Tyngdepunkt

I fysik er tyngdepunktet eller CdG (på engelsk, tyngdepunkt eller COG ), kaldet G, anvendelsespunktet for den resulterende tyngdekraft eller tyngdekraft. Det er afhængig af tyngdekraftens felt som kroppen udsættes og ikke kan strengt forveksles med centrum af inerti , som er den barycenter af masserne . I praksis sidestilles det dog ofte med sidstnævnte, da tyngdefeltet, som kroppen er udsat for, i de fleste tilfælde kan betragtes som ensartet i kroppen under overvejelse.

Historisk

Betydningen af ​​tyngdepunktet

I statisk tilstand er tyngdepunktet vægtens påføringspunkt. Dette er en forenkling, der består i at betragte vægten som en kraft, der påføres på et enkelt punkt, G, snarere end at overveje en volumenkraft, der anvendes på hvert punkt af objektet.

Mekanisk handlingsbalancetabel

Mekanisk handling	punkt ansøgning	Retning	Betyder	Intensitet
Vægt P→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}}}	Tyngdepunkt G	Lodret	ned	m ⋅ g , hvor m er massen, og g er tyngdefeltets lokale intensitet g→{\ displaystyle {\ vec {g}}}

Ud over forenkling af statiske beregninger er kendskab til tyngdepunktets position afgørende for at bestemme et objekts stabilitet:

• for et objekt placeret på jorden, linjen for virkningen af vægten skal passere gennem bæreren overflade  ; hvis det er udenfor, skifter objektet;(G,z→){\ displaystyle (\ mathrm {G}, {\ vec {z}})}
• når et køretøj accelererer (i den fysiske forstand af begrebet: hastighedsforøgelse, men også bremsning, sving), risikerer et objekt med et højt tyngdepunkt at vælte; det er mere en ejendom af massecentret , og dette skyldes princippet om ækvivalens mellem tyngdekraft og acceleration;
• når en genstand løftes (slynger), er tyngdepunktet justeret med den lodrette passage gennem slyngernes fastgørelsespunkt (stropper eller kabler); hvis fastgørelsespunktet, rorstangen ikke er lige over tyngdepunktet i starten, svinger objektet;
• for en flydende genstand er tyngdepunktet placeret direkte over trykkraftens tryk på skroget (se Archimedean Thrust ); hvis tyngdepunktet bevæger sig, vipper objektet;
• når en enkelt person løfter en last i hånden, skal han sikre, at genstandens tyngdepunkt er så tæt på bækkenet som muligt og især skal arbejde ryggen så lige som muligt; dette begrænser bøjningsindsatsen på lændehvirvlerne.

Bestemmelse af tyngdepunktet

Eksperimentel bestemmelse

For komplekse genstande, såsom maskiner, bestemmes koordinaterne x G og y G ved at slynge: løftetest udføres, og placeringen af ​​slyngernes fastgørelsespunkt justeres, indtil ligevægt opnås.

Du kan også placere objektet på flere skalaer, mindst tre. Positionen for tyngdepunktet er derefter barycenteret for positionerne af skalaerne vægtet med den målte vægt. For at bestemme tyngdepunktet for en bil kan der for eksempel placeres en skala under hvert hjul.

Højden z G kan ikke bestemmes , undtagen når man udfører sejl- eller vejningstest med en anden position af objektet.

Beregning i almindelighed

Overvej et objekt, hvis tæthed ved punkt M er lig, og som er placeret i tyngdefeltet . Positionen for tyngdepunktet er defineret af følgende forhold: VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}ρ(M){\ displaystyle \ rho \ left (\ mathrm {M} \ right)} g→(M){\ displaystyle {\ vec {g}} \ left (\ mathrm {M} \ right)}Gg{\ displaystyle \ mathrm {G} _ {g}}

∫VSGgM→∧π→(M) dV=0→{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} {\ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ wedge {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M } \ højre) ~ \ mathrm {dV} = {\ vec {0}}}

hvor er stykvægt vektor defineret ved: . π→(M){\ displaystyle {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right)}π→(M)=ρ(M)g→(M){\ displaystyle {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right) = \ rho \ left (\ mathrm {M} \ right) {\ vec {g}} \ left (\ mathrm {M } \ ret)}

Denne relation afspejler det faktum, at vægtenes øjeblik i forhold til tyngdepunktet er nul.

Demonstration

Massen af ​​et uendeligt minimalt stofvolumen dV omkring et punkt M er:

dm(M)=ρ(M)dV{\ displaystyle \ mathrm {dm} \ left (\ mathrm {M} \ right) = \ rho \ left (\ mathrm {M} \ right) \ mathrm {dV}}.

Vægten af ​​dette uendelige minimale volumen er værd:

dP→(M)=g→(M)dm(M)=ρ(M)g→(M)dV{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {P}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) = {\ vec {g}} \ left (\ mathrm {M} \ right) \ mathrm {dm} \ left (\ mathrm {M} \ right) = \ rho \ left (\ mathrm {M} \ right) {\ vec {g}} \ left (\ mathrm {M} \ right) \ mathrm { dV}} ;

Vi kan definere tætheden:

π→(M)=ρ(M)g→(M){\ displaystyle {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right) = \ rho \ left (\ mathrm {M} \ right) {\ vec {g}} \ left (\ mathrm {M } \ ret)}

Den uendelige vægt er derfor værd:

dP→(M)=π→(M)dV{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {P}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) = {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right) \ mathrm {dV}}.

Objektets samlede vægt er:

P→=∫VSdP→(M)=∫VSπ→(M)dV{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} = \ int _ {\ mathcal {C}} \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {P}}} \ left (\ mathrm {M} \ højre) = \ int _ {\ mathcal {C}} {\ vec {\ pi}} \ venstre (\ mathrm {M} \ højre) \ mathrm {dV}}.

Som et resultat af densitetsvægtene skal vægtenes moment i forhold til ethvert punkt A være lig med summen af ​​momentene for densitetsvægtene: P→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}}}

M→PÅ(P→)=∫VSM→PÅ(π→(M)) dV{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} ({\ vec {\ mathrm {P}}}) = \ int _ {\ mathcal {C}} {\ vec { \ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} \ left ({\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right) \ right) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} }.

Lad os beregne medlemmerne af denne ligning:

M→PÅ(P→)=PÅG→g∧P→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} \ left ({\ vec {\ mathrm {P}}} \ right) = {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}} } _ {g} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}}} ∫VSM→PÅ(π→(M)) dV= ∫VSPÅM→∧π→(M) dV= ∫VS(PÅG→g+GgM→)∧π→(M) dV= PÅG→g∧∫VSπ→(M) dV+∫VSGgM→∧π→(M) dV= PÅG→g∧P→+∫VSGgM→∧π→(M) dV= M→PÅ(P→)+∫VSGgM→∧π→(M) dV.{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ mathcal {C}} {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} \ left ({\ vec {\ pi}} \ venstre (\ mathrm {M} \ højre) \ højre) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} = \ & \ int _ {\ mathcal {C}} {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} \ wedge { \ vec {\ mathrm {\ pi}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} \\ = \ & \ int _ {\ mathcal {C}} \ left ( {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} _ {g} + {\ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ right) \ wedge {\ vec {\ mathrm {\ pi }}} \ left (\ mathrm {M} \ right) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} \\ = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} _ {g} \ wedge \ int _ { \ mathcal {C}} {\ vec {\ mathrm {\ pi}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} + \ int _ {\ mathcal {C}} {\ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {\ pi}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} \\ = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} _ {g} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} + \ int _ {\ mathcal {C}} { \ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {\ pi}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) ~ \ m athrm {\ mathrm {dV}} \\ = \ & {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} \ left ({\ vec {\ mathrm {P}}} \ right) + \ int _ {\ mathcal {C}} {\ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {\ pi}}} \ left (\ mathrm { M} \ højre) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} {\ text {.}} \ End {aligned}}}

Positionen for tyngdepunktet G g defineres derfor ved følgende forhold:

∫VSGgM→∧π→(M) dV=0→{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} {\ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ wedge {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M } \ højre) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} = {\ vec {0}}}.

Beregning af stillingen for enkle sager

Vi antager her, at tyngdefeltet er homogent; tyngdepunktet falder derefter sammen med massepunktet. g→{\ displaystyle {\ vec {g}}}

Tyngdepunktet for symmetriske objekter - kugler, parallelepipedier (enhver, rektangler eller terninger), højre prismer, platoniske faste stoffer - og homogene er placeret i deres geometriske centrum. Hvis objektet har et symmetrielement, er tyngdepunktet placeret på dette symmetrielement:

• revolutionens symmetri (del sammensat af trunkerede kegler, trunkerede sfærer, alle koaksiale cylindre): tyngdepunktet er placeret på symmetriaksen;
• flysymmetri: tyngdepunktet er placeret på symmetriplanet.

Hvis objektet er lavet af et fladt ark med konstant tykkelse, er tyngdepunktet placeret på det plan, der passerer gennem midten af ​​arket, og på det normale, der passerer gennem polygonets tyngdepunkt.

I tilfælde af en stiv samling, der består af n underenheder hvis tyngdepunkter er G i og vægte p i , tyngdepunktet af samlingen er barycenter af tyngdepunktet G i vægtet med den vægte p i  :

OG→=1s∑1ikkesjegOG→jeg{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {p}} \ sum _ {1} ^ {n} p_ {i} {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} _ {i}}

hvor p er den samlede vægt, p = ∑ p i .

Overvej f.eks. Indløbsboksen til en varmeveksler overfor.

Nomenklatur

11	1	Rør	X2CrNiMo17-12-2 T	64	∅273.1 th. 4,16 L = 228
10	1	Flange flad PN 16 DN 250	X2CrNiMo17-12-2	103	Type 01-A
5	1	Flad flange		806	∅856 ∅711 th. 2
2	1	Ferrule	2CrNiMo17-12-2	610	11711 th. 6 L = 1408
1	1	Afrundet bund	X2CrNiMo17-12-2	310	11711 th. 6 L = 585
Rep.	Nb	Betegnelse	Materiale	Vægt (N)	Observation

Koordinaterne for tyngdepunktene er i millimeter (sædvanlig enhed ved kedelfremstilling):

OG→1(120000),OG→2(77000),OG→5(50700),OG→10(790-5370),OG→11(790-5460).{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} _ {1} {\ begin {pmatrix} 1200 \\ 0 \\ 0 \\\ end {pmatrix}}, {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}} } _ {2} {\ begin {pmatrix} 770 \\ 0 \\ 0 \\\ end {pmatrix}}, {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} _ {5} {\ begin {pmatrix} 507 \ \ 0 \\ 0 \\\ end {pmatrix}}, {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} _ {10} {\ begin {pmatrix} 790 \\ - 537 \\ 0 \\\ end {pmatrix} }, {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} _ {11} {\ begin {pmatrix} 790 \\ - 546 \\ 0 \\\ end {pmatrix}} {\ text {.}}}

I beregninger konverteres dimensioner til meter:

p = 310 + 610 + 806 + 103 + 64 = 1893  N  ; {xG= 310×1,2+610×0,77+806×0,507+103×0,79+64×0,791893=0,733 m=733 mmyG= -103×0,537-64×0,5461893=-0,044 m=-44 mmzG= 0{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {justeret} x _ {\ mathrm {G}} = \ & {\ frac {310 \ gange 1,2 + 610 \ gange 0,77 + 806 \ gange 0,507 + 103 \ gange 0,79 + 64 \ times 0.79} {1893}} = 0.733 \ \ mathrm {m} = 733 \ \ mathrm {mm} \\ y _ {\ mathrm {G}} = \ & {\ frac {-103 \ times 0,537- 64 \ gange 0,546} {1893}} = - 0,044 \ \ mathrm {m} = -44 \ \ mathrm {mm} \\ z _ {\ mathrm {G}} = \ & 0 \\\ ende {justeret}} \ ret.}

Beregninger præsenteres ofte i form af en tabel.

Bestemmelse af tyngdepunktet

Delsæt i	p i	x i	y jeg	z i	p i ⋅ x i	p i ⋅ y i	p i ⋅ z i
1	310	1.2	0	0	372	0	0
2	610	0,77	0	0	469,7	0	0
5	806	0,507	0	0	408,642	0	0
10	103	0,79	-0,537	0	81,37	-55,311	0
11	64	0,79	-0,446	0	55,56	-28,544	0
Sum	1893	Ikke relevant			1387,272	-83,855	0

Er

{xG= 1387,2721893=0,733 m=733 mmyG= -83,8551893=-0,044 m=-44 mmzG= 0{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} x _ {\ mathrm {G}} = \ & {\ frac {1387,272} {1893}} = 0,733 \ \ mathrm {m} = 733 \ \ mathrm {mm} \\ y _ {\ mathrm {G}} = \ & {\ frac {-83,855} {1893}} = - 0,044 \ \ mathrm {m} = -44 \ \ mathrm {mm} \\ z _ {\ mathrm {G}} = \ & 0 \\\ ende {justeret}} \ højre.}

Grafisk metode

Den dynamiske og kabelbane metode kan bruges til at bestemme positionen for tyngdepunktet. Faktisk, hvis man betragter diskrete elementer, kan man forestille sig systemet i ligevægt på et punkt, hvor denne udøver en kraft . Vi er derfor nødt til at løse et statisk problem med parallelle kræfter, bortset fra at vi kender intensiteten af ​​alle kræfterne, og at det ukendte er handlingslinjen for en af ​​dem ( ). -P→{\ displaystyle - {\ vec {\ mathrm {P}}}}-P→{\ displaystyle - {\ vec {\ mathrm {P}}}}

At fortsætte :

1. På dynamikken placerer vi vægtvektorerne bag hinanden i rækkefølgen af ​​delene taget fra venstre mod højre.
2. Vi vælger et punkt kaldet pol, og vi tegner de linjer, der forbinder polen til enderne af vektorerne (polære linjer); disse linjer er nummereret fra top til bund.
3. Vi tegner parallellerne til de polære linjer i figuren for at danne en brudt linje; for eksempel trækkes linjen 3 'parallelt med linien 3, der adskiller vektorerne og mellem handlingslinierne for og .P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}
4. Parallellerne 0 'og 4' til de to ekstreme polære linjer trækkes fra enderne af den brudte linje; krydset mellem disse linjer giver abscissen af ​​tyngdepunktet.
5. For at bestemme ordinaten drejer vi figuren kvart omgang og anvender metoden igen.

For at bestemme tyngdepunktet for en plade med kompleks form kan man skære denne plade i strimler, anvende en vægt på hver strimmel og anvende den samme metode.

• Bestemmelse af tyngdepunktet for en gruppe rektangler (Asger Ostenfeld , Teknisk Elasticitetslære , Forfatterens Forlag (København, 1898), plade 3)

• Bestemmelse af en skinnes tyngdepunkt ( op. Cit. Plade 4)

Brug af Guldins sætninger

De teoremer Guldin søge om roterende dele. De forholder sig

• positionen af ​​buens tyngdepunkt, der genererer et skrog, buens længde og skrogets område
• positionen af ​​overfladens tyngdepunkt, der genererer et fast stof, arealet af denne overflade og volumenet af dette faste stof.

Det er således muligt at bestemme positionen for tyngdepunktet.

Lad os studere en halvcylindrisk skal; set fra siden ser vi en halvcirkel. Diameteren vinkelret på akkorden deler denne halvcirkel i to lige store kvartcirkler; af symmetriårsager ligger tyngdepunktet derfor på denne diameter.

En halvcirkel med længden l = π r , der roterer omkring dens akkord, genererer en kugle af område A = 4π r 2 . Tyngdepunktet krydser derfor en perimeter p verificering

PÅ=sl⇒s=PÅl=4πr2πr=4r{\ displaystyle \ mathrm {A} = pl \ Rightarrow p = {\ frac {\ mathrm {A}} {l}} = {\ frac {4 \ pi r ^ {2}} {\ pi r}} = 4r }.

Hvis r G er radius af cirklen beskrevet af tyngdepunktet, så

s=2πrG⇒rG=2rπ{\ displaystyle p = 2 \ pi r _ {\ mathrm {G}} \ Rightarrow r _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {2r} {\ pi}}}.

Lad os nu studere en plade i form af en halv disk af område A = 1 / 2π r 2 . Diameteren vinkelret på akkorden deler denne halvcirkel i to lige store kvartcirkler; af symmetriårsager ligger tyngdepunktet derfor på denne diameter.

Ved at dreje sin streng, genererer denne halvdisk en kugle med volumen V = 4 / 3π r 3 . Tyngdepunktet krydser derfor en perimeter p verificering

V=sPÅ⇒s=VPÅ=4/3πr3πr2/2=83r{\ displaystyle \ mathrm {V} = p \ mathrm {A} \ Rightarrow p = {\ frac {\ mathrm {V}} {\ mathrm {A}}} = {\ frac {4/3 \ pi r ^ { 3}} {\ pi r ^ {2} / 2}} = {\ frac {8} {3}} r}.

Hvis r G er radius af cirklen beskrevet af tyngdepunktet, så

s=2πrG⇒rG=4r3π{\ displaystyle p = 2 \ pi r _ {\ mathrm {G}} \ Rightarrow r _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {4r} {3 \ pi}}}.

Begrundelse for beregningsmetoder

Tilfælde af et sæt materielle punkter

Lad være to materielle punkter M 1 og M 2 for de respektive masser m 1 og m 2 , derfor af respektive vægte og . Hvis disse punkter er integrerede (forbundet med en stiv stang med ubetydelig vægt), kan de erstattes af et enkelt materialepunkt G af vægten . P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}P→=P→1+P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} = {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}

For at systemet skal være statisk ækvivalent, skal momentet for den resulterende vægt i forhold til ethvert punkt A være lig med summen af ​​kræftmomenterne og i forhold til dette punkt: P→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}}}P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}

M→PÅ(P→)=M→PÅ(P→1)+M→PÅ(P→2){\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} ({\ vec {\ mathrm {P}}}) = {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} ({\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}) + {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} ({\ vec {\ mathrm { P}}} _ {2})}

det vil sige pr. definition af momentet for en kraft ,

PÅG→∧P→=PÅM→1∧P→1+PÅM→2∧P→2{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} + {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} _ {2} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}.

Vi placerer os i et ortonormalt koordinatsystem , hvor z er den lodrette akse, og vi bemærker koordinaterne: (O,x→,y→,z→){\ displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})}

M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), G ( x G , y G , z G )

og komponenterne:

P→1(00-s1),P→2(00-s2),P→(00-s){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - p_ {1} \\\ end {pmatrix}}, {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - p_ {2} \\\ end {pmatrix}}, {\ vec {\ mathrm {P}}} {\ begin { pmatrix} 0 \\ 0 \\ - p \\\ end {pmatrix}}}

med

s1=‖P→1‖,s2=‖P→2‖,s=s1+s2{\ displaystyle p_ {1} = \ | {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} \ |, p_ {2} = \ | {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2} \ |, p = p_ {1} + p_ {2}}.

Punktet A er vilkårligt, man kan således beregne øjeblikket sammenlignet med O for at forenkle:

OG→∧P→=OM→1∧P→1+OM→2∧P→2{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} + {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {2} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}

er

(-yGsxGs0)=(-s1y1s1x10)+(-s2y2s2x20){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -y _ {\ mathrm {G}} p \\ x _ {\ mathrm {G}} p \\ 0 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -p_ {1} y_ {1} \\ p_ {1} x_ {1} \\ 0 \\\ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} -p_ {2} y_ {2} \\ p_ { 2} x_ {2} \\ 0 \\\ slutning {pmatrix}}}

også

{yG=s1y1+s2y2sxG=s1x1+s2x2s{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {p_ {1} y_ {1} + p_ {2} y_ {2}} {p}} \\ & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2}} {p}} \\\ slut {matrix}} \ højre. }

Vi kan gentage beregningen ved at overveje, at vægten er orienteret langs x- aksen  ; det svarer til at dreje den stive samling {M 1 , M 2 } af en kvart omdrejning i det lodrette plan ( x , z ), og at overveje, at referencemærket er relateret til den stive samling {M 1 , M 2 }. Vi opnår derefter en ny lignende relation for koordinaterne i z , det vil sige endelig:

{xG=s1x1+s2x2syG=s1y1+s2y2szG=s1z1+s2z2s{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2}} {p}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {p_ {1} y_ {1} + p_ {2} y_ {2}} {p}} \\ & z _ {\ mathrm {G} } = {\ frac {p_ {1} z_ {1} + p_ {2} z_ {2}} {p}} \\\ slut {matrix}} \ højre.}

Tyngdepunktet er derfor barycenteret for materialepunkterne, der vægtes efter deres vægt. Vi kan udvide dette resultat til et sæt n punkter M i ( x i , y i , z i ):

{xG=∑sjegxjegsyG=∑sjegyjegszG=∑sjegzjegs{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum p_ {i} x_ {i}} {p}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum p_ {i} y_ {i}} {p}} \\ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum p_ {i} z_ { i}} {p}} \\\ slut {matrix}} \ højre.}

med p = ∑ p i . Det har alle de geometriske egenskaber ved barycenteret.

Gravitationsfeltet antages at være homogent, det har vi

p i = m i ⋅g p = (∑ m i ) ⋅ g

også

{xG=∑mjegxjegmyG=∑mjegyjegmzG=∑mjegzjegm{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} x_ {i}} {m}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} y_ {i}} {m}} \\ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} z_ { i}} {m}} \\\ slut {matrix}} \ højre.}

med m = ∑ m i . Vi finder definitionen af centrum for massen .

Tilfælde af en kontinuerlig genstand

Lad være et homogent objekt med densitet ρ. Overvej et uendeligt minimalt stofvolumen dV omkring et punkt M; det er et materialepunkt med masse dm = ρ (M) dV og med vægt d p = d m ⋅ g .

Beregningen svarer til det diskrete tilfælde, men summen bliver en integral (integralen er en sum over et kontinuerligt sæt):

{xG=1s∫x(M)ds=1s∫ρ(M)gx(M)dVyG=1s∫y(M)ds=1s∫ρ(M)gy(M)dVzG=1s∫z(M)ds=1s∫ρ(M)gz(M)dV{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {p}} \ int x (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} p = {\ dfrac {1} {p}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) gx (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\ [2ex] & y _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {p}} \ int y (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} p = {\ dfrac {1} {p}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) gy (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\ [2ex] & z _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {p}} \ int z (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} p = {\ dfrac {1} {p}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) gz (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\\ end {matrix}} \ højre. }

med . Desuden, hvis g er ensartet: s=∫ds{\ displaystyle p = \ int \ mathrm {d} p}

p = mg med massem=∫ρ(M)dV{\ displaystyle m = \ int \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV}}

er

{xG=1m∫ρ(M)x(M)dVyG=1m∫ρ(M)y(M)dVzG=1m∫ρ(M)z(M)dV{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {m}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) x (\ mathrm { M}) \ mathrm {dV} \\ [1.5ex] & y _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {m}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) y (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\ [1.5ex] & z _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {m}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) z (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\\ end {matrix}} \ right.}

som er definitionen af ​​massecenter.

Tilfælde af et homogent objekt

Hvis densiteten er ensartet, så

m=ρ∫dV=ρV{\ displaystyle m = \ rho \ int \ mathrm {dV} = \ rho \ mathrm {V}}

også

{xG=1V∫x(M)dVyG=1V∫y(M)dVzG=1V∫z(M)dV{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {V}}} \ int x (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\ [1.5ex] & y _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {V}}} \ int y (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \ \ [1.5ex] & z _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {V}}} \ int z (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\\ end { matrix}} højre.}

Tyngdepunktet er derfor det “geometriske centrum”, det vil sige barycenteret, i betragtning af at alle punkterne i objektet har den samme vægtning (isobarycenter).

Ikke-homogent tyngdefelt

Tilnærmelsen af ​​tyngdefeltet eller ensartet tyngdekraft er dog ikke altid gyldig, især i visse astronomiproblemer . For eksempel i tilfælde af månen gælder tyngdekraften stærkere på dele af månen tæt på Jorden end på dele længere væk, så tyngdepunktet er faktisk lidt tættere end massepunktet. Derudover, hvis kroppen i kredsløb ikke er perfekt symmetrisk i forhold til dens rotationsakse , bevæger sig tyngdepunktets position konstant med denne rotation. Dette er grunden til, at en kredsende krop ud over virkningerne af tyngdekraft tidevand har en tendens til at synkronisere sin rotationshastighed med sin kredsløbshastighed for at vise sit mere sfæriske ansigt. Dette er allerede tilfældet for Månen, der altid viser det samme ansigt , og planeten Kviksølv, der altid viser det samme ansigt til solen . Derudover er dette også grunden til, at lettelsen af ​​den anden side af Månen er meget større end dens synlige ansigt.

Meget ofte i mekanik, idet legemets dimension er lille sammenlignet med jordens rundhed, betragter vi et ensartet tyngdefelt. Under denne antagelse er tyngdepunktet og inertiecentret det samme.

Objekter med et nysgerrig eller kontraintuitivt tyngdepunkt

Tyngdepunktet for visse genstande er undertiden i en nysgerrig position. For eksempel kan dette tyngdepunkt være uden for materie (stof, som det dog karakteriserer fordelingen pr. Definition): dette er tilfældet med den grønne ring af billedet modsat eller for eksempel tilfældet med dornen (rør) hvorpå papirhåndklædet er viklet.

Mange dekorative genstande bruger denne egenskab ved tyngdepunktet ved at være i en kontraintuitiv position (se billedet modsat til højre med noter at røre ved).
Modsat til venstre rovfuglens nysgerrige balance.

Bibliografi

• Joseph Kane , Morton Sternheim et al. , "Statisk" , i fysik: 1. cyklus / licens · PCEM · PCEP , Dunod,2004( ISBN  978-2-10-007169-2 )

Noter og referencer

1. BTS ROC session 2002, test U41.

Se også

• Carl von Clausewitz , De la guerre , for forestillingen om fjendens tyngdepunkt i militærstrategi .