Gradueret algebra

I matematik , i lineær algebra , kalder vi gradueret algebra for en algebra med en yderligere struktur, kaldet gradering .

Definition

Eller A en algebra over et legeme (eller mere generelt på en ring ) K . En gradering på A er dataene fra en familie af vektorunderrum af A, der tilfredsstiller: (PÅjeg)jeg∈IKKE{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}

• PÅ=⨁jeg∈IKKEPÅjeg{\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i}} ;
• ∀jeg,j∈IKKE,PÅjegPÅj⊂PÅjeg+j{\ displaystyle \ forall i, j \ in \ mathbb {N}, A_ {i} A_ {j} \ subset A_ {i + j}}Det vil sige .∀[jeg,j∈IKKE,x∈PÅjeg,y∈PÅj],  x×y∈PÅjeg+j{\ displaystyle \ forall \ left [i, j \ in \ mathbb {N}, x \ i A_ {i}, y \ i A_ {j} \ højre], \ \ x \ gange y \ i A_ {i + j}}

Algebra A siges derefter at være gradueret (undertiden ℕ-gradueret som et specielt tilfælde af begrebet algebra M- gradueret til en monoid M ).

Elementerne i A i siges at være homogent af graden i . Et ideal siges at være homogent, hvis det for hvert element a , det indeholder, også indeholder de homogene dele af a . Dette svarer til at sige, at jeg er genereret af homogene elementer.

Helst ring (ikke gradueret) A kan være forsynet med en graduering i udgør A 0 = A og A i = 0 for alle i > 0. Denne struktur kaldes en triviel graduering af A .

Et kort f mellem graderede algebraer A og B (på samme felt) er en homomorfisme af graderede algebraer, hvis for alle jeg . f(PÅjeg)⊂Bjeg{\ displaystyle f (A_ {i}) \ subset B_ {i}}

Eksempler

• Ringen af polynomer i flere ubestemte K [ X 1 ,…, X n ], hvor de homogene elementer af grad n er de homogene polynomer af grad n .
• Den tensor algebra T ( V ) i løbet af et vektorrum V , hvor de homogene elementer af graden n er tensorer på formen .v1⊗v2⊗⋯⊗vikke{\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ dots \ otimes v_ {n}}
• Den symmetriske algebra S ( V ) og den ydre algebra Λ ( V ) er graderede algebraer, de homogene elementer i grad n er billederne af de homogene elementer i T ( V ). Mere generelt, hvis en ideel I for en gradueret algebra A er homogen, gradueres kvotienten A / I naturligvis af(PÅ/jeg)jeg=PÅjeg/(jeg∩PÅjeg).{\ displaystyle (A / I) _ {i} = A_ {i} / (I \ cap A_ {i}).}

Noter og referencer

1. N. Bourbaki , Algebra ( læs online ) , s.  III.30.

Relateret artikel

Differentiel klassificeret algebra  (en)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">