Svag felttilnærmelse
Den svage felttilnærmelse i generel relativitet bruges til at beskrive tyngdefelter langt fra tyngdekilden .
Det gør det muligt at finde Newtons tyngdekraftlove .
Matematisk beskrivelse
I denne tilnærmelse antager vi, at vi kan skrive metricen for rumtid ( ) i formen
g {\ displaystyle g \}
gμv=ημv+ϵγμv {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + \ epsilon \ gamma _ {\ mu \ nu} \}
hvor er Minkowski-metricen , er den (svage) afvigelse fra sidstnævnte og en ikke-nul reel konstant.
ημv {\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} \}γμv {\ displaystyle \ gamma _ {\ mu \ nu} \}ϵ {\ displaystyle \ epsilon \}
En sammenhæng mellem det Newtonske tyngdepotentiale og den ovenfor nævnte afvigelsesperiode kan opnås ved at beregne Christoffel-symbolerne og ignorere rækkefølgen større end :
Φ {\ displaystyle \ Phi \} Γμ44 {\ displaystyle \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {44} \}ϵ {\ displaystyle \ epsilon \}
Γμ00=-ϵ2gμvγ00,v {\ displaystyle \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {00} = - {\ frac {\ epsilon} {2}} g ^ {\ mu \ nu} \ gamma _ {00, \ nu} \}og vi udleder:
Γ000=0 {\ displaystyle \ Gamma ^ {0} {} _ {00} = 0 \}
Γjeg00=-ϵ2γ00,jeg {\ displaystyle \ Gamma ^ {i} {} _ {00} = - {\ frac {\ epsilon} {2}} \ gamma _ {00, i} \}( )
jeg=1,2,3{\ displaystyle i = 1,2,3}
Geodesic
Den geodesiske ligning bliver:
d2xjegdt2=-Γjeg00=ϵ2γ00,jeg=-∇Φ{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {i}} {dt ^ {2}}} = - \ Gamma ^ {i} {} _ {00} = {\ frac {\ epsilon} {2 }} \ gamma _ {00, i} = - \ nabla \ Phi}eller:
-
Φ{\ displaystyle \ Phi} er det newtonske tyngdepotentiale;
-
vs.{\ displaystyle c}er lysets hastighed i vakuum.
Vi har således:
Φ=-ϵ2γ00 {\ displaystyle \ Phi = - {\ frac {\ epsilon} {2}} \ gamma _ {00} \}Som vi desuden ved, at:
Φ=-Gmr {\ displaystyle \ Phi = - {\ frac {Gm} {r}} \}hvor er tyngdekonstanten , er massen af det tiltrækkende legeme og den radiale afstand til centrum af denne krop, finder vi, at:
G {\ displaystyle G \}m {\ displaystyle m \}r {\ displaystyle r \}
g00=-vs.2+2Gmr {\ displaystyle g_ {00} = - c ^ {2} + {\ frac {2Gm} {r}} \}Den svage felttilnærmelse er nyttig til at finde værdierne for visse konstanter, for eksempel i Einstein-ligningen og Schwarzschild-metricen .
Se også