Den opdrift er styrken især realiseret af et organ placeret helt eller delvist i en fluid ( væske eller gas ) og udsat for et felt af tyngdekraften . Denne kraft kommer fra stigningen i væskets tryk med dybde eller højde (tyngdekraftseffekt på væsken, se den hydrostatiske artikel ): trykket er større på den nedre del af en neddykket genstand end på dens øvre del, resultatet er et generelt lodret tryk opad. Det er ud fra dette træk, at vi definerer en legems opdrift . Dette skub blev først undersøgt af Archimedes .
”Ethvert legeme nedsænket i en væske i hvile, fuldt befugtet af det eller krydser dets frie overflade, gennemgår en lodret kraft, rettet fra bund til top og lig (og modsat) vægten af volumenet af fortrængt væske. Denne styrke kaldes Archimedes 'fremdrift . Det gælder for det fortrængte væskes massepunkt, kaldet trykpunktet . "
For at sætningen skal gælde, skal den nedsænkede væske og den neddykkede krop være i ro. Det skal også være muligt at udskifte det nedsænkede legeme med nedsænkningsvæske uden at bryde balancen, idet modeksemplet er proppen til et badekar fyldt med vand: hvis dette erstattes af vand, er det klart, at badekaret tømmes, og at væske hviler derefter ikke længere. Teoremmet gælder ikke, da vi er i et tilfælde, hvor stikket ikke er helt fugtet af væsken og ikke passerer gennem dets frie overflade.
Når de tidligere betingelser er respekteret, i et ensartet tyngdekraftsfelt , er det arkimediske tryk, der er bemærket , givet med formlen:
P→PÅ=-mfg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A \,}} = - \, m _ {\ rm {f}} \, {\ vec {g}}} eller:I det særlige tilfælde, hvor væskens tæthed ρ også er ensartet, har vi:
P→PÅ=-ρVg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A}} = - \, \ rho \, V \, {\ vec {g}}} eller:Hvis vi betragter de intensiteter ( normer ) af de kræfter derpå, ved at bemærke P A og g normer de tilhørende vektorer, har vi:
Intensiteten P A af Arkimedes tryk udtrykkes i N , densiteten ρ i kg m -3 , mængden af fortrængt fluidum V i m 3 og tyngdeaccelerationen g i m s -2 .
Overvej en væske i hvile. Vi afgrænser ved tanke et bestemt volumen af enhver form i denne væske. Denne lydstyrke er også i ro: på trods af dens vægt falder denne lydstyrke ikke. Dette betyder derfor, at dens vægt kompenseres strengt af en modstående kraft, der holder den på plads, og som kommer fra den ydre væske. Vi erstatter nu, altid ved tanke, dette volumen med ethvert legeme. Da den kraft, der holder væsken i ligevægt, er en kompressionskraft, der virker på volumenets overflade, er det muligt at antage, at den samme kraft stadig gælder for det neddykkede legeme: det er altid modsat vægten af fortrængt væske. Det er Archimedes 'skub. Det faktum, at kraftfelterne er identiske for den homogene væske i hvile og for kroppen nedsænket i væsken i hvile kaldes "størkningssætning".
Antag at en terning af kant a er helt nedsænket i en væske, idet dens øverste flade er vandret og placeret i en dybde z 1 > 0 (den positive retning er nede). Vi vil betegne enhedsvektoren rettet langs aksen med stigende z (derfor orienteret nedad).
I tilfælde af en ukomprimerbar væske i hvile udsat for et ensartet tyngdefelt er det absolutte tryk p i dybden z værd:
eller:Vi betragter en væskesøjle, der ligner et højre fortov med variabel højde z og hvis basisflade er konstant og er lig med A. Ved en dybde z svarer det hydrostatiske tryk til normen P for vægten divideret med bunden A af væskesøjlen: p ( z ) = P / A .
Imidlertid udtrykkes vægten af væskesøjlen:
eller:Vi opnår derfor ved hjælp af formlen p ( z ) = P / A:
.Det absolutte pres er derfor
.Ved symmetri annullerer de trykkræfter, der udøves på terningens fire sideflader, hinanden to og to.
Kraften , der udøves af væsken på kubens overside (af område A = a 2 ), er rettet fra top til bund og er værd:
.Kraften, der er rettet fra bunden til toppen, udøvet af væsken på den nederste flade (af område A = a 2 ) på terningen, som er placeret i dybden z 2 = z 1 + a , er værd:
.Den resulterende af trykkræfterne er derfor værd:
eller:Den resulterende kraft er derfor ret lig med det modsatte af vægten af volumenet af fortrængt væske. Denne kraft er negativ, den er godt orienteret lodret fra bund til top.
Det er muligt at generalisere den foregående demonstration til et volumen af enhver form. Det er tilstrækkeligt til at dekomponere overfladen grænser op til volumen i en uendelighed af uendeligt små elementer d S antages at være fly, derefter at tilføje, under anvendelse af en beregning af integraler af alle de uendeligt små kræfter udøves på hvert fladeelement .
Man kan udlede sætningen til Archimedes fra gradienten : lad os antage, at et uspecificeret volumen V , afgrænset af en lukket overflade S , helt nedsænket i en væske med densitet ρ udsat for et tyngdefelt , ikke nødvendigvis ensartet.
Efter definition af trykket p er resultatet af de tryk, der udøves på lydstyrken:
eller:Efter gradientteoremet derefter den grundlæggende lov for hydrostatik bliver dette udtryk:
som er det modsatte af vægten af volumenet af fortrængt væske.
Lad os fordybe et fast stof med volumen V , masse m og densitet ρ fuldt ud i en væske med ensartet densitet ρ f , og frigør det derefter fra hvile. I starten, hastigheden er nul, kun to kræfter virker på den faste: dens vægt F p (nedad) og Arkimedes stak F a (opad).
F p = ρ V g F a = ρ f V g F p / F a = ρ / ρ fI dette tilfælde svarer densitetsforholdet til densiteterne :
I de to tilfælde, hvor det faste stof ikke er i ligevægt, er dens efterfølgende bevægelse bestemt af tre kræfter: dens vægt, Arkimedes fremstød (modstående til vægten) og en viskos friktionskraft F f (modsat den hastighed).
Ifølge Newtons anden bevægelseslov har vi derefter:
F p - F a ± F f = m a (den positive retning er nede)hvor a er accelerationen af det faste stof.
Da den viskose friktionskraft ikke er konstant, men øges med hastighed, falder accelerationen gradvist, så det faste stof mere eller mindre hurtigt når en begrænsende hastighed, når den resulterende af kræfterne er nul.
Overvej en fast volumen V og densitet ρ S flyder på overfladen af en væske densitet ρ L . Hvis det faste stof flyder, skyldes det, at dets vægt afbalanceres af Archimedes 'træk:
F a = F p .Archimedes-tryk er lig (i absolut værdi) til vægten af den fortrængte væskemængde (lig med volumen V i neddykket), vi kan skrive:
ρ L V i g = ρ S V g - (1).Det nedsænkede volumen er derfor værd:
V i = ( ρ S / ρ L ) V - (2).Idet V > V i , følger det, at ρ S < ρ L .
Anvendelse i tilfælde af et isbjergOvervej et stykke ren is ved 0 ° C, der flyder i havvand . Lad ρ S = 0,917 g / cm 3 og ρ L = 1,025 g / cm 3 (vi ville have ρ L = 1.000 g / cm 3 for rent vand ved 3,98 ° C ). Rapportenρ Sρ L(dvs. den relative massefylde ) er lig med 0,895, således at det neddykkede volumen V i udgør næsten 90% af det samlede volumen V af isbjerget.
En isterning, der smelter i et glasDet er let at kontrollere, at smeltningen af et stykke ren is, der flyder på rent vand, sker uden en ændring i vandstanden. Volumenet af nedsænket is svarer faktisk til det volumen flydende vand, der er nødvendigt for at svare til isterningens vægt ( ligning 1). Ved smeltning producerer isterningen (ved konservering af massen) nøjagtigt dette volumen vand, som "plugger hullet tilbage efter forsvinden af den faste is". Vandstanden forbliver den samme. I den modsatte figur er volumenet afgrænset med stiplede linjer i venstre glas volumenet af nedsænket is og i det rigtige glas volumenet af flydende vand produceret ved smeltning af isterningen.
Vi kan også gøre følgende beregning: Hvis vi f.eks. Betragter en isterning på 1 cm 3 og densitet 0,917 g cm −3 (som derfor indeholder 0,917 g vand), er det nedsænkede volumen 0,917 cm 3 ( ligning 2 ) (som et isbjerg er det meste under vand). Når isterningen er smeltet, vil denne 0,917 g vand, som nu har en densitet på 1 g · cm −3, optage nøjagtigt det volumen, der er optaget af den neddykkede del af isterningen.
Alt sker som om Archimedes 'tryk blev påført skrogets centrum , det vil sige tyngdepunktet for den fortrængte væske.
Denne egenskab er vigtig for beregningen af stabiliteten af en ubåd under vandet eller af en aerostat : under straf for at se disse maskiner vende om, er det nødvendigt, at deres skrogcenter placeres over tyngdepunktet.
I tilfælde af et skib er skrogets centrum på den anden side ofte placeret under tyngdepunktet for at undgå overdreven udbedringsmomenter. Når skibets hældning ændres ( rulle ), bevæges skrogets centrum imidlertid lateralt mere end tyngdepunktet, hvilket genererer drejningsmoment, der har tendens til at vende skibet tilbage til dets oprindelige hældning. Stabilitet sikres derefter ved placeringen af metacentret, som er anvendelsespunktet for variationerne i tryk. Dette metacenter skal være over tyngdepunktet.
Anekdotisk kan vi bemærke, at ubådsdesignere samtidig skal sikre to typer balance for deres maskiner: balance i dykning og balance på overfladen.
Den afhandling om Floating Bodies , hvor Archimedes fastsætter lovgivningen i statik af væske - og betingelserne for ligevægt af faste stoffer nedsænket i en væske eller flydende på det - er nok det bedst kendte af Arkimedes værker, fordi alle huske på husk anekdoten rapporteret af Vitruvius, ifølge hvilken Archimedes havde intuitionen af det grundlæggende princip for hydrostatik, når han badede:
Archimedes, græsk forsker, der boede i Syracuse , Sicilien fra 287 f.Kr. AD til 212 f.Kr. AD , er kendt for sine mange videnskabelige, teoretiske eller praktiske værker, hvad enten det er i matematik eller fysik . Den afhandling om flydelegemer som strengt studerer nedsænkningen af et organ, fast eller flydende, i en væske af lavere, samme eller større tæthed , udgør grundlaget for den gren af fluid mekanik , som vil blive kaldt mere sent " hydrostatisk ". Denne bog er den teorem bærer navnet på den videnskabsmand, der er fuldt ud påvises, at det XVI th århundrede.
Den afhandling om Floating Bodies indeholder andre udsagn vedrørende Archimedes' fremstød:
Vitruvius rapporterer, at kong Hieron II af Syracusa (306-214) ville have bedt sin unge ven og videnskabelige rådgiver Archimedes (dengang 22 år) om at kontrollere, om en gylden krone , som han havde fremsat som et tilbud til Zeus, var helt i guld eller hvis håndværkeren havde sat sølv i det . Kontrollen skulle naturligvis ikke beskadige kronen. Formen på dette var også for kompleks til at beregne ornamentets volumen. Archimedes ville have fundet en måde at verificere, om kronen virkelig var guld, mens han var i det offentlige bad, ved at observere, hvordan objekter flød i den. Han ville så være gået ud på gaden helt nøgen og råbe " Eureka !" » (Jeg fandt det!), Formel er siden blevet berømt.
Den bemærkning, som Archimedes foretog ved det offentlige bad, er, at legemer ikke har den samme vægt for det samme givne volumen, det vil sige en anden masse pr. Volumenhed. I dag taler vi om tæthed . Sølv (densitet 10.500 kg m -3 ) er mindre tæt end guld (densitet 19.300 kg m -3 ), så det har en lavere tæthed: for at opnå den samme masse tager det mere stor mængde sølv end guld. Hvis håndværkeren gemte penge i kongens krone, udledte Archimedes, at kronen skulle være større, end hvis den udelukkende var lavet af guld. Således blev juvelerens bedrag afsløret.
For at besvare kong Hierons spørgsmål var Archimedes derfor i stand til at sammenligne de mængder vand, der var forskudt af kronen, og en mængde guld af identisk masse. Hvis begge bevæger det samme volumen vand, er dens densitet lig, og det kan konkluderes, at begge er lavet af det samme metal. For at udføre eksperimentet kan man forestille sig at nedsænke massen af guld i en beholder fyldt til randen (og udstyret med en tud for bedre at kunne observere sagen). En bestemt mængde vand vil derefter løbe over fra beholderen (det kan samles for at måle det). Derefter fjerner vi guldet og erstatter det med kronen, der skal undersøges. Hvis kronen er helt guld, vil vandet ikke løbe over. På den anden side, hvis dens densitet er lavere og derfor dens volumen større for den samme masse, vil yderligere vand løbe over.
Mængden af forskudt vand afhænger af andelen af sølv i guld; da guld er cirka dobbelt så tæt som sølv, vil udskiftning af 10% af massen af guld med sølv føre til en 10% volumenforøgelse. Men på grund af den høje tæthed af guld er dens volumen meget lav: volumenet af en krone på 1 kg guld er kun lidt mere end 50 cm 3 og erstatning 10% guld med sølv gør kun en forskel på ca. 4,34 cm 3 (volumen vand i en teskefuld)
Den således beskrevne metode af Vitruvius har to ulemper. Den første er, at det ikke bringer Archimedes 'princip i spil her. Det andet problem er, at volumenet af fortrængt vand er meget lille på grund af tætheden af guld og det lille volumen af kronen meget lille, og dets måling forstyrres af vand, som kan gå tabt i de forskellige operationer. Det er derfor usandsynligt, at Archimedes kunne have draget nogen meningsfulde konklusioner fra en sådan oplevelse.
En mere realistisk metode er som følger. Vi afbalancerer en balance med kronen på den ene side og rent guld på den anden, hvis masser er lige store. Derefter er de afvejede genstande helt nedsænket (for at overvinde indflydelsen af skalaerne på skalaen kan vi sikre, at de er strengt identiske, eller, bedre, fjerne dem ved at erstatte dem med en tynd ledning. Og tæthed tæt på vandets ). Hvis kronen ikke er rent guld, har den noget større volumen, så den producerer en noget større opadgående arkimedisk kraft end den samme masse rent guld, og balancens oprindelige ligevægt er brudt. Også her er forskellen i vægt lille; under betingelserne forestillet ovenfor, svarer til vægten af 5 cm 3 vand, dvs. 5 g . Vi har derfor brug for en balance, der er i stand til at opdage en sådan variation, som er vanskelig, men ikke urealistisk.
Enheden blev faktisk produceret under navnet hydrostatisk balance .
Anekdoten opretholdes af titler som La Baignoire d'Archimède. A Little Mythology of Science af Sven Ortoli og Nicolas Witkowski (1998) eller Archimedes Bath - Poetic Anthology of Obériou af Henri Abril (2012).