Bold (topologi)

I topologi er en kugle en bestemt type kvarter i et metrisk rum . Navnet fremkalder med rette den solide kugle i det sædvanlige tredimensionelle rum, men forestillingen generaliseres blandt andet til rum med større (eller mindre) dimension eller ikke- euklidisk norm . I dette tilfælde er en bold muligvis ikke "rund" i den sædvanlige forstand af udtrykket.

Generel definition

I det sædvanlige rum som i ethvert metrisk rum : $(E, d)$

den lukkede kugle centreret på et punkt og med reel radius er det sæt af punkter, hvis afstand til er mindre end eller lig med : $P$ $r \,$ ${\ displaystyle B '(P, r)}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} '(P, r): = \ venstre \ {M \ i E \, \ mid \, d (M, P) \ leq r \ højre \}}

;

den tilsvarende åbne kugle er det sæt af punkter, hvis afstand til er strengt mindre end : ${\ displaystyle B (P, r) \,}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P, r): = \ venstre \ {M \ i E \, \ mid \, d (M, P) <r \ højre \}}

I et normaliseret vektorrum er den åbne enhedskugle den åbne kugle centreret ved oprindelsen og med radius 1 (ligeledes er den lukkede enhedskugle den lukkede kugle ). ${\ displaystyle B (0,1)}$ ${\ displaystyle B '(0,1)}$

Kuglerne i et euklidisk plan kaldes også diske .

Bemærk: Definitionen af bolde kan udvides til at omfatte pseudometriske rum, der generaliserer begrebet metrisk rum.

Eksempler i to-dimensionelt rum

I et todimensionelt rum , for de følgende tre standarder, har de tilsvarende kugler med radius 1 forskellige former. $\ mathbb {R} ^ {2}$

den standard 1 : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {1} = | x_ {1} | + | x_ {2} |$
den euklidiske norm : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2}}}$
den "uendelige" standard : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {\ infty} = \ max \ left (| x_ {1} |, | x_ {2} | \ right).$

Ejendomme

En åben kugle er altid en åben af det metriske rum, hvor den er defineret. Ligeledes er en lukket kugle altid en lukket .
En åben kugle med strengt positiv radius har et ikke-tomt interiør (da dette interiør er selve bolden).
Alle kugler i et metrisk rum er afgrænsede dele .
I et normaliseret vektorrum er alle åbne (resp. Lukkede) kugler med strengt positive radier ens ved oversættelse og homotety, og enhver kugle er symmetrisk med hensyn til dens centrum.
I et ægte normaliseret vektorrum er kuglerne konvekse .
I et ægte normaliseret vektorrum er det indre af en lukket kugle den åbne kugle med samme centrum og samme radius, og vedhæftningen af en ikke-tom åben kugle er den tilsvarende lukkede kugle (deraf grænsen d 'en ikke- tom kugle er den tilsvarende sfære ). I ethvert metrisk rum har vi kun:

{\ overline {B (P, r)}} \ subset {\ overline {B '(P, r)}} = B' (P, r) \ qquad {\ rm {and}} \ qquad \ operatorname {Int } (B '(P, r)) \ supset \ operatorname {Int} (B (P, r)) = B (P, r).

Eksempler på eksotiske bolde

I det virkelige tredimensionelle rum forsynet med den uendelige norm har kuglerne en kubisk form med ansigter vinkelret på akserne.
I et diskret rum (forsynet med den diskrete afstand) er enhver del (især enhver åben kugle og enhver lukket kugle) en åben-lukket .
I et rum forsynet med en ultrametrisk afstand (som ringen Z p for p -adiske heltal eller mellemrummet N N for sekvenser af heltal ) er kuglerne åben-lukkede, ethvert punkt på en kugle er et centrum, og hvis to kugler mødes , den ene er indeholdt i den anden.

brug

En del af et metrisk rum er afgrænset, hvis og kun hvis det er indeholdt i en kugle.
En del af et metrisk rum er åbent, hvis og kun hvis det er mødet med de åbne bolde, det indeholder.
I et adskilt metrisk rum (for eksempel et euklidisk rum ) er alt åbent en tællelig forening af åbne bolde .
Kuglerne (åbne eller lukkede) med samme center og strengt positive radier danner et grundlæggende system af kvarterer i dette center. Ved at begrænse os til en række vilkårligt små radier opnår vi endda et tælleligt grundlæggende system af kvarterer.
Den Riesz kompakthed teorem , at en reel vektorrum normaliseres endeligdimensionale hvis og kun hvis dens lukkede enhed bold er kompakt .

Relateret artikel

Kugle