metricen at opnå

Rμv-12gμvR=8πGvs.4Tμv{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}},

som er Einsteins ligning , og

κ=8πGvs.4{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}}

blev valgt for at opnå den ønskede ikke-relativistiske grænse: Newtons universelle tyngdelov , hvor er tyngdekonstanten . G{\ displaystyle G}

Noter og referencer

1. Differentiale af determinanten ( læs online )

Se også

Relaterede artikler

• Princippet om mindste handling
• Generel relativitetsteori
• Krumning
• Kosmologisk konstant

Bibliografi

• Carroll, Sean M. (dec. 1997). Forelæsningsnotater om generel relativitet , NSF-ITP-97-147, 231pp, arXiv: gr-qc / 9712019

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">