Øvre og nedre grænse

I matematik , begreberne øvre grænse og nedre grænse af et sæt af reelle tal intervenere i analyse , som et særtilfælde af den følgende generelle definition: den øvre grænse (eller supremum ) af en del af et (delvist) sæt bestilte sige den mindste af dens øvre grænse . En sådan terminal findes ikke altid, men hvis den findes, er den unik. Det hører ikke nødvendigvis til den part, der overvejes. Dually er den nedre grænse (eller infimum ) af en del den største af dens nedre grænse.

Når det bestilte sæt er det fra det virkelige, sikres eksistensen af en øvre grænse for enhver ikke-ubegrundet og afgrænset del : vi siger, at ℝ har egenskaben for den øvre grænse . Den samme egenskab sikrer også eksistensen af en nedre grænse for ethvert ikke-frit sæt reduceret med reelle tal. Den øvre og nedre grænse for et ikke-frit afgrænset interval på ℝ er simpelthen dens ender.

Den øvre og nedre grænse for en funktion er grænserne for alle dens værdier.

NB: De engelske udtryk øvre og nedre grænse svarer ikke til henholdsvis "øvre og nedre", men henholdsvis øvre og nedre grænse ; "Øvre grænse" oversættes til mindste øvre grænse eller overordnede og "nedre grænse" til største nedre grænse eller minimum .

Definition

Almindelig sag

I et delvist ordnet sæt E , den øvre terminal af en del F i E er, hvis der er, jo mindre de øvre grænser af F i E . Det er klassisk bemærket sup ( F ) og er kendetegnet ved: M = sup ( F ) hvis

M er en øvre grænse for F : x ≤ M for alle x af F , og
det er den mindste: for hele y af E , hvis y er en øvre grænse for F (dvs. hvis for alle x af F , x ≤ y ), så M ≤ y .

Bemærkninger

Forbindelsen mellem begrebet øvre grænse og det største element (jf. Begyndelsen af afsnittet "Eksempler" nedenfor ) skyldes, at hvis M tilhører F , kontrolleres punkt 2 ovenfor automatisk.
Hvis M = sup ( F ), for et givet element y af E :
- punkt 2. omskrives:for y ≥ M er det tilstrækkeligt, at y majorerer hvert element af F ;
- ifølge punkt 1. og ved transitivitet ≤ er det omvendte sandt: hvis y ≥ M , så y yder hvert element af F eller igen (ved modsætning ):således at y ikke er afgrænset af M , er det tilstrækkeligt, at der i F findes et element, der ikke er afgrænset af y .

Tilsvarende nedre grænse af F i E er, hvis den findes, i størst nedre grænse af F . Det er klassisk noteret inf ( F ) og er kendetegnet ved dobbelte egenskaber (ved at vende retningen af uligheder).

En del, endda forøget , af ethvert bestilt sæt har ikke nødvendigvis en øvre grænse, men hvis det gør det, er det unikt . Tilsvarende er dens nedre grænse, hvis den findes, unik.

Tilfælde af en total ordre

Vi kan altid i den foregående definition erstatte punkt 2. med dets kontraster . Når rækkefølgen på E er total , udleder vi, at et element M af E er den øvre grænse for del F, hvis og kun hvis:

for alle x af F, x ≤ M og
for alle y <M i E findes der i F mindst en x> y .

Tilfælde af reals

Når E = ℝ (forsynet med den sædvanlige rækkefølge), kan vi også erstatte "for alle y <M " med "for alle y af formen M –ε med ε> 0". En reel M er derfor den øvre grænse for en del F af ℝ hvis og kun hvis:

for alle x af F, x ≤ M og
for ethvert reelt ε> 0 findes der i F mindst en x> M –ε.

Øvre grænse ejendom

Vi siger, at et ordnet sæt E har ejendommen til den øvre grænse, hvis en ikke-frit og afgrænset del af E har en øvre grænse.

Dette er især tilfældet for det bestilte sæt real af reelle tal .

Det bestilte sæt ℚ af rationelle har ikke denne egenskab

Det er tilstrækkeligt at vise, at vi i can kan finde en del A , ikke- fri og afgrænset, som ikke har en øvre grænse.

Overvej delmængden for dette . A er tydeligt markeret med f.eks. 2. Lad b være en rationel øvre grænse for A , og vis en ny rationel øvre grænse c < b , som vil vise, at A ikke har en lavere rationel øvre grænse. $A = \ {x \ in \ mathbb {Q} \; | \; x ^ {2} \ leq 2 \}$

Bemærk først, at 1 tilhører A derfor b ≥ 1> 0, og overvej det rationelle (bygget ved at tage inspiration fra Herons metode ). Da vi har c 2 ≥ 2, hvorfra vi udleder: ${\ displaystyle c = {\ tfrac {b} {2}} + {\ tfrac {1} {b}}> 0}$ ${\ displaystyle c ^ {2} -2 = \ left ({\ tfrac {b ^ {2} -2} {2b}} \ right) ^ {2}}$

på den ene side, at c er en øvre grænse for A ;
på den anden side, at , så hvad (ifølge definitionen af c ) omskrives: b 2 ≥ 2. Da ℚ ikke indeholder en kvadratrode på to , har vi endda b 2 > 2, dette som (igen ifølge definitionen af c ) oversættes til: c < b . ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {c}} \ i A}$ ${\ displaystyle b \ geq {\ tfrac {2} {c}}}$

Eksempler

Hvis F har en største element (især hvis F er en begrænset delmængde af et sæt E fuldstændig bestilt som ℝ), så er denne maksimale element er den øvre grænse for F . I dette tilfælde, sup ( F ) tilhører F . Omvendt, hvis sup ( F ) findes og tilhører F , så sup ( F ) er den største del af F .
I sættet med reelle tal:
- enhver ikke-tom hoveddel af sættet med reelle tal har en øvre grænse;
- en uforbedret del (som ℤ ) har ikke en øvre grænse;
- det tomme sæt har ingen øvre eller nedre grænse;
- intervallet] 0, 1 [indrømmer 0 som den nedre grænse og 1 som den øvre grænse;
- sættet {(–1) n + 1 / n | n = 1, 2, 3 ...} indrømmer –1 som nedre grænse og 3/2 som maksimalt element (derfor som øvre grænse);
- sættet med rationelle tal, hvis kvadrat er mindre end 2, tillader √ 2 som den øvre grænse og - √ 2 som den nedre grænse;
- den øvre grænse for summen A + B af to ikke- afgrænsede sæt A og B er lig med summen af deres respektive øvre grænser;
- forestillingerne om infimum og supremum er to: inf ( S ) = –sup (- S ), hvor - S = {- s | s ∈ S }.
I sættet med rationelle tal:
- sættet med rationelle tal, hvis firkant er mindre end 2, er en afgrænset del af ℚ, som ikke har nogen øvre grænse.
I den afsluttede rigtige linje ℝ = ℝ ∪ { –∞ , + ∞ }:
- de ufrie og afgrænsede dele af ℝ har den samme øvre grænse som i ℝ;
- en ikke-fri del, men ikke afgrænset af et reelt tal, indrømmer $+ \infty$ som øvre grænse;
- det tomme sæt har $-\infty$ som en øvre grænse, fordi ethvert element i ℝ er en øvre grænse for det tomme sæt, og den mindste af dem er $-\infty$ (og det har $+ \infty$ som en nedre grænse).
Et gitter er et ordnet sæt, hvor hvert par har en øvre og en nedre grænse. Et gitter siges at være komplet, hvis hver af dets dele har en øvre og en nedre grænse (denne tilstand er faktisk overflødig). For eksempel er ℝ et ikke-komplet gitter, mens ℝ er et komplet gitter.
For ethvert ikke-frit sæt X er sæt ℝ X af tilknytninger fra X til ℝ (udstyret med produktordren ) derfor komplet. Således har enhver familie $( f i ) i \in I$ af kortlægninger fra X til ℝ en øvre og en nedre grænse . Det følger af deres definition, at for alle $x$ $\in$ $X$ , ${\ displaystyle \ sup _ {i \ i I} f_ {i}}$ ${\ displaystyle \ inf _ {i \ i I} f_ {i}}$ $\ venstre (\ sup _ {{i \ i I}} f_ {i} \ højre) (x) = \ sup _ {{i \ i I}} \ venstre (f_ {i} (x) \ højre) \ quad {\ text {et}} \ quad \ left (\ inf _ {{i \ in I}} f_ {i} \ right) (x) = \ inf _ {{i \ in I}} \ left (f_ {i} (x) \ højre).$ Således er den øvre hylster af en familie af funktioner intet andet end dens øvre grænse.

Associativitet

De øvre grænser - og ligeledes de nedre grænser - opfylder følgende egenskab ved associativitet :

Lad ( F t ) t ∈ T i en ordnet sæt være en familie af dele, der hver har en øvre grænse. Så

{\ displaystyle \ sup _ {t \ in T} \ left (\ sup (F_ {t}) \ right) = \ sup \ left ({\ cup _ {t \ in T} F_ {t}} \ right) ,}

i den forstand, at ligesidens venstre side eksisterer, hvis og kun hvis højre side eksisterer, og i dette tilfælde er de lige.

Demonstration

Betegn med y t (for hvert indeks t ) den øvre grænse for F t , Y sættet for alle disse y t og F foreningen af F t . Det er tilstrækkeligt at kontrollere, at de to sæt Y og F har samme sæt øvre grænse.

Alle øvre grænse for F majorises hver del F t så hver øvre bundet y t , således at majorises Y .
Alle øvre grænse for Y majorises hver y t og a fortiori hver del F t , således at deres møde majorises F .

I et komplet gitter som ℝ - jf. § “Eksempler” ovenfor - udsagnet kan forenkles (de øvre grænser findes altid), og vi udleder for eksempel for enhver dobbeltindekseret familie $( x s, t )$ af gitterelementer:

{\ displaystyle \ sup _ {s \ in S} \ left (\ sup _ {t \ in T} (x_ {s, t}) \ right) = \ sup _ {t \ in T} \ left (\ sup _ {s \ i S} (x_ {s, t}) \ højre).}

Noter og referencer

Denne artikel er helt eller delvist taget fra artiklen " Infimum " (se listen over forfattere ) .

( fr ) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Infimum " ( se listen over forfattere ) .

Gustave Choquet , analysekursus, bind II: topologi , s. 129-130 i den engelske oversættelse .
(en) DA Vladimirov, Boolean Algebras in Analysis , Springer ,2002( læs online ) , s. 5kun angiver og beviser "kun hvis", under den overflødige hypotese T ikke tom.

Se også

Relaterede artikler

Eksternt link

(da) " Infimum " , på PlanetMath